地球流體動力學

地球流體動力學第一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日GeophysicalFluidDynamics地球物理流體動力學余志豪楊大升等參考文獻：1．J.Pedlosky，地球物理流體動力學導論2．A.E.Gill，大氣-海洋動力學3．S.Friedlander，地球物理流體動力學數(shù)學理論導論4．劉式適，劉式達，大氣動力學5．小倉義光，大氣動力學原理6．楊大升，動力氣象學7．郭曉嵐，大氣動力學8．J.R.Holton，動力氣象學引論9．劉式適，劉式達，地球流體力學中的數(shù)學問題10．巢紀平，厄爾尼諾和南方濤動動力學11．朱抱真等，大氣和海洋的非線性動力學概論第二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日動力氣象在流體力學的基礎上研究地球大氣的運動規(guī)律，它與一般的流體力學有所不同，它具有自身的特點，這些特點是由地球大氣運動的固有特征決定的。首先，氣象上有重要意義的運動具有相當大的尺度，其水平尺度從百公里到數(shù)千公里，甚至達到地球半徑的大小。對于這些運動，地球的旋轉具有重要影響。地球上的物體都受到地球旋轉的作用，赤道地區(qū)的物體具有量級為400m/s的相對于地球軸的旋轉線速度，遠大于大氣中的典型風速—10m/s。同時，地球旋轉產(chǎn)生的渦度與大氣中典型的大尺度運動產(chǎn)生的渦度相比，也是非常大的。因此，對于氣象上具有重要意義的大尺度運動，地球旋轉的影響必須考慮。第三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日其次，大氣受到地球重力場的作用，使大氣質量向地表集中，造成大氣密度隨高度遞減。此外，太陽輻射引起的地面非均勻加熱，也造成大氣密度的顯著變化，這種大氣密度的不均勻分布，使大氣具有層結特征。對于大尺度大氣運動，密度向上遞減的大氣層結，使大氣運動幾乎總是重力穩(wěn)定的，其結果是使平行于局地重力方向的運動受到抑制，這就有助于產(chǎn)生準水平的大尺度運動。同時，穩(wěn)定層結還使大氣大尺度運動具有另一重要特性，即運動的水平尺度遠大于其垂直尺度，也就是說，大尺度大氣運動發(fā)生在非常薄的大氣層內(nèi)，對于這種運動，靜力近似高度精確成立。第四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日第三，大氣運動過程中凝結潛熱的釋放是大氣運動的一個重要能量源，造成大氣運動的發(fā)展，增加大氣運動的復雜性。此外，大氣的斜壓性、準不可壓縮性也是大氣的重要特性，對大氣運動也產(chǎn)生重要影響。

