職高高一數(shù)學-函數(shù)地實際應用舉例

函數(shù)的實際應用舉例翡翠竹林2017年12月生活實際：某城市制定每戶月用水收費（含用水費和污水處理費）標準：用水量不超過10m3部分超過10m3部分收費/（元/m3）1.302.00污水處理費/（元/m3）0.300.80

那么，每戶每月用水量x(m3)與應交水費y

(元)之間的關(guān)系是否可以用函數(shù)解析式表示出來？

加強節(jié)水意識

由表中看出，在用水量不超過10（m3）的部分和用水量超過10（m3）的部分的計費標準是不同的．因此，需要分別在兩個范圍內(nèi)進行研究．用水量不超過10m3部分超過10m3部分收費/（元/m3

）1.302.00污水處理費/（元/m3）0.300.80用水量/x

水費/y

書寫解析式的時候，必須要指明是哪個范圍的解析式．

用水量/x

水費/y分段函數(shù)

在自變量的不同取值范圍內(nèi)，有不同的對應法則，需要用不同的解析式來表示的函數(shù)叫做分段表示的函數(shù)，簡稱分段函數(shù)．

注意：

分段函數(shù)在整個定義域上仍然是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，只不過這個函數(shù)在定義域的不同范圍內(nèi)有不同的對應法則，需要用相應的解析式來表示．

自變量的各不同取值范圍的并集首先判斷x所屬的取值范圍，再把x代入到相應的解析式中進行計算分析：

分段函數(shù)的定義域是自變量的各不同取值范圍的并集．求分段函數(shù)的函數(shù)值時，應該首先判斷所屬的取值范圍，再把代入到相應的解析式中進行計算．解（1）函數(shù)的定義域為．（2）因為，故；

因為，故；

因為，故．

教材練習3.3定義域自變量的各不同取值范圍的并集.函數(shù)值

求分段函數(shù)的函數(shù)值時，應該首先判斷點所屬的取值范圍，然后再把點代入到相應的解析式中進行計算.y在區(qū)間［250，400］上是一次函數(shù)．

數(shù)量(份)

價格(元)

金額(元)買進30x0.206x賣出20x+10*2500.306x+750退回10(x-250)0.080.8x-200

則每月獲利潤y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）∴x＝400份時，y取得最大值870元．

答：每天從報社買進400份時，每月獲的利潤最大，最大利潤為870元．

例:一家報刊推銷員從報社買進報紙的價格是每份0.20元，賣出的價格是每份0.30元，賣不完的還可以以每份0.08元的價格退回報社．在一個月（以30天計算）有20天每天可賣出400份，其余10天只能賣250份，但每天從報社買進報紙的份數(shù)都相同，問應該從報社買多少份才能使每月所獲得的利潤最大？并計算每月最多能賺多少錢？解：分段函數(shù)作圖法

在同一個直角坐標系中，要依次作出自變量的各個不同的取值范圍內(nèi)相應的圖像，從而得到函數(shù)的圖像．

例某城市出租汽車收費標準為：當行程不超過3km時，收費7元；行程超過3km，但不超過10km時，在收費7元的基礎(chǔ)上，超過3km的部分每公里收費1.0元；超過10km時，超過部分除每公里收費1.0元外，再加收50﹪的回程空駛費．試求車費y（元）與x（公里）之間的函數(shù)解析式，并作出函數(shù)圖像．

分析：收費標準依行車的公里數(shù)分為3種情況．解：根據(jù)題意，列出表格如下：

故與之間的函數(shù)解析式為路程x/km0＜x≤33＜x≤10x＞10車費y

/元77+(x-3)7+(10-3)+1.5（x-10)1.一家旅社有100間相同的客房，經(jīng)過一段時間的經(jīng)營實踐，旅社經(jīng)理發(fā)現(xiàn)，每間客房每天的價格與住房率之間有如下關(guān)系：每間每天房價住房率20元18元16元14元65％75％85％95％要使每天收入達到最高，每間定價應為（）A.20元B.18元C.16元D.14元2.將進貨單價為80元的商品按90元一個售出時，能賣出400個，已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少20個，為了取得最大利潤，每個售價應定為(

