利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值最值

第4講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值高考定位

考查函數(shù)極值、最值的求法，綜合考查與范圍有關(guān)問題.1.(2017·全國Ⅱ卷)若x＝－2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的極值點(diǎn)，則f(x)的極小值為(

) A.－1 B.－2e－3

C.5e－3 D.1真

題

感

悟解析

f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，則f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0?a＝－1，則f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1，當(dāng)x<－2或x>1時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)－2<x<1時(shí)，f′(x)<0，則f(x)極小值為f(1)＝－1.答案

A1.極值的判別方法

對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)，如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值；如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是極小值.極值是一個(gè)局部概念，極值的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值小.2.閉區(qū)間上函數(shù)的最值

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，一定有最大值和最小值，其最大值是區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值和在這個(gè)區(qū)間內(nèi)函數(shù)的所有極大值中的最大者，最小值是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值和在這個(gè)區(qū)間內(nèi)函數(shù)的所有極小值中的最小者.考

點(diǎn)

整

合令f′(x)＝0得x＝2或－1(舍).隨著x的變化，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：

當(dāng)a<0時(shí)，隨著x的變化，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：探究提高函數(shù)極值的兩類熱點(diǎn)問題(1)求函數(shù)f(x)極值這類問題的一般解題步驟為：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；④列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負(fù)右正，那么f(x)在x0處取極小值.(2)由函數(shù)極值求參數(shù)的值或范圍.討論極值點(diǎn)有無(個(gè)數(shù))問題，轉(zhuǎn)化為討論f′(x)＝0根的有無(個(gè)數(shù)).然后由已知條件列出方程或不等式求出參數(shù)的值或范圍，特別注意：極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，而導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，要檢驗(yàn)極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號.解析(1)由題得f′(x)＝3ax2－4x＋1.若f(x)在R上無極值點(diǎn)，則f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立.①當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)＝－4x＋1，顯然不滿足條件；②當(dāng)a≠0時(shí)，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要條件是(2)y′＝f′(x)＝aeax＋3，當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0在R上恒成立，∴f(x)無極值點(diǎn)；熱點(diǎn)二用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題【例2】

(2019·全國Ⅲ卷)已知函數(shù)f(x)＝2x3－ax2＋2.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)0<a<3時(shí)，記f(x)在區(qū)間[0，1]的最大值為M，最小值為m，求M－m的取值范圍.解(1)f(x)的定義域?yàn)镽，f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a).若a＝0，則f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增；探究提高

(1)求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟：①求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；②求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)；③將函數(shù)f(x)的極值與

f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.(2)含參數(shù)的函數(shù)的最值一般不通過比值求解，而是先討論函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求出最值.含參函數(shù)在區(qū)間上的最值通常有兩類：一是動極值點(diǎn)定區(qū)間，二是定極值點(diǎn)動區(qū)間，這兩類問題一般根據(jù)區(qū)間與極值點(diǎn)的位置關(guān)系來分類討論.【訓(xùn)練2】

已知函數(shù)f(x)＝(ax－2)ex在x＝1處取得極值. (1)求a的值； (2)求函數(shù)在區(qū)間[m，m＋1]上的最小值.

解

(1)f′(x)＝(ax＋a－2)ex，

由已知得f′(1)＝(a＋a－2)e＝0，

解得a＝1，經(jīng)檢驗(yàn)a＝1符合題意，所以a的值為1. (2)由(1)得f(x)＝(x－2)ex，f′(x)＝(x－1)ex.

令f′(x)>0得x>1，令f′(x)<0得x<1.

所以函數(shù)f(x)在(－∞，1)上遞減，在(1，＋∞)上遞增.當(dāng)m≥1時(shí)，f(x)在[m，m＋1]上遞增，f(x)min＝f(m)＝(m－2)em.當(dāng)0<m<1時(shí)，f(x)在[m，1]上遞減，在(1，m＋1]上遞增，f(x)min＝f(1)＝－e.當(dāng)m≤0時(shí)，m＋1≤1，f(x)在[m，m＋1]上單調(diào)遞減，f(x)min＝f(m＋1)＝(m－1)em＋1.綜上，f(x)在[m，m＋1]上的最小值為1.對于存在一個(gè)極大值和一個(gè)極小值的函數(shù)，其圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，除了受兩個(gè)極值大小的制約外，還受函數(shù)在兩個(gè)