第一章

引論在本章中，將對地球物理流體及地球物理流體動力學的內(nèi)涵作初步的框定，并對它的物理特性及最基本的動力學特征作簡單的介紹，其中亦涉及一些準備知識和基礎知識。第五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日§1.1地球物理流體人類活動賴以生存的地球環(huán)境，主要是覆蓋在整個地球上的大氣圈以及約占地球表面積70%的海洋。大氣和海洋都屬流體，它們的運動都應遵循流體力學的一般規(guī)律。由于它們各自的特征及種種歷史原因，從19世紀開始出現(xiàn)了海洋動力學，到了20世紀初才開始形成大氣動力學。對于大尺度海洋和大氣運動的長期研究，人們發(fā)現(xiàn)這兩者的運動規(guī)律具有多方面的共同特征。它們都是受熱力、重力及地球旋轉等三種基本因素支配，在動力學基本特征方面有著很多相同之處。于是本世紀70年代J.Charney(1972)及J.Pedlosky(1979)等人從大尺度運動規(guī)律角度出發(fā)，把地球大氣和海洋概括成“地球物理流體”或“地球流體”這個統(tǒng)一的概念，從此就誕生了“地球物理流體動力學”或“地球流體力學”這門新型的學科。第六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日顯然，地球流體不同于一般的抽象流體，它具有地球的固有特征，但它又不是具體的大氣和海洋，它是大氣和海洋從大尺度運動方面得出的共性抽象。所以，具體說來地球流體力學就是在重力場、柯氏力場和加熱作用下，旋轉層結流體的大尺度動力學，即大氣和海洋大尺度動力學的共性部份。就大氣和海洋這兩種流體介質而言，它們的物理特性是有著明顯的差異的。例如，大氣的流動一般要比海流快100倍。盡管如此，它們的大尺度動力學特征卻是有著多方面的共性。例如，第二章將要介紹的大氣和海洋的大尺度運動的一階近似（Ro=10-1）都是地轉流，或者它們的流動基本特性都是地轉的。因此把兩種物理特性不同的流體介質即大氣和海洋，概括成統(tǒng)一的地球流體來探索研究，這無論對大氣或海洋環(huán)流的認識都是一個深刻的發(fā)展。第七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日可是，在熱力性質方面，大氣和海洋是不同的。水的比熱(cp)比空氣大4倍，更由于水的密度比空氣大1000倍，因而使得整層大氣(單位面積)升高溫度1K所需的熱量107J，只能使得25m厚海洋（單位面積）升高溫度lK。由此可見，海洋相對于大氣而言是一個巨大的熱庫，海洋潛熱是一個很重要的量。在熱帶地區(qū)只要每天蒸發(fā)4mm的海水，就足以使得那里的整層大氣每天升溫1K，這相當于熱帶地區(qū)輻射冷卻的量級。海洋相對于大氣是一個巨大熱庫的特征，雖不能構成它們在地球流體力學的共性部分，但卻在海-氣相互作用、調節(jié)大氣氣候變化等方面起著重要作用。第八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日第九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日近年來，年際短期氣候變化異常已成為一個熱門課題。而人們在尋求和探索解決這個熱門課題時，經(jīng)常把大氣和海洋相合起來當作一個完整系統(tǒng)來處理，認為短期氣候變化應是海氣相互作用的結果。其最突出的表現(xiàn)，就是從動力學角度來研究短期氣候變化，或者欲作出短期氣候變化的數(shù)值預報，都需要依賴海-氣耦合的數(shù)值模式。而對地球流體力學的研究，無疑對于建立合理的海-氣耦合模式，較好地解決短期氣候變化問題將會有很多幫助。誠然，地球流體力學的意義和用途遠不止于此，而且它自身還正處在蓬勃發(fā)展中。第十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日§1.2大尺度大氣和海洋流動的基本觀測事實覆蓋整個地球的大氣，質量為5.3×1015噸左右，約占地球總質量百萬分之一。由于地心引力的作用，大氣質量90%聚集在離地表面15km高度以下的大氣層內(nèi)，99.99%在48km以內(nèi)。而與人類活動最密切有關的約在8~12km以下的對流層內(nèi)。全球海洋總面積約占地表面積的71%，相當于陸地25倍。全球海洋平均深度約為3.8km，總質量為13.7×1017噸左右。平均說來，按海水的溫度或密度可將海洋分成三層：①季節(jié)變層，即上混合層（0~50或100m）。表面風混合層、季節(jié)性躍層和周日躍層，都出現(xiàn)在這一層中。第十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日第十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日②主躍層(50或100~1000m)，是溫度、密度和鹽度等海洋狀態(tài)參量具有階躍變化(例如海水溫度垂直變化達到或超過每0.2℃/m)的水層，有時稱作溫度躍層、密度躍層和鹽度躍層，而密度躍層大體上和溫度躍層是一致的。③下均勻層(1000~3700m)，是海洋水層的主體，其中海水的溫度近乎均勻狀態(tài)。此外，大尺度海流可分為表層風漂流和鹽熱環(huán)流(整層海洋)。表層海流水平速度從幾個cm/s到300cm/s，海洋深處的水平流速則在10cm/s以下。鉛直流速很小，從幾個cm/d到幾十個cm/h。所以，表層海流主要是風漂流，尚有小部分鹽熱流，下均勻層是很微弱的鹽熱流。地球上的大氣和海洋，從根本上講接受太陽輻射加熱，猶如一部“熱機”在不息地流動著。第十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日第十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日由于探測技術和手段的飛躍發(fā)展，尤其是衛(wèi)星探測技術的應用，使人們對全球大氣和海洋的運動觀測事實有了進一步的認識。從長年平均大氣的海平面氣壓和風場分布可以看出，7月北半球為三大地面氣壓系統(tǒng)，即太平洋和大西洋的副熱帶高壓，及控制歐亞大陸的南亞熱低壓；南半球為呈緯向帶狀系統(tǒng)，即副熱帶高壓帶及其四個中心，和中高緯度的西風帶。1月北半球歐亞大陸為冷高壓所盤據(jù)，另有冰島和阿留申兩大低壓中心；南半球除澳大利亞和南非出現(xiàn)低壓中心外，其他形勢類同于7月，基本上仍是緯向型的。從風場上看，主要特征是沿大洋副熱帶高壓南側常年維持著偏東信風，以及歐亞大陸1月和7月由于高低壓中心的更迭所引起的季風環(huán)流。第十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日第十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日第十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日海洋表面主要海流的特征與大氣底層風場非常一致，基本上為風漂流，沿赤道為向西的南、北兩支赤道流，與偏東信風相一致，它們之間夾有赤道回流，還有中高緯度與西風帶相一致的向東洋流。在太平洋和大西洋，不論是南半球還是北半球，其海流基本上都與副熱帶高壓大氣環(huán)流相一致，并且在大洋西部都對應著一支自南向北的強化暖流，如太平洋的黑潮和大西洋的灣流。

