高一數(shù)學(xué)必修一各章知識點(diǎn)總結(jié)

高一數(shù)學(xué)必修

1

各章知識點(diǎn)總結(jié)第1

頁共13

頁第一章

集合與函數(shù)概念一、集合有關(guān)概念集合的含義集合的中元素的三個(gè)特性：元素的確定性如：世界上最高的山元素的互異性如：

由

HAPPY

的字母組成的集合{H,A,P,Y}元素的無序性:

如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個(gè)集合3.集合的表示：{

…

}

如：{我校的籃球隊(duì)員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}用

拉

丁

字

母

表

示

集

合

：

A={

我

校

的

籃

球

隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}集合的表示方法：列舉法與描述法。注意：常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）

記作：N正整數(shù)集 N*或N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實(shí)數(shù)集R1）列舉法：{a,b,c……}描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。{xR|

x-3>2}

,{x|x-3>2}自然語言描述法：例：{直角三角形}4）Venn

圖:4、集合的分類：有限集無限集空集含有有限個(gè)元素的集合含有無限個(gè)元素的集合不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系—子集注意：

A

B

有兩種可能（1）A

是

B

的一部分或者

A

與

B是同一集合。，；（2）A

是空集。反之:

集合

A

不包含于集合

B,或集合

B

不包含集合

A,記作

A

B

或

B

A2．“相等”關(guān)系：A=B (5≥5，且

5≤5，則

5=5)“元素相同則兩集實(shí)例：設(shè) A={x|x2-1=0} B={-1,1}合相等”即：①

任何一個(gè)集合是它本身的子集。AA②真子集:如果

AB,且

A

B

那就說集合

A

是集合

B

的真子集，記作

A B(或

B A)③如果AB,BC

,那么AC④如果

AB 同時(shí)

BA

那么

A=B3.

不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ規(guī)定:

空集是任何集合的子集，

空集是任何非空集合的真子集。有

n

個(gè)元素的集合，含有

2n

個(gè)子集，2n-1

個(gè)真子集三、集合的運(yùn)算運(yùn)算類型交 集并 集補(bǔ) 集定義由所有屬于

A

且由所有屬于集合

A或?qū)儆诩?/p>

B

的元素所組成的集合，叫做A,B

的并集．記作：A

B（讀作‘A

并

B’），即A

B

={x|xA，或xB})．設(shè)

S

是一個(gè)集合，A是

S

的一個(gè)子集，由S

中所有不屬于A

的元素組成的集合，叫做S

中子集A

的補(bǔ)集（或余集）記作CS

A

，即CSA={x|

xS,且xA}屬于

B

的元素所組成的集合,

叫做A,B

的交集．記作

A

B（讀作‘A交

B’），即

A

B=｛

x|x

A

，

且xB｝．韋恩圖示SA第2

頁共13

頁性質(zhì)A

A=AA

A=A(CuA)

(CuB)A

Φ=ΦA(chǔ)

Φ=A=Cu(A

B)A

B=B

AA

B

AA

B

BA

B=B

AA

B

ＡA

B

B(CuA)

(CuB)=

Cu(A

B)A

(CuA)=UA

(CuA)=

Φ．例題：下列四組對象，能構(gòu)成集合的是（ ）A

某班所有高個(gè)子的學(xué)生 B

著名的藝術(shù)家

C

一切很大的書

D

倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)集合{a，b，c}的真子集共有

個(gè)3.若集合

M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，則

M

與

N

的關(guān)系是

.4.設(shè)集合

A=x

1

x

2，B=x

x

a，若

A

B，則a

的取值范圍是

5.50

名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實(shí)驗(yàn)，已知物理實(shí)驗(yàn)做得正確得有

40

人，化學(xué)實(shí)驗(yàn)做得正確得有

31

人，兩種實(shí)驗(yàn)都做錯(cuò)得有

4

人，則這兩種實(shí)驗(yàn)都做對的有

人。6.

用描述法表示圖中陰影部分的點(diǎn)（含邊界上的點(diǎn)）組成的集合

M=

.7.已知集合

A={x|

x2+2x-8=0},

B={x|

x2-5x+6=0},

C={x|

x2-mx+m2-19=0},

若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求

m

的值二、函數(shù)的有關(guān)概念1．函數(shù)的概念：設(shè)

A、B

是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系

f，使對于集合

A

中的任意一個(gè)數(shù)

x，在集合

B

中都有唯一確定的數(shù)

f(x)和它對應(yīng)，那么就稱

f：A→B

為從集合

A

到集合

B

的一個(gè)函數(shù)．記作：

y=f(x)，x∈A．其中，x

叫做自變量，x

的取值范圍

A

叫做函數(shù)的定第3

頁共13

頁義域；與

x

的值相對應(yīng)的

y

值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|

x∈A

}叫做函數(shù)的值域．注意：1．定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)

x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：分式的分母不等于零；偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于

1.如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的

x的值組成的集合.指數(shù)為零底不可以等于零，實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)）；②定義域一致

(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)(見課本

21

頁相關(guān)例

2)2．值域

:

先考慮其定義域(1)觀察法配方法換元法3.

