等比數(shù)列的概念

等比數(shù)列概念名稱等差數(shù)列概念常數(shù)性質(zhì)通項通項變形舊知回顧從第2項起,每一項與它前一項的差等同一個常數(shù)公差(d)d可正可負,且可以為零

國際象棋起源于印度，關(guān)于國際象棋有這樣一個傳說，國王要獎勵國際象棋的發(fā)明者，問他有什么要求，發(fā)明者說：“請在棋盤上的第一個格子上放1粒麥子，第二個格子上放2粒麥子，第三個格子上放4粒麥子，第四個格子上放8粒麥子，依次類推，即每一個格子中放的麥粒都必須是前一個格子麥粒數(shù)目的2倍，直到第64個格子放滿為止。”國王慷慨地答應(yīng)了他。左圖為國際象棋的棋盤，棋盤有64個格

1234567812345678上述棋盤中各格子里的麥粒數(shù)按先后次序排成一列數(shù)：情景展示（1）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”-----莊子如果將“一尺之棰”視為一份，則每次截取后剩下的部分依次為：情景展示（2）36，36×0.9，36×0.92,36×0.93,…

某種汽車購買時的價格是36萬元，每年的折舊率是10%，求這輛車各年年初時的價格（單位：萬元）。各年年初汽車的價格組成數(shù)列：情景展示（3）第一年36萬元第二年初36×0.9萬元第三年初36×0.92萬元第四年初36×0.93萬元…想一想共同特點？

從第2項起，每一項與前一項的比都等于同一常數(shù)。(1)

(2)…………36，36×0.9，36×0.92,36×0.93,…（3）或其數(shù)學(xué)表達式等比數(shù)列定義

一般地，如果一個數(shù)列從第

項起，每一項與它的前一項的

等于

，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示。比同一個常數(shù)2(判斷一個數(shù)列是否為等比數(shù)列的依據(jù))課堂互動(1)1，3，9，27，81，…(3)5，5，5，5，5，5，…(4)1，-1，1，-1，1，…是,公比

q=3是,公比q=x是,公比q=-1(7)

(2)

是,公比

q=觀察并判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列:是,公比

q=1(5)

1，0，1，0，1，…(6)

0，0，0，0，0，…不是等比數(shù)列不是等比數(shù)列(1)1，3，9，27，…(3)5，5，5，5，…(4)1，-1，1，-1，…(2)

(5)

1，0，1，0，…(6)

0，0，0，0，…1.各項不能為零,即

2.公比不能為零,即4.數(shù)列a,a,a,…時,既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列;時,只是等差數(shù)列而不是等比數(shù)列.3.當q>0，各項與首項同號

當q<0，各項符號正負相間對概念的更深理解等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo):(n-1)個式子……方法一:(疊加法)……方法二:(歸納法)等比數(shù)列通項公式的推導(dǎo)：(n-1)個式子……方法一:疊乘法……方法二:歸納法11-=nnqaa等比數(shù)列的通項公式當q=1時，這是一個常函數(shù)。等比數(shù)列，首項為,公比為q,則通項公式為①②（這是等比數(shù)列通項公式的推廣形式）想一想：由一個等比數(shù)列{an}中的任意兩項an

，am是否可以確定這個等比數(shù)列的通項公式？解法2：想一想：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G應(yīng)滿足什么條件？結(jié)論：即即則等比中項：由此得,在等比數(shù)列a1

,

a2

,a3

,a4

,a5

,…an,…中,結(jié)論：從函數(shù)的角度來看等比數(shù)列通項公式：數(shù)列：1，2，4，8，16，…1234567891024681012141618200●●●●●等比數(shù)列的圖像（2）數(shù)列：12345678910123456789100●●●●●●●等比數(shù)列的圖象3數(shù)列：4，4，4，4，4，4，4…12345678910123456789100●●●●●●●●●●等比數(shù)列的圖象4數(shù)列：1，-1，1，-1，1，-1，1，…12345678910123456789100●●●●●●●●●●當q>1，a1>0，數(shù)列是遞增數(shù)列.或0<q<1，a1<0

時，當

q>1，a1<0，數(shù)列是遞減數(shù)列.或0<q<1，a1>0

時，說明：(1)因為等比數(shù)列每一項都可能作分母，所以每一項均不為0，因此

q≠0.(2)當q<0時，數(shù)列是擺動數(shù)列.當q=1時，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列.當q>0時，數(shù)列單調(diào)性不定.例2.

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,（1）求（2）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列.（1）解:即又即例2.

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,（1）求（2）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列.（2）證明:當n≥2時，∴數(shù)列{an}是首項為，公比為的等比數(shù)列.當n=1時，，.解：由知：數(shù)列{an}是首項為a1=1，公比為q=的等比數(shù)列.又由即所以數(shù)列{bn}是首項為b1=1，公差為d=－1的等差數(shù)列.

本題揭示了等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的一種代數(shù)變換關(guān)系.不失一般性，設(shè)c＞0，c≠1,則：說明：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，那么數(shù)列是等比數(shù)列；反之,若{an}是等比數(shù)列且an＞0,則數(shù)列是等差數(shù)列.

易錯點評：審題不細心．根據(jù)a7是a5與a9的等比中項求出a7

后易忽視對a7

符號的討論．等比數(shù)列{an}的判定方法：本課欄目開關(guān)填一填練一練研一研2.4（一）216

本課欄目開關(guān)填一填練一練研一研2.4（一）研一研·問題探究、課堂更高效本課欄目開關(guān)填一填練一練研一研2.4（一）本課欄目開關(guān)填一填練一練研一研2.4