數(shù)學(xué)習(xí)題（新教材新高考新人教A版）第二章29指對冪的大小比較《培優(yōu)課》

指、對、冪的大小比較指數(shù)與對數(shù)是高中一個重要的知識點，也是高考必考考點，其中指數(shù)、對數(shù)及冪的大小比較是近幾年的高考熱點和難點，主要考查指數(shù)、對數(shù)的互化、運算性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)在壓軸題的位置．題型一直接法比較大小命題點1利用函數(shù)的性質(zhì)例1設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>cC．c>b>a D．b>c>a答案C解析因為函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))x是增函數(shù)，所以<，即a<b，又因為函數(shù)y＝在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以<，所以b<c，故c>b>a.命題點2找中間值例2(2023·上饒模擬)已知a＝log53，b＝，c＝7－，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．b>a>c D．c>b>a答案C解析因為1＝log55>log53>log5eq\r(5)＝log5＝eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)<a<1，b＝>20＝1,7－＝<＝eq\f(1,2)，即0<c<eq\f(1,2)，所以b>a>c.命題點3特殊值法例3已知a>b>1,0<c<eq\f(1,2)，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)c<bc B．a(chǎn)bc<bacC．a(chǎn)logbc<blogac D．logac<logbc答案C解析取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝eq\f(1,4)，則ac＝，bc＝，∴ac>bc，故A錯誤；abc＝4×＝，bac＝2×＝，∴abc>bac，故B錯誤；logac＝log4eq\f(1,4)＝－1，logbc＝log2eq\f(1,4)＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正確，D錯誤．思維升華利用特殊值作“中間量”在指數(shù)、對數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“－1,0，eq\f(1,2)，1”對所比較的數(shù)進(jìn)行劃分，然后再進(jìn)行比較，有時可以簡化比較的步驟，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，進(jìn)而可估計log23是一個1～2之間的小數(shù)，從而便于比較．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知a＝，b＝lg，c＝，則()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．c>b>a D．c>a>b答案D解析因為y＝x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以>0，又b＝lg0.6<lg1＝0，所以c>a>b.(2)已知a＝eq\f(4,3)，b＝log34，c＝3－，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>c B．c>b>aC．b>a>c D．a(chǎn)>c>b答案A解析因為a＝eq\f(4,3)＝log3，＝34＝81>43＝64，且函數(shù)y＝log3x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以log3>log34，即a>b.又因為b＝log34>log33＝1，c＝3－<30＝1，即b>c，所以a>b>c.題型二利用指數(shù)、對數(shù)及冪的運算性質(zhì)化簡比較大小例4(1)已知a＝，b＝，c＝eq\f(1,5)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．b<c<a D．c<a<b答案A解析c＝eq\f(1,5)>eq\f(1,4)＝1，a＝＝＝，b＝＝，因為y＝在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且eq\f(1,1024)<eq\f(1,625)，所以a<b，又<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,625)))0＝1，即b<1，所以a<b<c.(2)(2020·全國Ⅲ)已知55<84，134<85.設(shè)a＝log53，b＝log85，c＝log138，則()A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<a<b答案A解析∵log53－log85＝log53－eq\f(1,log58)＝eq\f(log53·log58－1,log58)<eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log53＋log58,2)))2－1,log58)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log524,2)))2－1,log58)<eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log525,2)))2－1,log58)＝0，∴l(xiāng)og53<log85.∵55<84，134<85，∴5log85<4，4<5log138，∴l(xiāng)og85<log138，∴l(xiāng)og53<log85<log138，即a<b<c.思維升華求同存異法比較大小如果兩個指數(shù)或?qū)?shù)的底數(shù)相同，則可通過真數(shù)的大小與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出指數(shù)或?qū)?shù)的大小關(guān)系，要熟練運用指數(shù)、對數(shù)公式、性質(zhì)，盡量將比較的對象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(參考值lg2≈0，lg3≈1)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a答案B解析c＝930＝360，a＝2100?lga＝lg2100＝100lg2≈，b＝365?lgb＝lg365＝65lg3≈5，c＝930?lgc＝lg360＝60lg3≈，所以lgb>lga>lgc，即b>a>c.(2)(2022·汝州模擬)已知a＝log63，b＝log84，c＝log105，則()A．b<a<c B．c<b<aC．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c答案D解析由題意得，a＝log63＝log6eq\f(6,2)＝1－log62＝1－eq\f(1,log26)，b＝log84＝log8eq\f(8,2)＝1－log82＝1－eq\f(1,log28)，c＝log105＝log10eq\f(10,2)＝1－log102＝1－eq\f(1,log210)，因為函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以log26<log28<log210，則eq\f(1,log26)>eq\f(1,log28)>eq\f(1,log210)，所以a<b<c.題型三構(gòu)造函數(shù)比較大小例5(1)已知a＝eq\f(22－ln2,e2)，b＝eq\f(ln2,2)，c＝eq\f(1,e)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．a(chǎn)<c<b D．b<c<a答案B解析a＝eq\f(2－ln2,\f(e2,2))＝eq\f(ln