函數(shù)圖象知識歸納定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)

y=f(x),(x∈A)中的

x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值

y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)

P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)

y=f(x),(x

∈A)的圖象．C

上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系

y=f(x)，反過來，以滿足

y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對

x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在

C

上

.畫法A、描點(diǎn)法：B、圖象變換法常用變換方法有三種平移變換翻折（絕對值）變換對稱變換4．區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間第4

頁共13

頁無窮區(qū)間區(qū)間的數(shù)軸表示．5．映射一般地，設(shè)

A、B

是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)法則

f，使對于集合

A

中的任意一個(gè)元素

x，在集合

B

中都有唯一確定的元素

y

與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)

f：A

B

為從集合

A

到集合

B

的一個(gè)映射。記作“f（對應(yīng)關(guān)系）：A（原象）

B（象）”對于映射

f：A→B來說，則應(yīng)滿足：集合

A中的每一個(gè)元素，在集合

B中都有象，并且象是唯一的；集合

A中不同的元素，在集合

B中對應(yīng)的象可以是同一個(gè)；不要求集合

B中的每一個(gè)元素在集合

A中都有原象。6.分段函數(shù)(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。(2)各部分的自變量的取值情況．(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)如果

y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則

y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 稱為

f、g

的復(fù)合函數(shù)。二．函數(shù)的性質(zhì)1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))增函數(shù)設(shè)函數(shù)

y=f(x)的定義域?yàn)?/p>

I，如果對于定義域

I

內(nèi)的某個(gè)區(qū)間

D

內(nèi)的任意兩個(gè)自變量

x1，x2，當(dāng)

x1<x2

時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說

f(x)在區(qū)間

D

上是增函數(shù).區(qū)間

D稱為

y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.如果對于區(qū)間D

上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)

x1<x2時(shí)，都有

f(x1)＞f(x2)，那么就說

f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間

D

稱為

y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；圖象的特點(diǎn)如果函數(shù)

y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)

y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.第5

頁共13

頁(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A)

定義法：9、函數(shù)的解析表達(dá)式第6

頁共13

頁○1 任取

x1，x2∈D，且

x1<x2；○2 作差

f(x1)－f(x2)；○3 變形（通常是因式分解和配方）；○4○5定號（即判斷差

f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；下結(jié)論（指出函數(shù)

f(x)在給定的區(qū)間

D

上的單調(diào)性）．(B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)

f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)

u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間

,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.8．函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)）（1）偶函數(shù)一般地，對于函數(shù)

f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)

x，都有f(－x)=f(x)，那么

f(x)就叫做偶函數(shù)．（2）．奇函數(shù)一般地，對于函數(shù)

f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)

x，都有f(－x)=—f(x)，那么

f(x)就叫做奇函數(shù)．（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：○1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；○2確定

f(－x)與

f(x)的關(guān)系；○3作出相應(yīng)結(jié)論：若

f(－x)

=

f(x)

或

f(－x)－f(x)=

0，則

f(x)是偶函數(shù)；若

f(－x)

=－f(x)

或

f(－x)＋f(x)

=

0，則

f(x)是奇函數(shù)．注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據(jù)定義判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來判定;(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定

.（1）.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.（2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：配湊法待定系數(shù)法換元法方程組法10．函數(shù)最大（小）值（定義見課本）利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲怠? 利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值○2○3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担喝绻瘮?shù)

y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)

y=f(x)在

x=b

處有最大值

f(b)；如果函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)

y=f(x)在

x=b

處有最小值

f(b)；例題：1.求下列函數(shù)的定義域：⑴x

2

2

x

15y

⑵

y

1

(

x

1)2x3

3 x

12設(shè)函數(shù)

f

(

x)

的定義域?yàn)閇0，1]

，則函數(shù)

f

(

x

2

)

的定義域?yàn)開

_

若函數(shù)

f

(

x

1)

的定義域?yàn)閇2，3]，則函數(shù)

f(2x

1)

的定義域是

x

2(x

1)f(x)

x

(1

x

2)2x(x

2)4.函數(shù) ，若

f

(x)

3

，則

x

=

5.求下列函數(shù)的值域：⑴

y

x22x3(x

R)⑵

y

x2

2x

3x

[1,

2](3)y

x

1

2x (4)y

x2

4x56.已知函數(shù)

f

(x

1)

x2

4x

，求函數(shù)

f(x)，

f

(2x1)的解析式7.已知函數(shù)

f

(x)滿足2f

(x)

f

(x)3x4，則

f

(x)

=

。8.設(shè)

f(x)是

R

上的奇函數(shù)，且當(dāng)x

[0,

)

時(shí),

f

(x)

x(1

3

x

)

,則當(dāng)x

(,

0)

