2023藝術(shù)生新高考數(shù)學(xué)講義 第33講 直線方程（學(xué)生版+解析版）

第33講直線方程

【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】

一、基本概念

斜率與傾斜角

我們把直線y=fcr+A中&的系數(shù)4(ksR)叫做這條直線的斜率，垂直于x軸的直線，其斜率不存在。x

軸正方向與直線向上的方向所成的角叫這條直線的傾斜角。傾斜角ce[0,;r),規(guī)定與x軸平行或重合的直

線的傾斜角為0,傾斜角不是王的直線的傾斜角的正切值叫該直線的斜率，常用女表示，即％=tana。

2

當(dāng)人=0時(shí)，直線平行于軸或與軸重合；

當(dāng)左>0時(shí)，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨火的增大而增大；

當(dāng)上<()時(shí)，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角左隨的增大而減小；

二、基本公式

1.尸2(公，為)兩點(diǎn)間的距離公式，11="(/一%)2+優(yōu)一%)2

5

2.[(X],%),//4,%)的直線斜率公式A=——乜=tanaU,^xra豐—■)

/2

3.直線方程的幾種形式

(1)點(diǎn)斜式：直線的斜率及存在且過(guò)(%,￡),y-y0=k(x-xQ)

注：①當(dāng)&=0時(shí)，y=y0：②當(dāng)人不存在時(shí)，x=x0

(2)斜截式：直線的斜率k存在且過(guò)(0,份，y=kx+b

(3)兩點(diǎn)式：上』=忙3_,不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線。

力-%%f

注：(x?-%)=(x-/)優(yōu)-%)可表示經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)「(/’，。色,為)的所有直線

(4)截距式：工+上=1不能表示垂直于坐標(biāo)軸及過(guò)原點(diǎn)的直線。

ab

(5)一般式：Ax+By+C=(XA2+B2^0),能表示平面上任何一條直線(其中，向量：=(A,8)是這條直

線的一個(gè)法向量)

三、兩直線平行與垂直的判定

兩條直線平行與垂直的判定.

兩直線方程平行垂直

/1:Ax+By+C=0A紇-4嗎=0且

]}]+B]B?=0

l2:A2X+B2y+C2=0B1C2-生。尸0

戶=丁+)(斜率存在)

l:y=k^x+&k、=心"Aq或

2k售2=T或勺與女2中有一個(gè)

/.,X=X...._li.r.X=X^X=%2百工12為0,另一個(gè)不存在.

'"（斜率不存在）

l2ix-x2

四、三種距離

1.兩點(diǎn)間的距離

22

平面上兩點(diǎn)?/，%)，%。2，y2)的距離公式為IP/2\=yl^,-x2)+(yi-y2).

特別地，原點(diǎn)。(0,.0)與任一點(diǎn)尸(x,y)的距離|OP|=y/x2+y2.

2.點(diǎn)到直線的距離

點(diǎn)心(%,打)到直線l-.Ax+By+C=G的距離d=

yJA+8

特別地，若直線為/:尸，"，則點(diǎn)心優(yōu),打)到/的距離4=|>n-Xo|港直線為/:)=〃,則點(diǎn)尸。優(yōu),打)到I的距離

4=1"I

3.兩條平行線間的距離

己知是兩條平行線，求44間距離的方法：

(1)轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點(diǎn)到另一條直線的距離.

Ic-CI

(2)設(shè)4-Ax+By+C.=0,/,:+By+C,=0,則(與.之間的距離d='；

>JA-+B2

注:兩平行直線方程中,前面對(duì)應(yīng)系數(shù)要相等.