第十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日第十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日§1.3流體的密度和狀態(tài)方程海水的密度要比大氣密度大得多。大氣密度是隨溫度、壓力和濕度而變，地面大氣密度的典型值約1.2~1.3kgm-3，而海水表面的密度是它的800多倍，足見兩者相差之巨。海水密度除隨溫、壓變化外，還隨海水鹽度變化。海水與大氣間的巨大密度差意味著海洋質量比大氣質量多得多(約270倍)，單位面積大氣柱質量近于104kgm-2，以及重力加速度約為10ms-2，所以單位面積整個大氣柱(約50km厚)的重量或壓力為103hPa=105Pa≡105Nm-2≡1bar而海洋僅僅只要l0m厚的單位面積水柱就可以具有上述相同的重量和壓力。因此，在海洋中每10m就增加lbar的壓力，海洋學家常以分巴(dbar)作為海水壓力單位，即ldbar=1m厚單位面積海水柱重量。第二十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日第二十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日僅管如此，由于海洋和大氣密度隨深(或高)度變化的共同特征，或者具有層結的共性，因而仍然可將海洋和大氣概括成層結流體。表層海水密度最小ρ≈1.02gcm-3，海底最大ρ≈1.07gcm-3，故頂?shù)酌芏炔瞀う?ρ≈5%。而大氣底面密度最大ρ≈1.225×10-3gcm-3，大氣頂(約50km處)ρ≈10-6gcm-3，即頂?shù)撞瞀う?ρ≈99.9%。其中還由于流體的壓縮性依賴于流速與聲速之比，當流速低于聲速時可當作準無輻散或準不可壓縮流體，因此大氣流動的壓縮性并不比海水顯著。在大氣中引人虛溫后，其密度僅與溫度T和壓力p有關，海洋密度還依賴鹽度s，故地球流體的狀態(tài)方程，其一般形式為

ρ=ρ(T,p,s)

(1.1)對理想氣體(如大氣)，上述狀態(tài)方程為p=ρRT

(1.2)第二十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日第二十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日對于海水的狀態(tài)方程，其理論式較復雜，常取便于應用的經(jīng)驗式。取具有絕熱溫度遞減率和靜力平衡的理想海洋作為基本狀態(tài)，其物理量用下標0表示。用‘'’表示這個基本狀態(tài)的偏差值，則(1.1)式可近似地改寫成(1.3)或(1.4)其中ρm為某一個密度值。并且，或(1.5)式中α=1/ρ為比容，β稱作流體熱膨脹系數(shù)。在一個大氣壓及s=3.5%的條件下，海水β=80×l0-6K-1(T=273K時)，及β=310×10-6K(T=303K時)。第二十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日對于理想氣體由(1.2)式知β=1/T。以及，

（1.6）稱作流體壓縮性系數(shù)。海水的κ約為4.5×10-5~4.0×10-3bar-1。對于理想氣體，κ=1/p。顯然，（1.7）為流體密度隨鹽度的改變率，其中鹽度公式可取為s‰=1.80655Cl‰(1.8)式中Cl‰稱作氯度。鹽度的單位為g/103g，即103g海水中含鹽的克數(shù)。全球海洋平均鹽度為34.7‰。定義實用鹽度為鹽度的103倍，故全球海洋平均實用鹽度為34.7。外海的海水鹽度較高，可達35‰~36‰，近?；蚝涌趨^(qū)域海水鹽度低于30‰。第二十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日在海洋中為了表示密度，習慣上使用所謂實用密度或現(xiàn)場條件密度σ，即σ≡(ρ?1)×103(1.9)于是，海水狀態(tài)方程亦可簡化(1964)為σ=28.152–0.0735T–0.00469T2+(0.802–0.002T)(s–35)(1.10)由此可見溫度對密度的影響(β)要大于鹽度的影響(r)。倘若忽略地球流體的某些物理特性，但保留了對多數(shù)地球物理問題有意義的流體層結特征，則地球流體的狀態(tài)方程可視作密度與溫度成線性關系，即(1.11)這顯然為較簡單的地球流體狀態(tài)方程。若地球流體為均質的，則ρ=常數(shù)。第二十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日第二十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日關于海水溫度，其表層水溫主要取決于太陽輻射，因而低緯度海區(qū)水溫高，高緯度海區(qū)水溫低，高低之差可達30℃。海溫一般隨深度的增加而降低，在深1km處的水溫為4~5℃，3km處為1~2℃。占大洋總體積75%的海水，溫度在0~6℃之間，全球海洋平均溫度為35℃。

§1.4旋轉效應將大尺度海洋和大氣的共性概括成地球流體力學，主要在于這兩種流體介質在旋轉性和層結性等方面具有共同的特征。本節(jié)先介紹地球流體的旋轉效應，下節(jié)再討論其層結效應。

第二十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日1.柯氏參數(shù)f和Rossby數(shù)ε海洋和大氣都是在隨著地球一同旋轉的參考系中被觀察其運動的流體，是受旋轉影響的流體，稱作旋轉流體。在小尺度流動中，旋轉效應很微弱，幾乎是非旋轉流體(即慣性流體)。在大尺度流動中，旋轉流體跟慣性流體相比，具有本質不同的動力學特征。用來表征旋轉效應的參數(shù)，有柯氏參數(shù)f，Rossby數(shù)ε和β參數(shù)等。由于在旋轉參考系中，運動方程含有反映旋轉作用的項，稱作柯氏力(Coriolisforce)項，即

