排列組合問題題型方法總結(jié)

PAGEPAGE1排列組合常用方法題型總結(jié)【知識內(nèi)容】1．基本計數(shù)原理⑴加法原理分類計數(shù)原理：做一件事，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種方法，……，在第類辦法中有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱加法原理．⑵乘法原理分步計數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成個子步驟，做第一個步驟有種不同的方法，做第二個步驟有種不同方法，……，做第個步驟有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱乘法原理．⑶加法原理與乘法原理的綜合運用如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類計數(shù)原理．如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分步計數(shù)原理．分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是求解排列、組合問題的基本思想方法，這兩個原理十分重要必須認(rèn)真學(xué)好，并正確地靈活加以應(yīng)用．2．排列與組合⑴排列：一般地，從個不同的元素中任取個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．（其中被取的對象叫做元素）排列數(shù)：從個不同的元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示．排列數(shù)公式：，，并且．全排列：一般地，個不同元素全部取出的一個排列，叫做個不同元素的一個全排列．的階乘：正整數(shù)由到的連乘積，叫作的階乘，用表示．規(guī)定：．⑵組合：一般地，從個不同元素中，任意取出個元素并成一組，叫做從個元素中任取個元素的一個組合．組合數(shù)：從個不同元素中，任意取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中，任意取出個元素的組合數(shù)，用符號表示．組合數(shù)公式：，，并且．組合數(shù)的兩個性質(zhì)：性質(zhì)1：；性質(zhì)2：．（規(guī)定）⑶排列組合綜合問題解排列組合問題，首先要用好兩個計數(shù)原理和排列組合的定義，即首先弄清是分類還是分步，是排列還是組合，同時要掌握一些常見類型的排列組合問題的解法：1．特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；2．分類分步法：對于較復(fù)雜的排列組合問題，常需要分類討論或分步計算，一定要做到分類明確，層次清楚，不重不漏．3．排除法，從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法．4．捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個”元素，與其它元素進(jìn)行排列，然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列．5．插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空．6．插板法：個相同元素，分成組，每組至少一個的分組問題——把個元素排成一排，從個空中選個空，各插一個隔板，有．7．分組、分配法：分組問題（分成幾堆，無序）．有等分、不等分、部分等分之別．一般地平均分成堆（組），必須除以！，如果有堆（組）元素個數(shù)相等，必須除以！8．錯位法：編號為1至的個小球放入編號為1到的個盒子里，每個盒子放一個小球，要求小球與盒子的編號都不同，這種排列稱為錯位排列，特別當(dāng)，3，4，5時的錯位數(shù)各為1，2，9，44．關(guān)于5、6、7個元素的錯位排列的計算，可以用剔除法轉(zhuǎn)化為2個、3個、4個元素的錯位排列的問題．1．排列與組合應(yīng)用題，主要考查有附加條件的應(yīng)用問題，解決此類問題通常有三種途徑：①元素分析法：以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；②位置分析法：以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；③間接法：先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)．求解時應(yīng)注意先把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題；再通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理；然后分析題目條件，避免“選取”時重復(fù)和遺漏；最后列出式子計算作答．合并單元格解決染色問題Eg如圖1，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種（以數(shù)字作答）。分析：顏色相同的區(qū)域可能是2、3、4、5．下面分情況討論:(ⅰ)當(dāng)2、4顏色相同且3、5顏色不同時，將2、4合并成一個單元格，此時不同的著色方法相當(dāng)于4個元素①③⑤的全排列數(shù)（ⅱ）當(dāng)2、4顏色不同且3、5顏色相同時，與情形(ⅰ)類似同理可得種著色法．（ⅲ）當(dāng)2、4與3、5分別同色時，將2、4；3、5分別合并，這樣僅有三個單元格①從4種顏色中選3種來著色這三個單元格，計有種方法．由加法原理知：不同著色方法共有2=48+24=72（種）練習(xí)1（天津卷（文））將3種作物種植12345在如圖的5塊試驗田里，每快種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物，不同的種植方法共種（以數(shù)字作答）（72）2．某城市中心廣場建造一個花圃，花圃6分為個部分（如圖3），現(xiàn)要栽種4種顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同一樣顏色的話，不同的栽種方法有種（以數(shù)字作答）．（120）圖3圖43．如圖4，用不同的5種顏色分別為ABCDE五部分著色，相鄰部分不能用同一顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用也可以不用，則符合這種要求的不同著色種數(shù)．（540）4．如圖5：四個區(qū)域坐定4個單位的人，有四種不同顏色的服裝，每個單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝，且相鄰兩區(qū)域的顏色不同，不相鄰區(qū)域顏色相同，不相鄰區(qū)域顏色相同與否不受限制，那么不同的著色方法是種（84）圖5