工程力學下冊動量定理

工程力學下冊動量定理第一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日

●8.4功率、功率方程和機械效率

●8.4.1功率

●8.4.2功率方程

●8.4.3機械效率

●

8.5普遍定理的綜合應用●本章習題第二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日●

8.1力的功●

8.1.1力的功的概念

1.常力的功設質(zhì)點M在大小和方向都不變的力F的作用下，沿直線走過一段路程s，力F在這段路程內(nèi)所積累的效應用力的功來量度，以W記之，并定義為式中，為力F與直線位移方向之間的夾角。功是代數(shù)量，其量綱為功在國際單位制中的單位為焦(J)，1J等于1N的力在同方向1m的路程上做的功。第三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日2.變力的功如圖8.1所示，質(zhì)點M在任意變力F作用下沿曲線運動，力在無限小位移dr中可視為常力，小弧段ds可視為直線，dr可視為沿M點的切線。在一無限小位移中力所做的功稱為元功，以表示。所以力的元功為(8-1)或?qū)懗芍苯亲鴺诵问?8-2)在一般情況下，上式右邊不表示某個坐標函數(shù)的全微分，所以元功用符號而不用dW。第四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日

力在有限路程上的功：力在有限路程M1M2上的功為力在此路程上元功的定積分，即

(8-3)

(8-4)

或由式(8-3)和式(8-4)可知，當力始終與質(zhì)點位移垂直時，該力不做功。

●8.1.2常見力的功1.重力的功如圖8.2所示，質(zhì)點沿軌跡由M1運動到M2，其重力在直角坐標軸上的投影為X=0，Y=0，Z=-mg第五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日所以重力的功為

(8-5)由此可見，重力的功僅與質(zhì)點運動開始和終了位置有關，而與運動軌跡無關。對于質(zhì)點系，所有質(zhì)點重力做功之和為由質(zhì)心坐標公式，有由此可得

(8-6)式中，m為質(zhì)點系的質(zhì)量；為質(zhì)點系運動始末位置質(zhì)心的高度差。所以質(zhì)點系重力的功也與質(zhì)心運動軌跡的形狀無關。第六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日2.彈性力的功設質(zhì)點受指向固定中心O點的彈性力作用，當質(zhì)點的矢徑表示為r

=

rer時，在彈性限度內(nèi)彈性力可表示為F=-k(r-l0)er式中，k為彈簧的剛度系數(shù)；l0為彈簧的原長；er為沿質(zhì)點矢徑方向的單位矢量。彈性力在如圖8.3所示有限路程M1M2上的功為因為第七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日于是或(8-7)式中，、分別為質(zhì)點在起點及終點處彈簧的變形量。由式(8-7)可知，彈性力在有限路程上的功只決定于彈簧在開始及終了位置的變形量，而與質(zhì)點的運動路徑無關。3.定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功如圖8.4所示，作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上的力F的元功為第八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日于是力F在有限轉(zhuǎn)動中的功為

(8-8)4.平面運動剛體上力系的功如圖8.5所示，剛體上任意一點的無限小位移可寫為式中，drC為質(zhì)心的無限小位移；driC為點Mi繞質(zhì)心C的無限小轉(zhuǎn)動位移。作用于點Mi上的力的元功為第九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日而作用于剛體上的全部力的元功為 (8-9)式中，F(xiàn)R為力系的主矢量；MC為力系對質(zhì)心的主矩。在有限路程上的功為

(8-10)可見，平面運動剛體上力系的功就等于力系向質(zhì)心簡化所得的力和力偶做功之和。這個結論也適用于做一般運動的剛體，基點也可以是剛體上任意一點。第十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日●8.2質(zhì)點和質(zhì)點系動能●8.2.1質(zhì)點系的動能設質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，任一質(zhì)點Mi在某時刻的動能表示為，質(zhì)點系內(nèi)所有質(zhì)點在某時刻動能的算術和稱為該時刻質(zhì)點系的動能，以T表示，即(8-11)動能是描述機械運動強度的一個物理量，是一個標量，恒取正值。動能的單位與功的單位相同。剛體是由無數(shù)質(zhì)點組成的質(zhì)點系。剛體做不同的運動時，各質(zhì)點的速度分布不同，剛體的動能應按照剛體的運動形式來計算。第十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日●8.2.2平動剛體的動能