柯氏力項=(f=2Ωsinφ)(1.12)式中V為流速矢，k為鉛直坐標單位矢，Ω為地球轉動角速度和φ為緯度。柯氏參數(shù)隨緯度的變化率，用β表示成(1.13)第二十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日式中a為地球半徑，y為指向北為正的笛卡氏坐標。在往后貫穿本書的內(nèi)容中，將會發(fā)現(xiàn)地球流體的所有動力學特征都跟參數(shù)f、β和ε等有關，受到旋轉效應的影響，使得跟慣性流體的動力學特征絕然不同。難怪有人認為：對大尺度海洋和大氣運動的研究，一旦包含了參數(shù)f等，將可能出現(xiàn)一系列難以捉摸令人吃驚的動力現(xiàn)象。另一個表征旋轉作用的重要參數(shù)是Rossby數(shù)，它可用符號ε或Ro表示，并定義為或（局地）(1.14)式中L和U分別為流動的特征長度和速度。第三十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日Rossby數(shù)具有廣泛物理涵義，它至少可表示成如下特征物理量之間的比，即ε~慣性力(U2/L)/柯氏力(fU)；旋轉時間尺度(f-1)/平流時間尺度(L/U)；相對渦度(U/L)/牽連渦度(f)；渦度梯度(U/L2)/牽連渦度梯度(β=f/L)；相對速度(U)/牽連速度(fL)

；…。(1.15)式中任一對相比的特征量，都含有一個反映旋轉效應的特征量。它表明了各種動力學特征量與其相應的旋轉作用的比較，所以Rossby數(shù)是一個表明旋轉作用相對重要性及具有多種動力學特征涵義的參量，它不但重要且有廣泛的用途。第三十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日2.地轉流作為旋轉流體具有跟慣性流體不同的奇突特征，這里舉地轉流為例以資說明。在慣性流體運動中，例如水總是從高處向低處流動，即流體總是順著壓力梯度力()，從高壓側向低壓側流動的。但是，在大尺度或旋轉流體運動中，其Rossby數(shù)的量級O(ε)≤10-1，在旋轉流體水平運動方程中若略去O(10-1)以上的量，則得到其一階近似式為(1.16)此式表明旋轉流體運動基本上（即在一階近似上）不是沿壓力梯度()方向流動的，而是與壓力梯度()相垂直沿著等壓線流動的，并且順著流動方向高壓保持在右側(北半球)?；蛘邔τ诟撸ǖ停褐行难氐葔壕€是順（逆）時針方向流動的。第三十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日第三十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日此類流動，稱作地轉流。地轉流動時，水不是從高處向四周流散開去，而是繞著高中心順時針流動。這對剛開始接觸地球流體運動或旋轉流體運動的讀者而言，乍一看確實令人吃驚和費解！3.旋轉剛性和Proudman-Taylor定理Taylor(1921，1922)在盛液容器中，做了著名的Taylor柱實驗。他在容器底置一短截固體柱，并使其平移。于是在容器不高于固體柱的高度處觀測到了繞圓柱流動。但在固體柱以上的高度處，不復存在繞圓柱流動，觀測到的是平直流。當容器旋轉后，再重復做相同試驗，則不僅在不高于固體柱的高度處觀測到繞圓柱流，在固體柱以上的高度處以令人詫異地觀測到同樣的圓柱繞流，盡管此高度處已不存在固體柱。第三十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日第三十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日這是由于旋轉以后，短截固體柱平移時，其上部會形成一相應的流體柱，稱作Taylor柱，并且該流體柱具有旋轉剛性，會跟其下部短截固體柱一齊挺直地移動，結果容器旋轉后可觀測到高于固體柱的圓柱繞流，這是很奇特的現(xiàn)象。其實早在做Taylor柱實驗之前，Proudman(1916)和Taylor(1917)已從理論上證明了在一定條件下，尤其是在強旋轉條件下，旋轉流體具有二維化的趨勢，即流場上下一致使得?/?z=0?；蛘咴诳剖狭ψ饔孟?，旋轉流體具有反抗形變的傾向，即存在著克服使流體柱彎曲形變的外力，就象旋轉陀螺具有克服使之傾倒的外力，能保持定向旋轉一樣,這稱之謂流體的旋轉剛性。因此，Proudman-Taylor定理從理論上預言具有旋轉剛性的流體柱的存在。在該定理獲證后的幾年，Taylor柱的實驗無非驗證了定理的預言。以下給出定理，并予以簡單證明。第三十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日Proudman-Taylor定理：在均質或正壓旋轉流體中，流體準定常和緩慢地運動，其速度在沿Ω的方向上將不改變?；蛘邠Q一種提法：均質或正壓旋轉流體，準定常和緩慢地運動，其速度將獨立于旋轉軸的方向，即運動將趨于兩維化。

由§1.3知，對于準定常緩慢流動，Rossby數(shù)O(ε)≤10-1，相當于強旋轉條件，運動是地轉的，即(1.17)式中Vh為水平流速矢。對(1.17)式取旋度運算后，有(1.18)利用均質或正壓條件及，上式化簡為(1.19)第三十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日若Ω矢指向z軸，即Ω

=|Ω|

k，則

?Vh/?z=0(1.

