高中數(shù)學(xué)知識(shí)精要（新）.不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精不等式1、不等式的性質(zhì):(1）同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若，則(若，則）,但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減;（2)左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘:若，則（若，則）；（3）左右同正不等式：兩邊可以同時(shí)乘方或開方：若,則或；（4)若，，則；若,，則。特別提醒:如果對(duì)不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)代數(shù)式,要注意它的正負(fù)號(hào),如果正負(fù)號(hào)未定，要注意分類討論.如（1）對(duì)于實(shí)數(shù)中，給出下列命題:①;②；③；④；⑤;⑥；⑦；⑧,則。其中正確的命題是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知,,則的取值范圍是______（答：）；(3）已知，且則的取值范圍是______（答：）2.不等式大小比較的常用方法：（1)作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果;(2）作商(常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）;（3）分析法；（4）平方法；（5)分子(或分母)有理化;（6)利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量（一般先把要比較的代數(shù)式與“0”比，與“1”比，然后再比較它們的大小）或放縮法；（8如（1）設(shè)，比較的大小(答：當(dāng)時(shí)，(時(shí)取等號(hào)）；當(dāng)時(shí),（時(shí)取等號(hào)）);（2)設(shè)，，，試比較的大?。ù穑海?（3）比較1+與的大小（答：當(dāng)或時(shí)，1+＞；當(dāng)時(shí)，1+＜；當(dāng)時(shí)，1+＝)特值法是判斷不等式命題是否成立的一種方法，此法尤其適用于不成立的命題。3.利用重要不等式求函數(shù)最值時(shí)，你是否注意到:“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這17字方針。常用的方法為：拆、湊、平方.如(1）下列命題中正確的是A、的最小值是2B、的最小值是2C、的最大值是D、的最小值是（答：C）；（2）若，則的最小值是______（答：)；（3）正數(shù)滿足,則的最小值為______（答:)；4。常用不等式有：(1）(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用）；（2)a、b、cR，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）；（3）若，則（糖水的濃度問題）。如如果正數(shù)、滿足,則的取值范圍是_________（答：）5．一元一次不等式的解法Ⅰ、：⑴若,則；⑵若，則；Ⅱ、:⑴若，則;⑵若，則；5．一元二次不等式的解法=1\＊GB3①化為標(biāo)準(zhǔn)式（二次系數(shù)為零）,判斷判別式的正負(fù)（優(yōu)先考慮因式分解）,時(shí)求根，比較根的大小，寫出結(jié)論則（Ⅰ)（Ⅱ）若二次函數(shù)系數(shù)含參數(shù)且未指明不為零時(shí)，需驗(yàn)證若解集為R呢?如:關(guān)于x的不等式對(duì)x∈R恒成立，則a的取值范圍。略解（Ⅰ)（Ⅱ)6．確定二元一次不等式表示的區(qū)域的步驟：①在平面直線坐標(biāo)系中作出直線.②在直線的一側(cè)任取一點(diǎn),特殊地,當(dāng)C≠0時(shí)，常把原點(diǎn)作為特殊點(diǎn).③將代入Ax+By+C求值若,則包含此點(diǎn)P的半平面為不等式所表示的平面區(qū)域，不包含此點(diǎn)P的半平面為不等式所表示的平面區(qū)域.也可采用：把二元一次不等式改寫成或的形式,前者表示直線的上方區(qū)域，后者表示直線的下方區(qū)域。提醒：（1）畫不等式Ax+By+C≥0所表示的平面區(qū)域時(shí),區(qū)域包括邊界線，因此，將邊界直線畫成實(shí)線；無等號(hào)時(shí)區(qū)域不包括邊界線，用虛線表示不包含直線.（2)表示直線的上方，表示直線的下方。（3）設(shè)點(diǎn),，若與同號(hào)，則P，Q在直線的同側(cè)，異號(hào)則在直線的異側(cè).如已知點(diǎn)A（-2，4），B（4，2），且直線與線段AB恒相交，則的取值范圍是__________（答：）7．簡單的線性規(guī)劃：（1）線性規(guī)劃問題中的有關(guān)概念：①滿足關(guān)于的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件。②關(guān)于變量的解析式叫目標(biāo)函數(shù)，關(guān)于變量一次式的目標(biāo)函數(shù)叫線性目標(biāo)函數(shù);③求目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，稱為線性規(guī)劃問題；④滿足線性約束條件的解（）叫可行解,由所有可行解組成的集合叫做可行域；⑤使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解;（2）求解線性規(guī)劃問題的步驟是什么?①根據(jù)實(shí)際問題的約束條件列出不等式；②作出可行域，寫出目標(biāo)函數(shù)；③確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解。