當剛體平動時，各點的速度都相同，可以質(zhì)心速度vC為代表，于是平動剛體的動能為 (8-12)如果設想質(zhì)心是一個質(zhì)點，它的質(zhì)量等于剛體的質(zhì)量，則平動剛體的動能等于此質(zhì)點的動能?！?.2.3定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能當剛體繞固定軸z轉(zhuǎn)動時，如圖8.6所示，其上任一點mi的速度為式中，是剛體的角速度；ri是質(zhì)點mi到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。第十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日于是，繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能為式中，為剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量，所以有(8-13)即繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體的動能，等于剛體對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度平方的乘積的1/2。如圖8.7所示，質(zhì)心為C的剛體做平面運動時，可視為繞通過速度瞬心P并與運動平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動，動能可寫為●

8.2.4平面運動剛體的動能第十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理有代入上式得而是質(zhì)心的速度的大小，因此

(8-14)即平面運動剛體的動能等于隨質(zhì)心平動的動能與繞通過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的動能之和。第十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日●

8.3動能定理●8.3.1質(zhì)點動能定理質(zhì)點的動能定理建立了質(zhì)點的動能與作用力的功之間的關系。牛頓第二定律給出，上式兩邊點乘dr得

因于是上式可寫為或

(8-15)式中，為質(zhì)點的動能；為力的元功。第十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日式(8-15)稱為質(zhì)點動能定理的微分形式，即作用于質(zhì)點上力的元功等于質(zhì)點動能的增量。將式(8-15)積分，得 (8-16)

式中，為作用于質(zhì)點上的力在有限路程上的功。式(8-16)為質(zhì)點動能定理的積分形式，即質(zhì)點運動的某個過程中，作用于質(zhì)點上的力做的功等于質(zhì)點動能的改變量。由此可見，力做正功，質(zhì)點動能增加；力做負功，質(zhì)點動能減少。第十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日●8.3.2質(zhì)點系動能定理設質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，其中任意一質(zhì)點質(zhì)量為mi，速度為vi，作用于該質(zhì)點上的力為Fi。根據(jù)質(zhì)點動能定理的微分形式有

i=1,2,···,nn個方程相加，得交換微分及求和的次序，有式中，為質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點動能的和，稱為質(zhì)點系的動能，常用T表示；為作用于質(zhì)點系上所有力的元功之和。第十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日所以得出

(8-17)式(8-17)為質(zhì)點系動能定理的微分形式，即質(zhì)點系動能的增量，等于作用于質(zhì)點系全部力所做的元功之和。積分得

(8-18)式中，和分別表示質(zhì)點系在任意有限路程的運動中起點和終點的動能。式(8-18)為質(zhì)點系動能定理的積分形式，即質(zhì)點系在某一段路程的運動中，起點和終點動能的改變量，等于作用于質(zhì)點系的全部力在這段路程中所做功的和。第十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日●8.3.3理想約束及內(nèi)力做功約束力的元功的和等于零的約束稱為理想約束，即。常見的理想約束有：(1)光滑固定面和輥軸約束。其約束力垂直于作用點的位移，約束力不做功。(2)光滑鉸鏈或軸承約束。由于約束力的方向恒與位移的方向垂直，所以約束力的功為零。(3)剛性連接的約束。這種約束和剛體的內(nèi)力一樣，其元功之和恒等于零。(4)連接兩個剛體的光滑鉸鏈約束。如圖8.8(a)所示，兩個剛體相互間的約束力，大小相等、方向相反，即，兩力在O點的微小位移dr上的元功之和等于零，即第十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日(5)柔性而不可伸長的繩索約束。如圖8.8(b)所示，繩索兩端的約束力和大小相等，即，由于繩索不可伸長，所以A，B兩點的微小位移和在繩索中心線上的投影必相等，即，因此不可伸長的繩索的約束力元功之和等于零，即以上所介紹的理想約束，其約束力的元功之和均等于零。質(zhì)點系內(nèi)力的功之和一般不為零，因此在計算力的功時，將作用力分為外力和內(nèi)力并不方便，在理想約束的情形下，若將作用力分為主動力與約束力，可使功的計算得到簡化。若約束是非理想的，如需考慮摩擦力的功，在此情形下可將摩擦力當作主動力看待。第二十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日試分析當自行車爬坡時，哪些力做功？若車輪只滾不滑，內(nèi)力做功嗎？在特殊情況下，如兩質(zhì)點之間的距離不變，例如剛體上或剛性桿連接的兩點，則內(nèi)力的元功之和為零，因此剛體內(nèi)力的功之和恒等于零。【例8.1】卷揚機如圖8.9所示。鼓輪在恒力偶矩M作用下將圓柱體沿斜面上拉。已知鼓輪的半徑為，鼓輪轉(zhuǎn)動的角度為，質(zhì)量為，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱體的半徑為，質(zhì)量為，質(zhì)量均勻分布。設斜面的傾角為，圓柱體沿斜面只滾不滑。系統(tǒng)從靜止開始運動，求圓柱體中心C的速度與其路程S之間的關系。第二十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日