20)于是定理得證。

以上是由地轉流動推證Proudman-Taylor定理，而實際上根據(jù)定理所給的條件，由地球流體運動方程亦可化簡成地轉流關系，即(1.17)式，所以這兩者是等價的。根據(jù)定理的結論式(1.20)，即流場不隨高度變化，如在I高度上觀測到的是圓柱繞流，則在II高度上必定亦是圓柱繞流。這樣由定理解釋了Taylor實驗，反之也是實驗驗證了定理。

第三十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日而且，利用的條件，將(1.18)式改寫成(1.21)這表明斜壓流體即，定理不成立，流場將隨高度變化。這就是熱成風關系，或者流場隨高度變化的基本原因，是流體的斜壓性。4.位勢渦度及其守恒律在旋轉流體中，流體運動時存在著一個保守性或守恒性較強的組合物理量，稱作位勢渦度Π，且定義為(1.22)式中為相對渦度，2Ω為牽連渦度，ρ為流體密度，λ為守恒量，經(jīng)常取作位溫θ。第三十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日由地球流體的控制方程組(見§1.7)，即絕對渦度方程、質量連續(xù)方程和熱流量方程等，在一定條件下可導得位勢渦度守恒方程為dΠ/dt=0(1.23)此即是Ertel定理：對旋轉、層結流體中的絕熱過程，位勢渦度守恒。如果流體是不可壓縮的且又是絕熱過程(流體加熱率)，則位勢渦度守恒律改寫成(1.24)倘若過程是非絕熱的，即，則位勢渦度隨時間的變化為(1.25)第四十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日如運動還受到耗散力F的作用，位勢渦度方程為(1.26)此式乃是地球流體運動時需要遵循的普適方程。地球流體運動的眾多動力學基本特征，均是由它的位勢渦度守恒律派生出來的。在一定的意義上講，地球流體動力學可簡單地認為是位勢渦度守恒動力學，這是旋轉效應最根本的反映。

第四十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日§1.5層結效應地球流體除受旋轉作用為旋轉流體外，它還是具有層結結構的層結流體。最簡單的層結流體就是上、下密度為不同常數(shù)即ρ上≠ρ下的兩層流體。倘若流體上輕下重(ρ上<ρ下)，兩層流體及其界面受擾動后都會恢復到受擾前的狀態(tài)，這樣的密度上下分布或層結結構是穩(wěn)定的，稱作層結穩(wěn)定或穩(wěn)定層結。如果流體上重下輕(ρ上>ρ下)，則兩層流體受擾后，將會發(fā)生劇烈翻騰，兩層流體不能回復到受擾前的狀態(tài)，這種上重下輕的層結結構稱作不穩(wěn)定層結。實際地球流體中的密度ρ是隨高度z連續(xù)變化分布的，亦即實際流體是由無數(shù)層密度不等的流體層連續(xù)分布重疊構成的，顯然它的層結穩(wěn)定與否依賴于密度隨高度的分布即dρ/dz值。而且dρ/dz自身又可隨高度z變化的。第四十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日因而一般情況下地球流體的各層或各高度上，其層結穩(wěn)定與否的狀態(tài)是不同的。同時，判定流體的層結穩(wěn)定與否，還決定于受擾流體元移動過程中的密度變化。以下將從流體密度分布狀況與受擾流體元移動過程的密度變化等兩者關系，引入表征流體層結的參數(shù)。然后，再介紹流體移動過程中，密度變化的準不可壓縮性。

1.Brunt-Vaisala頻率通常，要導出層結穩(wěn)定度的判據(jù)，需要引入受擾抬升流體元。當該流體元上升(下沉)時，其密度按一定的規(guī)律隨高度z變化，而四周環(huán)境流體的密度是按層結分布隨高度z變化的。當上升(下沉)到新高度時，若受擾流體的密度大（?。┯诃h(huán)境流體的密度，它就要回復到受擾前原先的位置，則流體是層結穩(wěn)定或靜力穩(wěn)定的。否則，為不穩(wěn)定。依此可導出慣用的穩(wěn)定度判據(jù)，即Brant-Vasala頻率。

第四十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日如流體元A從z高度出發(fā)上升移到z+δz新高度，設移動過程足夠地慢(例如移速小于局部聲速)以使流體元A的壓力不斷調整到與環(huán)境相同的壓力，同時又設移動充分地快到足以忽略位移過程中的熱力耗散和加熱作用，即絕熱地位移到新高度。第四十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日這意味著位溫(1.27)在位移過程中守恒。由理想氣體狀態(tài)方程(1.2)，上式可寫成(1.28)式中γ=cp/cv是空氣定壓比熱和定容比熱之比，它近于1.4。因此在z+δz的高度上，流體元A由于絕熱位移過程的壓力變化而產(chǎn)生的密度改變量為(1.29)在z+δz高度上，流體元A的密度值成為(1.30)第四十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日另一方面，在z高度上流體元A與環(huán)境流體相一致，環(huán)境流體密度亦是ρA。在z+δz高度，環(huán)境流體密度為ρB按層結分布對ρA(z)展開，可有(1.31)于是，在z+δz處流體元A與環(huán)境的密度差為(1.32)與此相應的由重力加速度引起的單位質量流體元所受的作用力大小為(1.33)當dθ/dz>0時，該作用力向下。第四十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日這是由于流體元A的密度絕熱上升減少要小于環(huán)境流體按層結分布其密度向上的減少，于是流體元A上升(δz>0)到新高度要比環(huán)境流體重，受到向下的作用力。作用力與位移反向，稱作恢復力。反之，流體元下沉(δz<0)，當dθ/dz>0時將受到向上的恢復力。因此，流體元在z高度上下作振蕩，又稱浮力振蕩，其頻率為