\f(e2,2),\f(e2,2))，c＝eq\f(1,e)＝eq\f(lne,e)，令f(x)＝eq\f(lnx,x)，∴a＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2,2)))，b＝f(2)，c＝f(e)，∴f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，∴當(dāng)x∈(0，e)時，f′(x)>0，當(dāng)x∈(e，＋∞)時，f′(x)<0，∴f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(x)max＝f(e)＝eq\f(lne,e)＝c，∴a<c，b<c，又b＝eq\f(ln2,2)＝eq\f(2ln2,4)＝eq\f(ln4,4)＝f(4)，∵4>eq\f(e2,2)，∴f(4)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2,2)))，∴b<a，∴b<a<c.(2)(2022·新高考全國Ⅰ)設(shè)a＝，b＝eq\f(1,9)，c＝－ln，則()A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．a(chǎn)<c<b答案C解析設(shè)u(x)＝xex(0<x≤)，v(x)＝eq\f(x,1－x)(0<x≤)，w(x)＝－ln(1－x)(0<x≤)．則當(dāng)0<x≤時，u(x)>0，v(x)>0，w(x)>0.①設(shè)f(x)＝ln[u(x)]－ln[v(x)]＝lnx＋x－[lnx－ln(1－x)]＝x＋ln(1－x)(0<x≤)，則f′(x)＝1－eq\f(1,1－x)＝eq\f(x,x－1)<0在(0,]上恒成立，所以f(x)在(0,]上單調(diào)遞減，所以f()<f(0)＝0＋ln(1－0)＝0，即ln[u()]－ln[v()]<0，所以ln[u()]<ln[v()]．又函數(shù)y＝lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以u()<v()，即<eq\f(1,9)，所以a<b.②設(shè)g(x)＝u(x)－w(x)＝xex＋ln(1－x)(0<x≤)，則g′(x)＝(x＋1)ex－eq\f(1,1－x)＝eq\f(1－x2ex－1,1－x)(0<x≤)．設(shè)h(x)＝(1－x2)ex－1(0<x≤)，則h′(x)＝(1－2x－x2)ex>0在(0,]上恒成立，所以h(x)在(0,]上單調(diào)遞增，所以h(x)>h(0)＝(1－02)×e0－1＝0，即g′(x)>0在(0,]上恒成立，所以g(x)在(0,]上單調(diào)遞增，所以g()>g(0)＝0×e0＋ln(1－0)＝0，即g()＝u()－w()>0，所以>－ln，即a>c.綜上，c<a<b，故選C.思維升華某些數(shù)或式子的大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細(xì)心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，將各個值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大?。櫽?xùn)練3(1)(2022·濟(jì)南模擬)已知a＝68，b＝77，c＝86，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．b>c>a B．c>b>aC．a(chǎn)>c>b D．a(chǎn)>b>c答案D解析令f(x)＝(14－x)lnx，則f′(x)＝－lnx＋eq\f(14,x)－1.因為y＝－lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，y＝eq\f(14,x)－1在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f′(x)＝－lnx＋eq\f(14,x)－1在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．而f′(5)＝－ln5＋eq\f(14,5)－1>0，f′(6)＝－ln6＋eq\f(14,6)－1<0，所以當(dāng)x∈(6，＋∞)時，f′(x)<0.所以f(x)＝(14－x)lnx在(6，＋∞)上單調(diào)遞減．所以f(6)>f(7)>f(8)，即8ln6>7ln7>6ln8，故68>77>86.故a>b>c.(2)(2023·南昌模擬)設(shè)a＝e－2eq\r(7)，b＝4eq\r()－4，c＝2ln，則()A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<bC．b<a<c D．c<a<b答案B解析∵(e)2＝e<e3<33，(2eq\r(7))2＝28>33，∴e<2eq\r(7)，∴a<0；b－c＝4eq\r()－4－2ln＝2(2eq\r()－2－ln)，令f(x)＝2eq\r(x)－2－lnx，∴f′(x)＝eq\f(1,\r(x))－eq\f(1,x)＝eq\f(\r(x)－1,x)，∴當(dāng)0<x<1時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>1時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴f()>0，即2eq\r()－2－ln1.1>0，∴c<b，又c＝2ln1.1>2ln1＝0，∴a<c<b.課時精練1．設(shè)a＝，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2，c＝log2eq\f(3,2)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．b<a<c B．c<a<bC．b<c<a D．a(chǎn)<c<b答案B解析a＝＝>1，且<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2＝b，又c＝log2eq\f(3,2)<log22＝1.故c<a<b.2．(2021·新高考全國Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝eq\f(1,2)，則下列判斷正確的是()A．c<b<a B．b<a<cC．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c答案C解析a＝log52<log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)＝log82eq\r(2)<log83＝b，即a<c<b.3．設(shè)a＝log23，b＝2log32，c＝2－log32，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．b<c<a B．c<b<aC．a(chǎn)<b<c D．b<a<c答案A解析由c＝2－log32＝log39－log32＝log3eq\f(9,2)>log34＝2log32＝b，a－c＝log23＋log32－2>2eq\r(log23×log32)－2＝2－2＝0，所以a>c，所以b<c<a.4．(2023·濰坊模擬)若3x＝4y＝10，z＝logxy，則()A．x>y>z B．y>x>zC．z>x>y D．x>z>y答案A解析因為3x＝4y＝10，所以x＝log310>log39＝2；1＝log44<y＝log410<log416＝2，則1<y<2，所以x>y>1，而z＝logxy<logxx＝1，所以x>y>z.5．設(shè)x，y，z為正實數(shù)，且log2x＝log3y＝log5z>1，則eq\f(x,2)，eq\f(y,3)，eq\f(z,5)的大小關(guān)系是()A.eq\f(z,5)<eq\f(y,3)<eq\f(x,2) B.eq\f(x,2)<eq\f(y,3)<eq\f(z,5)C.eq\f(y,3)<eq\f(x,2)<eq\f(z,5) D.eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,5)答案B解析由x，y，z為正實數(shù)，設(shè)log2x＝log3y＝log5z＝k>1，可得x＝2k>2，y＝3k>3，z＝5k>5.∴eq\f(x,2)＝2k－1>1，eq\f(y,3)＝3k－1>1，eq\f(z,5)＝5k－1>1，令f(x)＝xk－1，∵f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(2)<f(3)<f(5)，即eq\f(x,2)<eq\f(y,3)<eq\f(z,5).6．(2023·茂名模擬)已知a＝sin2，b＝ln2，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．c<b<a B．a(chǎn)<b<cC．b<a<c D．b<c<a答案D解析a＝sin2>sin