解:(1)以鼓輪和圓柱體組成的整個系統(tǒng)作為分析對象。(2)分析系統(tǒng)的受力并計算力的功：主動力有重力和以及主動力偶矩M；約束力有，及，，如圖8.9所示。因為O點的位移為零，所以，的功為零，而圓柱體沿斜面只滾不滑，輪緣上與斜面的接觸點為瞬心，法向約束力與靜滑動摩擦力也不做功。因此所分析的系統(tǒng)為具有理想約束的一個自由度系統(tǒng)。主動力的功為(3)分析系統(tǒng)的運動并計算動能。系統(tǒng)的動能式中，，分別為鼓輪對于中心軸O，圓柱體對于過質(zhì)心C的軸的轉(zhuǎn)動慣量，有第二十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日分別為鼓輪和圓柱體的角速度，有如下關系代入后得(4)應用質(zhì)點系動能定理并求解。質(zhì)點系動能定理所以第二十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日

【例8.2】質(zhì)量為m的物塊，自高度h處自由落下，落到有彈簧支撐的板上，如圖8.10所示。彈簧的剛性系數(shù)為k，不計彈簧和板的質(zhì)量。求彈簧的最大變形。解：分為兩個階段。(1)重物由位置Ⅰ落到板上。在這一過程中，只有重力做功，應用動能定理，有(2)物塊繼續(xù)向下運動，彈簧被壓縮，物塊速度逐漸減小，當速度等于零時，彈簧被壓縮到最大變形。在這一過程中，重力和彈性力均做功。應用動能定理，有第二十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日解得由于彈簧的變形量是正值，因此取正號，即上述兩個階段，也可以合在一起考慮，即

解得的結果與前面所得相同。上式說明，在物塊從位置Ⅰ到位置Ⅲ的運動過程中，重力做正功，彈性力做負功，恰好抵消，因此物塊運動始末位置的動能是相同的。顯然，物塊在運動過程中動能是變化的，但在應用動能定理時不必考慮始末位置之間動能是如何變化的。第二十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日●8.4功率、功率方程和機械效率●8.4.1功率在工程中，一部機器單位時間內(nèi)力所做的功稱為功率，用P來表示。功率用來衡量機器做功的快慢程度，是衡量機器性能的一項重要指標。功率的數(shù)學表達式為因為，因此功率可寫成 (8-19)

式(8-19)表明：功率等于切向力與力作用點速度的乘積。每臺機床、每臺機器能夠輸出的最大功率是一定的，因此用機床加工時，如果切削力較大，必須選擇較小的切削速度。又如汽車上坡時，由于需要較大的驅(qū)動力，這時駕駛員必須換用低速擋，以求在發(fā)動機功率一定的條件下，產(chǎn)生大的驅(qū)動力。第二十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日力矩或轉(zhuǎn)矩M的元功為則作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率為

(8-20)式(8-20)表明：力矩或轉(zhuǎn)矩的功率等于力矩與物體轉(zhuǎn)動的角速度的乘積。國際單位制中，功率的單位是焦耳/秒(J/s)，稱為瓦(W)