(1.34)稱作Brunt-Vaisala頻率。顯然，N或者?θ/?z是度量流體層結的一個參數(shù)。?θ/?z>0是層結穩(wěn)定，?θ/?z<0將是不穩(wěn)定對流。在導得(1.33)右端最后表示式時，曾使用了靜力平衡關系?p/?z=–ρg。并且表明即使溫度向上分布減少，只要遞減率–?T/?z不大于g/cp，仍是穩(wěn)定的。而g/cp就是流體元的絕熱過程遞減率。第四十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日對于海洋，流體元在小位移中所受到的壓縮性影響可以略去不計，即由(1.29)式可得，于是反映層結穩(wěn)定性的Brunt-Vaisala頻率表式(1.34)化簡為(1.35)亦即N值只依賴于環(huán)境流體(海洋)的密度層結分布，例如在本節(jié)開始時所舉的ρ=常數(shù)的二層流體就屬此情況。由實際大氣和海洋的層結分布狀況可知，大氣平流圈比對流圈穩(wěn)定，在對流圈中夏季比冬季不穩(wěn)定。在海洋中，密度躍層是很強的層結穩(wěn)定層。在第五章中將要分析到，層結存在(N≠0)將強烈抑制大尺度垂直運動，并且以一種重要方式把大尺度的微弱垂直運動與一階近似的地轉場耦合起來。

第四十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日第四十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日第五十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日2.準不可壓縮流體與Boussinesq近似嚴格說來，海水和空氣都是可壓縮性的。但據(jù)觀測，海水的密度變化不大，表層海水在高溫和低鹽度下，密度約為1.02gcm-3，深層海水由于壓力增大密度可大到1.07gcm-3。平均來講，上下層海水密度變化區(qū)間約為5%。大氣的壓縮性雖然比海水大，但其密度的動力作用也只需要在某些場合考慮它。例如在上節(jié)中指出，當流體元的密度由于某種原因(如絕熱上升)，使它不同于它所在環(huán)境的密度時，在重力場中這一密度差將造成浮(沉)力，使流體產(chǎn)生對流上升或下沉。19世紀物理學家J.Boussinesq為求得層結流體控制方程組的合理簡化模式而提出了7點假設。第五十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)他的近似假設應用于大氣動力方程組，其主要結論有：①在連續(xù)過程中不考慮密度的個別變化，即可近似地作為不可壓縮流體處理；②在與重力相聯(lián)系的鉛直運動方程中要部分地考慮密度變化的影響，即存在阿基米德浮力與重力的差值—凈浮力；③在狀態(tài)方程或熱流量方程中要考慮密度變化的影響，而密度變化(擾動)主要是由溫度變化(擾動)所引起的；④空氣的分子粘性系數(shù)和分子熱傳導系數(shù)可作常數(shù)處理。這些結論，在海洋中顯然亦是適用的。所以通常情況下對地球流體的層結性，可以取Boussinesq近似流體作為其簡化模型。以下來論證分析Boussinesq近似。第五十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日當流體的密度變化不大時，可將其在平衡狀態(tài)(ρ0)附近展開，如下式所示

取平均值近似于平衡態(tài)(ρ0)，并且已假設為(1.36)于是展開式可取線性部分為(1.37)對于無粘地球流體的運動方程(1.38)第五十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日考慮到ρ=ρ0+ρ'和p=p0+p'，以及靜止平衡狀態(tài)有(1.39)則(1.38)式改寫成(1.40)此式右端第二項即是單位質量流體元的阿基米德浮力和重力的差值—凈浮力。以(1.37)式代人(1.40)式，有(1.41)由上式可知，受熱(T'>0)將受到凈浮力(–βT'g>0)而產(chǎn)生熱對流，鹽度減少(s'<0)亦將產(chǎn)生凈浮力(rs'g>0)，這兩者結合起來在海水中可視作鹽-熱對流或環(huán)流。壓縮(p'>0)流體元，將使它受到下沉(κp'g<0)的作用。

