排列組合 林璇璇

排列與組合（一）11.排列的定義:從n個不同元素中,任取m個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.2.組合的定義:3.排列數(shù)公式:從n個不同元素中,任取m個元素,并成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.4.組合數(shù)公式:排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系:與順序有關的為排列問題,與順序無關的為組合問題.2在解排列與組合應用題時，能做到“不重”、“不漏”，對題設中“有且僅有”、“至多”、“至少”、“全是”、“不全是”等詞語確切含義的理解，掌握解排列與組合綜合應用題的處理模式。注意3解決排列組合幾種技巧插空法捆綁法轉化法排除法對等法4（1）插空法：對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題,可以用插入法.

例一：學校組織老師學生一起看電影，同一排電影票12張。8個學生，4個老師，要求老師在學生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？5解析：先排學生共有種排法,然后把老師插入學生之間的空檔，共有7個空檔可插,選其中的4個空檔,共有種選法.根據(jù)乘法原理,共有的不同坐法為種.6要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內(nèi)部也可以作排列.2捆綁法:例二5個男生3個女生排成一排,3個女生要排在一起,有多少種不同的排法?7解因為女生要排在一起,所以可以將3個女生看成是一個人,解法(1)與5個男生作全排列,有種排法,其中女生內(nèi)部也有種排法,根據(jù)乘法原理,共有種不同的排法.（2）先將五個男生進行排列，然后再六個空當去一個放這個捆綁的體，再將三個女生進行內(nèi)部排列。根據(jù)乘法原理共有種排法、8有些問題,正面直接考慮比較復雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中排除.例三我們班里有43位同學,從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?3排異法:9分析此題若是直接去考慮的話,就要將問題分成好幾種情況,這樣解題的話,容易造成各種情況遺漏或者重復的情況.而如果從此問題相反的方面去考慮的話,不但容易理解,而且在計算中也是非常的簡便.這樣就可以簡化計算過程.解143人中任抽5人的方法有種,正副班長,團支部書記都不在內(nèi)的抽法有種,所以正副班長,團支部書記至少有1人在內(nèi)的抽法有種.

解2：因為5人中至少一人來自于正、副班長和團支書，那么可能是1、2、3即則對應的4來自于剩下的40人，分別4、3、2即,最后由乘法原理和加法原理可得10（4）綜合擴展：容斥原理：S是有限集，A、B屬于S，則例四：求由n()個相異的元做成的與不相鄰，與也不相鄰的全排列個數(shù)。11解析：設所求為N，以S表示所有元素的全排列，則/S/=N!以A，B分別表示S中的全排列所成之集12在有些題目中,它的限制條件的肯定與否定是對等的,各占全體的二分之一.在求解中只要求出全體,就可以得到所求.例5期中安排考試科目9門,語文要在數(shù)學之前考,有多少種不同的安排順序?（5）對等法:13分析對于任何一個排列問題,就其中的兩個元素來講的話,他們的排列順序只有兩種情況,并且在整個排列中,他們出現(xiàn)的機會是均等的,因此要求其中的某一種情況,能夠得到全體,那么問題就可以解決了.并且也避免了問題的復雜性.解不加任何限制條件,整個排法有種,“語文安排在數(shù)學之前考”,與“數(shù)學安排在語文之前考”的排法是相等的,所以語文安排在數(shù)學之前考的排法共有種.14對于某些較復雜的、或較抽象的排列組合問題，可以利用轉化思想,將其化歸為簡單的、具體的問題來求解.例6高二年級8個班,組織一個12個人的年級學生分會,每班要求至少1人,名額分配方案有多少種?（六）轉化法:15解法1此題可以轉化為:將12個相同的白球分成8份,有多少種不同的分法