工程中若轉(zhuǎn)動角速度用轉(zhuǎn)速n(單位為r/min)給出，轉(zhuǎn)矩的單位為N·m，則可改寫為常用的形式

(8-21)或?qū)憺檗D(zhuǎn)矩的表達式

(8-22)第二十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日●8.4.2功率方程任何機器工作時必須輸入一定的功，用表示，機器做了有用功，用表示，同時機器要克服無用阻力，消耗一部分功，用表示。根據(jù)動能定理的微分形式，有將上式兩邊除以對應的時間間隔dt，并以、、分別表示發(fā)動機輸入的功率、有用阻力消耗的功率和無用阻力消耗的功率，則(8-23)式(8-23)稱為機器的功率方程，它表示任一機器輸入、輸出功率和機器動能變化率之間的關系。第二十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日當機器啟動或加速運動時，，故要求，即輸入功率要大于輸出功率；當機器停止運轉(zhuǎn)或負荷突然增加時，機器做減速運動，，此時，即輸入功率小于輸出功率；當機器勻速運轉(zhuǎn)時，，，即輸入功率和輸出功率相等，稱為功率平衡?！?.4.3機械效率

機械效率是指機械在穩(wěn)定運轉(zhuǎn)時，有用輸出功率與輸入功率之比，用表示，即 (8-24)機械效率說明機械對于輸入能量的有效利用程度，是評價機械質(zhì)量的指標之一。它與機械的傳動方式、制造精度和工作條件有關，一般情況下。第二十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日

【例8.3】車床電動機的功率P=4.5kw，當穩(wěn)定運轉(zhuǎn)時主軸的轉(zhuǎn)速為n=42r/min，設轉(zhuǎn)動時由于摩擦而損耗的功率是輸入功率的30%，工件的直徑d=100mm，求此轉(zhuǎn)速下的切削力。解：車床穩(wěn)定運轉(zhuǎn)時，，輸入功率與輸出功率相等。即而，代入上式得表示切削力的功率，即第三十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日●

8.5普遍定理的綜合應用質(zhì)點系動力學普遍定理包括動量定理、動量矩定理、動能定理。它們以不同的形式建立了質(zhì)點系的運動與受力之間的關系。動量定理和動量矩定理分別建立了質(zhì)點系動量和動量矩與質(zhì)點系所受外力系的主矢量和外力系的主矩之間的關系，它們是矢量形式的。動能定理建立了質(zhì)點系的動能與作用于質(zhì)點系上的力的功之間的關系，是標量形式的。作用在系統(tǒng)上的力在動量和動量矩定理中一般按外力和內(nèi)力分類。在動能定理中力一般按主動力和約束力分類，在理想約束的情形下約束力的功之和為零。應用質(zhì)點系普遍定理可以解決質(zhì)點系動力學的兩類問題。在實際應用中，對于具有理想約束的一個自由度系統(tǒng)，經(jīng)常用動能定理解決已知力求運動的問題。系統(tǒng)的運動規(guī)律確定后，一般用動量或動量矩定理求未知約束力。第三十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日例8.4質(zhì)量為m，半徑為r的均質(zhì)圓柱體，在半徑為R的固定大圓槽內(nèi)做無滑動的滾動。試列寫系統(tǒng)的運動微分方程。解：(1)以圓柱體為分析對象。(2)圓柱體的受力圖如圖8.11所示，在只滾不滑的情形下，摩擦力F及正壓力不做功，只有主動力mg做功，所以為理想約束的情形。(3)選為廣義坐標，正方向如圖所示。系統(tǒng)的動能第三十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日代入上式后得(4)應用動能定理建立系統(tǒng)的運動與受力之間的關系。動能定理的微分形式給出在理想約束的情形下，為主動力的元功之和。圖中為廣義坐標的微小增量，正方向如圖所示。圓柱體質(zhì)心C的微小位移為，重力的元功為。代入上式得第三十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日兩邊同除以dt，得由此得到系統(tǒng)的運動微分方程為