如（1)線性目標(biāo)函數(shù)z=2x－y在線性約束條件下，取最小值的最優(yōu)解是____（答：（－1,1））；（2）點(diǎn)（－２，)在直線2x－3y+6=0的上方，則的取值范圍是_________（答:)；（3）不等式表示的平面區(qū)域的面積是_________（答：8);(4）如果實(shí)數(shù)滿足,則的最大值_________（答：21）（3）在求解線性規(guī)劃問題時(shí)要注意：①將目標(biāo)函數(shù)改成斜截式方程;②尋找最優(yōu)解時(shí)注意作圖規(guī)范。8．簡單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是:（1）分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；（2）將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；(3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號(hào)變化規(guī)律,寫出不等式的解集。如（1）解不等式。（答：或)；（2）不等式的解集是____（答：或）；（3）設(shè)函數(shù)、的定義域都是R，且的解集為，的解集為，則不等式的解集為______（答：）；(4）要使?jié)M足關(guān)于的不等式（解集非空）的每一個(gè)的值至少滿足不等式中的一個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______。（答：）9．分式不等式的解法:分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母.如（1）解不等式（答：）；（2）關(guān)于的不等式的解集為,則關(guān)于的不等式的解集為____________(答：）.10．含參不等式的解法:求解的通法是“定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵．”注意解完之后要寫上:“綜上，原不等式的解集是…”.注意：按參數(shù)討論,最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集;但若按未知數(shù)討論,最后應(yīng)求并集。提醒:解含有參數(shù)的不等式要注意對(duì)字母參數(shù)的討論,如果遇到下述情況則一般需要討論：①不等式兩端乘除一個(gè)含參數(shù)的式子時(shí),則需討論這個(gè)式子的正、負(fù)、零性.②在求解過程中，需要使用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，則需對(duì)它們的底數(shù)進(jìn)行討論.③在解含有字母的一元二次不等式時(shí)，需要考慮相應(yīng)的二次函數(shù)的開口方向,對(duì)應(yīng)的一元二次方程根的狀況（有時(shí)要分析△），比較兩個(gè)根的大小,設(shè)根為（或更多)但含參數(shù)，要分、、討論。如（1）若，則的取值范圍是__________（答：或)；（2）解不等式（答：時(shí)，；時(shí)，或;時(shí)，或）提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值。如關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為__________(答：（－1,2）)11.不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題:不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式?(常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）（1)。恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間上如（1）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是______（答:）；（2)不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍_____（答:）;（3)若不等式對(duì)滿足的所有都成立，則的取值范圍_____(答:（，））；（4)若不等式對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____（答：）；（5）若不等式對(duì)的所有實(shí)數(shù)都成立,求的取值范圍。（答:）（2）.能成立問題若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間上；若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立，則等價(jià)于在區(qū)間上的.如已知不等式在實(shí)數(shù)集上的解集不是空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍______（答:）(3).恰成立問題若不等式在區(qū)間上恰成立，則等價(jià)于不等式的解集為；若不等式在區(qū)間上恰成立,則等價(jià)于不等式的解集為。12．含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：同號(hào)或有;異號(hào)或有.如設(shè)，實(shí)數(shù)滿足，求證：13．絕對(duì)值不等式的解法：（1）分段討論法（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）：如解不等式(答:）；（2)利用絕對(duì)值的定義;（3）數(shù)形結(jié)合；如解不等式（答：）（4）兩邊平方：如若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______。（答：）14．證明不等式的方法：比較法、分