【典型例題】

例1.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A0,2),在x軸上的截距的取值范圍是(-3,3),則其斜率火的

取值范圍是()

A?GTB.卜用

C.J[，+?>]D.(-8,-1)7佶,+8]

例2.(202)全國(guó)?高三專題練習(xí)(文))設(shè)相€??,直線工+沖+1=0恒過(guò)定點(diǎn)4,則點(diǎn)4到直線如一丫-2〃?+2=()

的距離的最大值為（）

A.1B.&C.石D.V13

例3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知點(diǎn)3,2）3>0）到直線/:x-y+3=0的距離為1,則。等于（）

A.72B.2-&C.V2-1D.V2+1

例4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）（多選）設(shè)點(diǎn)戶（-4,2）,<2（6,-4）,R（12,6）,5（2,12）,則有（）

A.PQ//SRB.PQLPS

C.PS//QSD.PR±QS

例5.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知直線4：》-'+3=0,直線/:x-y-l=0,若直線4關(guān)于直線/的對(duì)稱

直線為4,則直線4的方程為-

例6.（2022?上海?高三專題練習(xí)）坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）關(guān)于直線“2），+2=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

例7.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）直線4：3x+4），-7=0與直線/2：6x+8y+2=0之間的距離為.

例8.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知兩條直線4：〃w+8y+"=0和:2x+沖-1=0,試分別確定機(jī)〃的值，

使：

（1）乙與4相交于一點(diǎn)尸

（2）"4且4過(guò)點(diǎn)（3,-1）；

（3）4，）且/i在y軸上的截距為T.

例9.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（-3,0）,8（2,1）,C（-2,3）,BC中點(diǎn)為。

點(diǎn)，求：

（1）8C邊所在直線的方程；

（2）BC邊上中線AO所在直線的方程；

（3）8C邊的垂直平分線的方程.

例10.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（4,3）,且與x軸正半軸交于點(diǎn)A,與y軸正半軸交

于點(diǎn)B,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若點(diǎn)。到直線/的距離為4,求直線/的方程；

（2）求△048面積的最小值.

【技能提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若圖中的直線/I，①，3的斜率分別是配22,好則有（）

B.B<ZI<&2

C.D.攵2Vz3<左1

2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知直線/的方程為X+Gy+4=O,則直線/的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知直線/的傾斜角為亍，直線4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3,2）和8（凡-1）,且直線/與4平

行，則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.0B.1C.6D.0或6

4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若直線〃?的斜率女￡（fo,-l）U（l,g]，則直線加的傾斜角的取值范圍是（）

713萬(wàn)

B.

7'TU抬

717t

D.

5.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知4，",3）,3（2利,加+4）,C（m+l,2）,。（1,0）,且直線AB與C。平行,

則機(jī)的值為（）

A.-1B.0C.1D.0或1

6.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知兩點(diǎn)4-2,4）,8（2,3）,過(guò)點(diǎn)尸（1,0）的直線/與線段A8有公共點(diǎn),

則直線/斜率的取值范圍是（

A.（YO,3]UB.(a,3]

-4）D.b8,-gU[3,+<?)

C.--,+=0

7.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A（l,3）,8（—2,-1）.若直線/：y=A（x-2）+1與線段A8相交，則

）

（

圍是

值范

出的取

一2

B.鼠

k..—

A.

2

—

2領(lǐng)Jl

D.—

2

或鼠一

左…一

C.

2

2

在

條邊所

形另兩

該三角

6,則

率為3

的斜

直線

所在

一邊

角形

等邊三

）若

（理）

擬預(yù)測(cè)

明.模

云南昆

021?

8.（2

）

為（

斜率

直線

受石3

一正

-

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5

4

4

2

B.

A.

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3

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且

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73

5

-

-，一一

2

2

4

線4的

與直

直線4

）,則

（2,26

），N

（L括

點(diǎn)M

經(jīng)過(guò)

。，4

為60

斜角

的傾

線4

）直

練習(xí)

專題

?高三

?全國(guó)

（2022

9.

）

是（

關(guān)系

位置

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D.平

合

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B.垂

行

A.平

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練習(xí)

專題

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（2022

10.

2

）

（

分條件

要不充

B.必

要條件

分不必

A.充

要條件

也不必

不充分