第五十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日定義地球流體的標高(scaleheight)Hs為(1.42)由(1.37)式，考慮密度僅僅因壓力所引起的變化，即，則有(1.43)其中壓縮系數(shù)κ為(1.44)上式中c=(δp/δρ)1/2=(p'/ρ')1/2=300ms-1為大氣中聲速。因此，(1.45)第五十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日而海洋和大氣的垂直尺度H分別為(1.46)及(1.47)由(1.43)式知，流體標高Hs與壓縮性κ呈反比，Hs越大壓縮性κ越小。所以按照(1.47)式，在一般情況下海洋的壓縮性可以不計，而大氣的壓縮性仍須保留，即(1.37)式化簡為(1.48)第五十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日對于鹽度很小的海水及淺層大氣(H/Hs<<1)，上式統(tǒng)一為(1.49)即狀態(tài)方程中密度的變化主要由溫度變化所引起。對于連續(xù)方程，即可寫成(1.50)取L和U分別為水平尺度和特征速度，于是有如下特征量關系：，，和式中τ為特征時間尺度。因此(1.51)第五十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日這表明只有當運動速度接近聲速時，連續(xù)方程中的密度變化才是重要的。對于地球流體大尺度運動，通常都是亞聲速流動，故(1.50)式可化簡為或(1.52)對于淺層流體，上式可統(tǒng)一成(1.53)這就是不可壓縮流體的連續(xù)方程。歸納以上分析，一種流體如果在質量守恒方程中可以略去密度個別變化，而在動量守恒方程中，在與重力相聯(lián)系的項中，又保留密度變化的重力效應，這樣的流體稱作準不可壓縮的。第五十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日如果質量守恒方程進一步取(1.53)所示的無輻散形式，而與重力相聯(lián)系的密度變化如(1.49)式所示只考慮熱膨脹效應而略去壓縮性影響，這種流體稱作Boussinesq流體。對于大氣，只有對淺層流動才可取Boussinesq流體，所以在大氣中Boussinesq假設又可稱作淺水假設。而在海洋中，幾乎不受淺水近似假設的限制，故Boussinesq流體就是準不可壓縮流體。而在大氣中，這兩種流體是有區(qū)別的。下面給出Boussinesq流體的方程組，即第五十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日上列方程組的最后一個方程乃是熱力學方程或熱量方程。因為在Boussinesq流體中，如(1.49)式所示只考慮溫度(T')對密度(ρ')的影響，而不計壓力(p')對它的作用，故在熱力學方程中加熱僅僅引起流體的溫度變化。在這里又僅僅考慮流體內(nèi)部熱傳輸(K)的加熱。還須指出，平衡態(tài)流體被認為是靜止的，所以上列方程組中V=V'。§1.6地球流體的動力學等價性前兩節(jié)介紹了地球流體的旋轉特性和層結特性，這是兩種截然不同的流體物理特性。但是，在某些條件下這兩種物理特性在動力學中所起的作用有可能是等價的。例如，在一定的條件下非旋轉的層結流體動力學問題可以等價于旋轉均質(無層結)流體的動力學問題。此外，均質流體中，地形作用與β作用在一定條件下也可以是等價的。

第六十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日1.旋轉與層結間的動力學等價性為什么層結流體中的一些典型性質，可以與旋轉流體中的一些現(xiàn)象相等價？這是因為在這兩種流體中，分別具有類似的約束作用力。旋轉流體中有科氏力，層結流體中有重力。在某些條件下，這種類似性可表現(xiàn)為它們具有相同的數(shù)學形式。例如，前述的柯氏力和重力，可分別當作旋轉流體和層結流體擾動平衡的恢復力，因而對這兩種情況都可以產(chǎn)生波動，其相應的數(shù)學形式都為雙曲型的。旋轉流體與層結流體的這種等價性，首先是由Rayliegh于1916年指出的。第六十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日考慮近似處理的層結流體，即Boussinesq流體，于是可取上節(jié)最后的方程組。如計及粘性(ν≠0)，則相應的無量綱線性方程組為(1.53)

(1.54)(1.55)上列方程組在進行無量綱化處理時，已取時間尺度為Ω-1，空間尺度L，特征壓力ρΩLU以及特征溫度為ΩU/βg。當Boussinesq流體中密度變化只考慮熱膨脹效應時，無量綱Brunt-Vaisala頻率為第六十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日以及顯然(1.54)式就是運動方程(1.41)計及粘性及凈浮力只與溫度T有關的線性無量綱形式；(1.55)式為熱力學方程。

若令平衡溫度場T0與重力勢gz成正比，于是在無量綱坐標系中有。考慮非旋轉的層結流體，不再有特征速度ΩL，因而需要用密度梯度Δρ的特征量對各參數(shù)進行尺度分析。

第六十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日這樣在方程組(1.53)-(1.55)式中，無柯氏項作用，且化簡為(1.53)(1.56)(1.57)式中(1.58)由k·(1.56)式，得(1.59)第六十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日由(1.57)式解出w并代入(1.59)式，有

(1.60)再由(1.56)，并考慮到(1.53)式，得(1.61)于是，將(1.60)對z求偏導數(shù)，并利用(1.61)，最后可得(1.62)式中為水平拉普拉斯算符。(1.62)式是非旋轉層結流體中，其壓力p所需滿足的控制方程。第六十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日對于旋轉均質(無層結)流體，亦可得到類似的流體壓力p的控制方程。首先在旋轉均質流體中，(1.56)式不含層結影響項Tk，故無需引入熱量方程(1.57)式。其次在(1.56)式中應計及旋轉所引起的柯氏力項。于是，其控制方程組為(1.53)(1.63)取k·(1.63)，得(1.64)其實這就是垂直運動方程。再取k·[▽×(1.63)]，可得垂直渦度方程為(1.65)第六十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日合并(1.60)和(1.65)兩式，得(1.66)對(1.63)式取散度，有(1.67)這就是地轉渦度表示式。再將(1.67)代入(1.66)式后,得(1.68)上式是旋轉均質流體運動時，壓力場p所滿足的普遍形式的線性方程。比較非旋層結流體的(1.62)式和旋轉均質流體的(1.68)式,可以發(fā)現(xiàn)在二維運動(?/?y=0)中,層結流體和旋轉流體于下述兩種情況下在動力學上是等價的：①在定常、線性運動中；②在Prandtl數(shù)Pr=1的流動中。在這兩種條件下，方程(1.62)與(1.68)是等價的，所不同的是將與旋轉有關的參數(shù)E≡ν/Ω2L2轉換成與層結有關的參數(shù)R≡ν/(gL3Δρ/ρ0)1/2，以及x坐標轉換成z坐標。