時(shí)第7頁共13

頁f

(x)=

f

(x)在

R

上的解析式為

9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：⑴y

x2

2x

3 ⑵

y

x2

2x

3 ⑶y

x26x

110.判斷函數(shù)

y

x3

1的單調(diào)性并證明你的結(jié)論．f(x)

1

x

211.設(shè)函數(shù) 1

x

2

判斷它的奇偶性并且求證：1f()

f(

x)x．第二章

基本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1．根式的概念：一般地，如果

xn

a

，那么

x

叫做a

的n次方根，其中n

>1，且n

∈

N

*．負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0

的任何次方根都是

0，記作n0

0

。當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，nan

a，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)

，(a

0)

a(a

0)nan|a|

a2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：m

a

n

n

am

(a

0,

m,

n

N

*

,

n

1)，1第8

頁共13

頁

(a

0,

m,

n

N

*

,

n

1)an

am1ma

nn

m(a

0,

r,

s

R)

；(a

0,

r,

s

R)

；(a

0,

r,

s

R)

．0

的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于

0，0

的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義3．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)ar

·

ar

ar

s(ar)s

ars(ab)r

ara

s（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)

y

a

x

(a

0,且a

1)

叫做指數(shù)函數(shù)，其中

x

是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

R．注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和

1．2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<165432-1-4-224601

165432-1-4-224601

1定義域

R定義域

R值域{y|y＞0}值域{y|y＞0}在

R

上單調(diào)遞增在

R

上單調(diào)遞減非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（0，1）函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（0，1）注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：（1）在[a，b]上，f

(x)

a

x

(a

0且a

1)

值域是[f

(a),

f

(b)]或[f

(b),

f

(a)]

；（2）若x

0

，則f

(x)

1；

f

(x)

取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)x

R

；（3）對于指數(shù)函數(shù)f

(x)

a

x

(a

0且a

1)

，總有f

(1)

a

；二、對數(shù)函數(shù)（一）對數(shù)1．對數(shù)的概念：一般地，如果a

x

N

(a

0,

a

1)

，那么數(shù)

x

叫做以．a(chǎn)

為．底．N

的對數(shù)，記作：

x

log

a

N

（

a

—

底數(shù)，

N

—

真數(shù)，

log

a

N

—

對數(shù)式）說明：○1 注意底數(shù)的限制a

0

，且a

1；a○2 ax

N

logN

x

；

○3 注意對數(shù)的書寫格式．兩個(gè)重要對數(shù)：○1 常用對數(shù)：以

10

為底的對數(shù)lg

N

；a

log

N第9

頁共13

頁○2 自然對數(shù)：以無理數(shù)e

2.71828為底的對數(shù)的對數(shù)lnN

．指數(shù)式與對數(shù)式的互化冪值 真數(shù)aab＝NlogN＝

b底數(shù)指數(shù) 對數(shù)（二）對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a

0

，且a

1，

M

0

，

N

0

，那么：a

Na alogM

logM－logN

；○1 log

a

(M

·

N

)

log

a

M

＋

loga

N

；○2○3loga

M

nlog

Mna(n

R)

．注意：換底公式calog

alogb

logc

b（

a

0

，

且

a

1

；

c

0

，

且

c

1

；b

0

）．利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論nnam（1）

log b

log

bba am log

a1；（2）

log

b

．5

5（二）對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)

y

log

a

x(a

0

，且a

1)

叫做對數(shù)函數(shù)，其中

x

是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）．注意：○1 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定x義，注意辨別。如：

y

2

log2

x

，

y

log 都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)．○2 對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：

(a

0

，且a

1)

．2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：a>10<a<1第10

頁共13

頁32.521.50.5-0.5-1-1.5-2-2.532.521.50.5-0.5-1-1.5-2-2.58-8111110112345671011234567定義域

x＞0定義域

x＞0值域?yàn)?/p>

R值域?yàn)?/p>

R在

R

上遞增在

R

上遞減函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（1，0）函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（1，0）（三）冪函數(shù)1、冪函數(shù)定義：一般地，形如

y

x

(a

R)

的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)．2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納．所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義并且圖象都過點(diǎn)（1，1）；

0

時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0,)上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)

1時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0

1時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；

0

時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,)

上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)

x

從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在

y

軸右方無限地逼近

y

軸正半軸，當(dāng)

x

趨于

時(shí)，圖象在

x

軸上方無限地逼近

x

軸正半軸．例題：1.已知

a>0，a 0，函數(shù)

y=ax

與

y=log

(-x)的圖象只能是a( )第11

頁共13

頁2.

計(jì)

算

： ①log27

64log3

2;

②

24log2

3

=

；5 51325log272log

2=

;③12

3413

80.064

(

)

[(2)]

16

0.010.750 3

7=2函數(shù)

y=log

1

(2x

-3x+1)的遞減區(qū)間為

2若函數(shù)

f

(x)

loga

x(0

a

1)