eq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)>eq\f(3,4)，＝e3>24?>2?＝eq\f(3,4)>ln2，即b<eq\f(3,4)，∴a>b；∵＝eq\f(1,2)＝eq\f(32,64)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64)，∴>eq\f(3,4)，∴c>b；∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))6＝eq\f(27,64)，＝eq\f(1,4)＝eq\f(16,64)，∴eq\f(\r(3),2)>，∴a>c，∴b<c<a.7．設(shè)a＝eq\r(9,10)，b＝9sin

eq\f(1,10)，c＝eq\r(5,3)，則()A．b<a<c B．b<c<aC．c<a<b D．c<b<a答案B解析令f(x)＝sinx－x，則f′(x)＝cosx－1≤0，所以f(x)為減函數(shù)，所以當(dāng)x>0時，f(x)<f(0)＝0，即sinx<x，所以b＝9sin

eq\f(1,10)<9×eq\f(1,10)＝eq\f(9,10)<1，又a＝eq\r(9,10)>eq\r(9,1)＝1，c＝eq\r(5,3)>eq\r(5,1)＝1，且a45＝105，c45＝39＝3×94<105，所以b<c<a.8．已知a＝5ln4π，b＝4ln5π，c＝5lnπ4，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．c<b<a B．c<a<bC．b<a<c D．a(chǎn)<b<c答案C解析令f(x)＝eq\f(lnx,x)(x≥e)，則f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，可得函數(shù)f(x)在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，∴eq\f(πl(wèi)n4,4)>eq\f(πl(wèi)n5,5)，∴5ln4π>4ln5π，∴a>b，同理可得eq\f(lnπ,π)>eq\f(ln4,4)，∴4lnπ>πl(wèi)n4，∴π4>4π，∴5lnπ4>5ln4π，∴c>a，∴b<a<c.9．(2022·贛州模擬)已知ea＝，eb＝，ec＝，則()A．a(chǎn)>c>b B．c>a>bC．b>a>c D．a(chǎn)>b>c答案D解析由題意a＝，b＝，c＝，令f(x)＝(＋x)ln(－x)，則f′(x)＝ln(－x)＋eq\f(x＋,x－)＝ln(－x)＋1＋eq\f(,x－)，所以f′(x)在[－1,1]上單調(diào)遞減，又