第六十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日在下一章旋轉流體的淺水理論中，將會介紹到旋轉流體的許多性質都是由位渦方程(1.68)式導出的。所以，可以期望由層結流體方程(1.62)也能導出類似的結果。以下幾個例子，表明了旋轉和層結在動力學上的等價性。(1)跟Taylor流體柱對應的，層結流體中存在著阻塞(Blocking)現(xiàn)象。(2)層結流體中的內(nèi)重力波，等價于旋轉流體中的慣性波。(3)在二維層結流體中，在x=(0，1)處有Ekman層等價的垂直邊界層；在z=(0，1)處有與Stewartson等價的水平邊界層。(4)旋轉流體中的旋轉加強過程，可等價于層結流體中的熱加強過程。第六十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日(5)兩圓柱面間旋轉流體的不穩(wěn)定性導致產(chǎn)生Taylor渦，在層結流體中相等價的現(xiàn)象就是Benard對流。在三維流動問題中，旋轉流體與層結流體之間不再具有動力學上的等價性。主要原因是，旋轉效應本身使流體趨向于“水平的”二維運動，即旋轉使流動兩維化。而三維流動不受限制的層結流體作二維運動時并不存在占優(yōu)勢的“水平方向”。因此，本書第五章將仍需介紹旋轉層結流體的有關動力學問題。2.地形與β作用的動力學等價性在均質流體的淺水理論中，由于流體亦是旋轉的，因而存在著柯氏參數(shù)f=2Ωsinφ的作用。倘若完全不考慮地球的球面性，把地球表面近似看成是平面，即假定柯氏參數(shù)不隨緯度變化而當作一個常數(shù)。這樣的近似稱作f-平面近似。第六十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日如果部分考慮地球球面性，即把地球表面仍近似當作平面，但又考慮柯氏參數(shù)隨緯度的變化即β=?f/?y≠0，這種近似稱作β平面近似：f≈f0+βy。在下一章中，將要推得斜底淺水模式中的位渦表示式為(1.69)式中D為靜止淺水厚度，η是相對于靜止水面的擾動高度，hB是底面地形高度及ζ是相對渦度。下一章還要推得相應的淺水Rossby波頻率方程為(1.70)式中k為x向波數(shù)，K為總波數(shù)及R為Rossby形變半徑。第七十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日并且(1.71)因此，f-平面上的地形Rossby波，相當于β-平面上等深流體的Rossby波。這就使得用轉盤做大氣環(huán)流模型實驗成為可能，只要轉盤底面是傾斜的，在動力學上就相當于引入了β作用，或者部分地考慮了球面性。其實，從(1.69)式的位渦表示式的右端第二項即(βy+fhB/D)可知，β-作用與地形(hB≠0)作用在動力學上是等價的。在淺水理論中，只要從位渦守恒方程出發(fā)取得的結論，都具有這種動力學等價性。

第七十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日§1.7基本方程組前已指出大尺度地球流體，將會受到地球旋轉的影響。這是由于旋轉地球具有如下特征數(shù)據(jù)： (1.72)因此赤道地區(qū)的流體相對于地球轉軸的旋轉線速度之量級為4×104cms-1，此種速度稱作牽連線速度。它比之大氣中的典型風速大得多(例如，臺風最大風速的量級是104cms-1)。同時，由于地球旋轉產(chǎn)生的渦度比起海洋和大氣中典型的大尺度運動渦度也是非常大的，因而，當水平長度尺度可與地球半徑相比時，必須考慮地球旋轉的影響。

第七十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日在隨地球一起轉動的相對坐標系中，當考慮粘性時，由動量守恒定理得到的流體運動方程為(1.73)式中V為流速矢，Ω為地球角速度矢，p和ρ分別為流體的壓力和密度，而Φ=gz為有效重力位勢，g是重力加速度。算子(1.74)在直角坐標中的標量式為(1.75)在柱坐標系中的標量形式為(1.76)第七十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日在球坐標系中的標量形式為(1.77)在以上各式中u，v和w分別為速度矢V沿坐標系的分量。θ為經(jīng)度，φ為緯度，如果研究的(運動)現(xiàn)象的厚度遠小于地球半徑a，則在(1.77)式右端二、三項中的變量r可用常量a近似代替。由質量守恒定理，可得流體的連續(xù)方程為

(1.78)如果(1.79)則稱流體為不可壓縮的，相應地有(1.53)即不可壓縮流體是三維無輻散的。

第七十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日在另一方面，當溫度T、壓力p和鹽度s為流體的熱力學狀態(tài)函數(shù)時，狀態(tài)方程的一般形式為(1.80)對理想氣體則有(1.81)式中R