)

A.95元B.100元C.105元D.110元CAy=(90+x-80)(400-20x)

應用知識強化練習3．某城市出租汽車統(tǒng)一價格，凡上車起步價為6元，行程不超過2km者均按此價收費，行程超過2km，按1.8元/km收費，另外，遇到塞車或等候時，汽車雖沒有行駛，仍按6分鐘折算1km計算，陳先生坐了一趟這種出租車，車費17元，車上儀表顯示等候時間為11分30秒，那么陳先生此趟行程介于（）

A．5～7km

B．9～11km

C．7～9kmD．3～5kmA

應用知識強化練習小結(jié)：解決函數(shù)應用問題的基本步驟利用函數(shù)知識和函數(shù)觀點解決實際問題時，一般按以下幾個步驟進行：(一)審題；(二)建模；(三)求模；(四)還原．這些步驟用框圖表示如圖：

數(shù)學模型：就是把實際問題用數(shù)學語言抽象概括，再從數(shù)學角度來反映或近似地反映實際問題，得出關(guān)于實際問題的數(shù)學描述．[思路探索]

先建立銷售額與x的函數(shù)關(guān)系即函數(shù)模型，再利用函數(shù)模型解決實際問題．[規(guī)律方法]

(1)第一小題關(guān)鍵在于建立y關(guān)于x的二次函數(shù)；(2)第二小題要理解“漲價且使銷售額增加”的意義，從而得到關(guān)于m的不等式．(3)二次函數(shù)模型是冪函數(shù)中的最重要的函數(shù)模型，根據(jù)實際問題建立函數(shù)關(guān)系式后，可以利用配方法、換元法、單調(diào)性等方法求其最值，從而解決實際問題中的最大、最小等問題．

(1)講課開始后5分鐘與25分鐘比較，何時學生的注意力更集中？(2)講課開始后多少分鐘，學生注意力最集中？能持續(xù)多少分鐘？[思路探索]

由于f(t)是關(guān)于t的分段函數(shù)，計算時應分清f(t)滿足的關(guān)系式，分段求解，并加以比較，得出結(jié)論．[規(guī)律方法]

(1)對于分段函數(shù)，一定要注意對各個定義區(qū)間內(nèi)的表達式進行分析，特別是區(qū)間的端點，以保證在各區(qū)間端點“不重不漏”．(2)求解分段函數(shù)問題，必須分段處理，注意在有限制條件的前提下，如何進行分類討論解決問題．

練習：某市居民自來水收費標準如下：每戶每月用水超過4噸時，每噸為1.80元，當用水超過4噸時，超過部分每噸3.00元．某月甲、乙兩戶共交水費y元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x,3x(噸)．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)；(2)若甲、乙兩戶該月共交水費26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月用水量和水費．解：(1)當甲的用水量不超過4噸時，即5x≤4，乙的用水量也不超過4噸，

y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；當甲的用水量超過4噸，乙的用水量不超過4噸，即3x≤4，且5x＞4時，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.當乙的用水量超過4噸，即3x＞4時，

y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.類型：數(shù)據(jù)擬合型函數(shù)的應用問題例：

某個體經(jīng)營者把開始六個月試銷A，B兩種商品的逐月投資金額與所獲純利潤列成下表：投資A種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.651.391.8521.841.40投資B種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.300.590.881.201.511.79該經(jīng)營者準備第七個月投入12萬元經(jīng)營這兩種商品，但不知A，B兩種商品各投入多少萬元才合算．請你幫助制定一個資金投入方案，使得該經(jīng)營者能獲得最大純利潤，并按你的方案求出該經(jīng)營者第七個月可獲得的最大純利潤(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)．[思路探索]

