新教材數(shù)學(xué)人教A版選擇性課件階段復(fù)習(xí)課第四課圓錐曲線的方程

階段復(fù)習(xí)課第四課圓錐曲線的方程核心整合·思維導(dǎo)圖考點(diǎn)突破·素養(yǎng)提升素養(yǎng)一數(shù)學(xué)運(yùn)算角度1求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例1】(1)焦點(diǎn)分別為(-2,0),(2,0)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ()【解析】選A.由雙曲線定義知,

所以a=1.又c=2,所以b2=c2-a2=4-1=3,因此所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1.(2)以橢圓=1的短軸頂點(diǎn)為焦點(diǎn),離心率為e=的橢圓方程為 ()【解析】選A.=1的短軸頂點(diǎn)為(0,-3),(0,3),所以所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,且c=3.又e=,所以a=6.所以b2=a2-c2=36-9=27.所以所求橢圓方程為=1.【類題·通】求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一般有兩種類型:一是用定義求方程,利用定義分析出曲線類型求得參數(shù)得到方程;二是已知性質(zhì)求方程,根據(jù)已知的性質(zhì)求出參數(shù)得到標(biāo)準(zhǔn)方程.【加練·固】1.以雙曲線=1的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ()2=16x 2=12x2=-20x 2=20x【解析】選A.由已知拋物線的焦點(diǎn)為(4,0),則設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0).所以=4,p=8.所以所求方程為y2=16x.2.以橢圓9x2+5y2=45的焦點(diǎn)為焦點(diǎn),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

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【解析】9x2+5y2=45化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式為=1,焦點(diǎn)為(0,±2),所以c=2,設(shè)所求方程為=1,代入(2,),解得a2=12.所以方程為=1.答案:=1角度2圓錐曲線的離心率【典例2】(1)如圖,橢圓C1,C2與雙曲線C3,C4的離心率分別是e1,e2與e3,e4,則e1,e2,e3,e4的大小關(guān)系是 ()2<e1<e3<e42<e1<e4<e31<e2<e3<e41<e2<e4<e3【解析】選A.橢圓離心率為e,則e2=1-,所以0<e2<e1<1.雙曲線的離心率為e＇,則e＇=1+.所以1<e3<e4.因此0<e2<e1<1<e3<e4.(2)設(shè)雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,直線l:x=(c為雙曲線的半焦距的長(zhǎng))與兩條漸近線分別交于P,Q兩點(diǎn),如果△PQF是直角三角形,則雙曲線的離心率e=

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【解析】由雙曲線的對(duì)稱性,知|PF|=|QF|,又因?yàn)椤鱌QF是直角三角形,所以∠PFQ=90°,∠PFO=45°.漸近線為y=±x.由題意知點(diǎn)P坐標(biāo)為,所以,即a=b.所以e=答案:

【類題·通】1.圓錐曲線的主要性質(zhì)范圍、對(duì)稱性、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、離心率,另外橢圓還包括長(zhǎng)短軸,雙曲線還包括實(shí)虛軸,漸近線,拋物線還包括準(zhǔn)線.2.求離心率的主要方法(1)定義法:利用平方關(guān)系以及e=,知道a,b,c中任意兩個(gè)求e.(2)方程法:建立a與c的齊次關(guān)系式,求離心率e.(3)幾何法:求與過(guò)焦點(diǎn)的三角形有關(guān)的離心率問(wèn)題,根據(jù)平面幾何性質(zhì)以及橢圓(雙曲線)的定義、幾何性質(zhì),建立參數(shù)之間的關(guān)系.通過(guò)畫出圖形,觀察線段之間的關(guān)系,使問(wèn)題更形象、直觀.【加練·固】若橢圓=1(a>b>0)的離心率為,則雙曲線=1的漸近線方程為 ()=±x =±2x=±4x =±x【解析】選A.由橢圓的離心率e=,可知,所以,故雙曲線的漸近線方程為y=±x.素養(yǎng)二邏輯推理角度直線和圓錐曲線的位置關(guān)系及其綜合應(yīng)用【典例3】(1)對(duì)不同的實(shí)數(shù)值m,討論直線y=x+m與橢圓+y2=1的位置關(guān)系.(2)已知拋物線C:y2=2px(p>0)過(guò)點(diǎn)A(1,-2).①求拋物線C的方程,并求其準(zhǔn)線方程;②是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l,使直線l與拋物線C有公共點(diǎn),直線OA與l的距離等于?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.【解析】(1)聯(lián)立方程組將①代入②得+(x+m)2=1,整理得5x2+8mx+4m2-4=0.③Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2).當(dāng)Δ>0,即-<m<時(shí),方程③有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,代入①可得兩個(gè)不同的公共點(diǎn)坐標(biāo),此時(shí)直線與橢圓相交;當(dāng)Δ=0,即m=±時(shí),方程③有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,代入①得一個(gè)公共點(diǎn)坐標(biāo),此時(shí)直線與橢圓相切;當(dāng)Δ<0,即m<-或m>時(shí),方程③無(wú)實(shí)根,此時(shí)直線與橢圓相離.(2)①將(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,所以p=2.故所求的拋物線C的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1.②假設(shè)存在符合題意的直線l,其方程為y=-2x+t,代入拋物線方程得y2+2y-2t=0.因?yàn)橹本€l與拋物線C有公共點(diǎn),所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.另一方面,由直線OA與l的距離d=,可得,解得t=±1.因?yàn)?1?所以符合題意的直線l存在,其方程為2x+y-1=0.【類題·通】(1)求直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,或求直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,其基本方法是聯(lián)立直線方程和圓錐曲線的方程,消元化成一元二次(或一次)方程,通過(guò)二次(或一次)方程解的個(gè)數(shù)來(lái)判定.在解答過(guò)程中要注意兩點(diǎn):一是二次項(xiàng)系數(shù)是否為0,只有二次方程才能用判別式;二是對(duì)于變量的取值受到特別限制的情況要數(shù)形結(jié)合.(2)利用代數(shù)方法判斷直線與雙曲線、拋物線的位置關(guān)系時(shí),注意方程組有一解時(shí),直線與雙曲線、拋物線的位置關(guān)系,可能是相交或相切.(3)與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問(wèn)題的討論常用以下方法:①結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系.②不等式(組)求解法:根據(jù)題意結(jié)合圖形(如點(diǎn)在曲線內(nèi)等)列出所討論的