①討論：本題也可用機械能守恒定律求解，設圓柱體的初始位置在質(zhì)心位于最低位置處，此時圓柱體的動能為，即給圓柱體一初始速度，勢能。第三十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日例8.5均質(zhì)細桿長為l，質(zhì)量為m，靜止直立于光滑水平面上。當桿受到微小干擾而倒下時，求桿剛剛達到地面時的角速度和地面約束力。解：(1)以直桿為分析對象。(2)直桿的受力圖如圖8.12所示，由于地面光滑，直桿沿水平方向不受力，倒下過程中質(zhì)心沿鉛直下落。正壓力不做功，只有主動力mg做功，所以為理想約束的情形。第三十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日(3)設桿左滑于任意角度，如圖8.12(a)所示，P為桿的瞬心。由運動學可知，桿的動能為由動能定理當＝0時(4)剛到地面時，受力如圖8.12(b)所示，由剛體的平面運動微分方程，可得第三十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日點A的加速度aA為水平，由質(zhì)心守恒，aC應為鉛垂，由運動學可知沿垂直方向投影，得故

第三十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日思考題8-1作為物體機械運動狀態(tài)的兩種度量，動量和動能二者有何異同？8-2對于單個力來說，當它做功為零時，它的沖量是否為零？對力系來說，當它的沖量為零時，它的功是否也一定為零？8-3設作用于質(zhì)點系的外力系的主矢和主矩都等于零。試問該質(zhì)點系的動能及質(zhì)心的運動狀態(tài)會不會改變？為什么？試舉一個簡單實例加以說明。在什么情況下，質(zhì)點系的動能不會改變？8-4運動員起跑時，什么力使運動員的質(zhì)心加速運動？什么力使運動員的動能增加？產(chǎn)生加速度的力一定做功嗎？第三十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日8-5三個質(zhì)量相同的質(zhì)點，同時由點A以大小相同的初速度v0拋出，但其方向各不相同，如圖8.13所示。如果不計空氣阻力，這三個質(zhì)點落到水平面H－H時，三者速度的大小是否相等？三者重力的功是否相等？三者重力的沖量是否相等？8-6均質(zhì)圓輪無初速的沿斜面純滾動，輪心降落同樣高度而到達水平面，如圖8.14所示。忽略滾動摩擦和空氣阻力，問到達水平面時，輪心的速度v與圓輪半徑是否有關？當輪半徑趨于零時，與質(zhì)點滑下結果是否一致？輪半徑趨于零，還能只滾不滑嗎？第三十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日8-7兩個均質(zhì)圓盤，質(zhì)量相同，半徑不同，靜止平放于光滑水平面上。如在此二盤上同時作用有相同的力偶矩，在下述情況下比較二圓盤的動量、動量矩和動能的大小：(1)經(jīng)過同樣的時間間隔；(2)轉(zhuǎn)過同樣的角度。習題8-1如圖8.15所示，坦克的覆帶質(zhì)量為m，兩個車輪的質(zhì)量均為m1。車輪被看成均質(zhì)圓盤，半徑為R，兩車輪軸間的距離為。設坦克前進速度為v，試計算此質(zhì)點系的動能。8-2長為l、質(zhì)量為m的均質(zhì)桿OA以球鉸鏈O固定，并以等角速度繞鉛直線轉(zhuǎn)動，如圖8.16所示。如桿與鉛直線的交角為，求桿的動能。第四十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日8-3如圖8.17所示，平面機構由兩勻質(zhì)桿AB，BO組成，兩桿的質(zhì)量均為m，長度均為l，在鉛垂平面內(nèi)運動。在桿AB上作用一不變的力偶矩M，從圖示位置由靜止開始運動。不計摩擦，試求當A即將碰到鉸支座O時A端的速度。8-4如圖8.18所示，鏈條全長l=1m，單位長的質(zhì)量為,懸掛在半徑為R=0.1m，質(zhì)量m=1kg的滑輪上，在圖示位置自靜止開始下落(給以初始擾動)。設鏈條與滑輪無相對滑動，滑輪為均質(zhì)圓盤，求鏈子離開滑輪時的速度。第四十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日8-5在如圖8.19所示的滑輪組中懸掛兩個重物Ⅰ和Ⅱ，其中Ⅰ的質(zhì)量為m1，Ⅱ的質(zhì)量為m2