先作出散點圖，根據(jù)散點圖設(shè)出擬合函數(shù)，然后檢驗判定，選擇恰當擬合函數(shù)解決問題．解：以投資額為橫坐標，純利潤為縱坐標，在平面直角坐標系中畫出散點圖，如下圖所示．觀察散點圖可以看出，A種商品所獲純利潤y與投資額x之間的變化規(guī)律可以用二次函數(shù)模型進行模擬，如圖(1)所示．B種商品所獲純利潤y與投資額x之間的變化規(guī)律是線性的，可以用一次函數(shù)模型進行模擬．如圖(2)所示．取(4,2)為最高點，則y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，再把點(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15(x－4)2＋2.

所以y＝0.3x.設(shè)第七個月投入A，B兩種商品的資金分別為x萬元，(12－x)萬元，總利潤為W萬元，那么W＝y(tǒng)A＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)，所以W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2.當x＝3時，W取最大值，約為4.55萬元，此時B商品的投資為9萬元．故該經(jīng)營者下個月把12萬元中的3萬元投資A種商品，9萬元投資B種商品，可獲得最大利潤，約為4.55萬元．[規(guī)律方法]

解此類實際應用問題，關(guān)鍵是建立適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，再解決數(shù)學問題，最后驗證并結(jié)合問題的實際意義作出回答．這個過程就是先擬合函數(shù)，再利用函數(shù)解題．例:某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間關(guān)系用圖1的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖2的拋物線表示：（1）寫出圖1表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式，寫出圖2表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式；（2）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？（注：市場售價和種植成本的單位：時間單位：天）

0200300t100300P0tQ50150250300100150250解(1)由圖1可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式為:由圖2可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式為:(2)設(shè)時刻的純收益為,則由題意得即時,配方整理得,所以當時,

取得上的最大值當時,配方整理得所以當時,取得上的最大值;當綜上,由.可知,在上可以取得最大值100此時=50,即二月一日開始的第50天時,上市的西紅柿純收益最大.易錯辨析：解決圖表信息問題沒能理解題意致錯【示例】如圖所示，圓弧型聲波DFE從坐標原點O點外傳播．若D是DFE與x軸的交點，設(shè)OD＝x(0≤x≤a)，圓弧型聲波DFE在傳播過程中掃過平行四邊形OABC的面積為y(圖中陰影部分)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是(

)．[錯解]

觀察題圖可知，聲波掃過的面積先增大后減少，選項B符合題意，滿足圖象要求．[錯因分析]

本題的錯誤很明顯，y指的是聲波掃過的總面積，不是發(fā)展趨勢，所以掃過的面積始終是增大的，上述判斷是因主觀性太強而致錯．[正解]

從題目所給的背景圖形中不難發(fā)現(xiàn)：在聲波未傳到C點之前，掃過圖形的面積不斷增大，而且增長得越來越快．當?shù)竭_C點之后且離開A點之前，因為OA∥BC，所以此時掃過圖形的面積呈勻速增長．當離開A點之后，掃過圖形的面積會增長得越來越慢．所以函數(shù)圖象剛開始應是下凹的，然后是一條上升的線段，最后是上凸的．故選A.答案A[防范措施]

(1)注意細節(jié)變化，一些細節(jié)不能忽視，它往往起提示作用，如圖表下的“注”、“數(shù)字單位”等．函數(shù)圖象的凸凹變化規(guī)律：上凸函數(shù)圖象若減，則從左到右減得越來越快；若增，則從左到右增得越來越慢．(2)審清要求：圖表題往往對答題有明確的要求，根據(jù)考題要求進行回答，才能有的放矢．題目要求往往包括字數(shù)句數(shù)限制、比較對象、變化情況等．練習1．某公司市場營銷人員的個人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示，由圖中給出的信息可知，營銷人員沒有銷售量時的收入是 (

)．A．310元 B．30