2021年湖南省常德市酉港鎮(zhèn)聯(lián)校高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2021年湖南省常德市酉港鎮(zhèn)聯(lián)校高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若函數(shù)（）的值域?yàn)閧1,0}，則集合A為（

）A．{2,9}

B．{0,1}

C．{0,－1}

D．{2,5}參考答案：C求解可得：，求解可得：，據(jù)此可得：.本題選擇C選項(xiàng).

2.設(shè)向量，滿足||=3，?=﹣5，且|+2|=1，則||等于（）A． B．2 C．3 D．參考答案：A【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；方程思想；向量法；平面向量及應(yīng)用．【分析】把|+2|=1兩邊平方，然后代入||=3，?=﹣5求得答案．【解答】解：由|+2|=1，兩邊平方得：，∵||=3，?=﹣5，∴，解得：．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．3.（4分）若f（x）=3ax+1﹣2a在（﹣1，1）上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（） A． B． C． D． a＜﹣1參考答案：C考點(diǎn)： 函數(shù)的零點(diǎn)；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．分析： 根據(jù)零點(diǎn)的性質(zhì)和不等式性質(zhì)進(jìn)行求解．解答： 解：由f（x）=3ax+1﹣2a=0得，∵f（x）=3ax+1﹣2a在（﹣1，1）上存在零點(diǎn)，∴，解得．故選C．點(diǎn)評(píng)： 求出零點(diǎn)后再根據(jù)零點(diǎn)的范圍判斷實(shí)數(shù)a的取值范圍．4.下面給出的四類對(duì)象中，構(gòu)成集合的是（）A．某班個(gè)子較高的同學(xué) B．長(zhǎng)壽的人C．的近似值 D．倒數(shù)等于它本身的數(shù)參考答案：D【考點(diǎn)】集合的含義．

【專題】計(jì)算題．【分析】通過集合的定義，直接判斷選項(xiàng)即可．【解答】解：因?yàn)榧现械脑貪M足：確定性、互異性、無序性；選項(xiàng)A、B、C元素都是不確定的．所以D，倒數(shù)等于它本身的數(shù)，能夠構(gòu)成集合．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的定義，集合元素的特征，基本知識(shí)的應(yīng)用．5.數(shù)列的前40項(xiàng)的和為（

）A．

B．

C．19

D．18參考答案：C略6.函數(shù)的定義域是（）A．[﹣2，0] B．（﹣2，0） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】直接由對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，然后求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由函數(shù)，可得﹣x2﹣2x＞0，解得：﹣2＜x＜0．∴函數(shù)的定義域是：（﹣2，0）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．7.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊．若b=2acosC，則△ABC的形狀一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形參考答案：C【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】（法一）根據(jù)正弦定理、內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)已知的式子，由內(nèi)角的范圍即可判斷出△ABC的形狀；（法二）根據(jù)余弦定理化簡(jiǎn)已知的式子，即可判斷出△ABC的形狀．【解答】解：（法一）∵b=2acosC，∴由正弦定理得sinB=2sinAcosC，∵B=π﹣（A+C），∴sin（A+C）=2sinAcosC，則sinAcosC+cosAsinC=2sinAcosC，sinAcosC﹣cosAsinC=0，即sin（A﹣C）=0，∵A、C∈（0，π），∴A﹣C∈（﹣π，π），則A﹣C=0，∴A=C，∴△ABC是等腰三角形；（法二）∵b=2acosC，∴由余弦定理得b=2a?，化簡(jiǎn)得a2﹣c2=0，即a=c，∴△ABC是等腰三角形，故選：C．8.sin15°+cos15°的值為（） A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】二倍角的正弦． 【分析】把原式通過兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后利用特殊角的三角函數(shù)值求解即可． 【解答】解：sin15°+cos15°=（sin15°+cos15°） =（sin15°cos45°+cos15°sin45°） =sin（15°+45°）=sin60° =×=． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和的正弦函數(shù)公式的逆運(yùn)算化簡(jiǎn)求值，牢記特殊角的三角函數(shù)值． 9.函數(shù)f(x)=1+log2x與g（x）=2-x+1在同一直角坐標(biāo)系下的圖象大致是（

）參考答案：D10.已知全集，集合，，則集合(

)(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)f（x）=ax﹣x﹣a（a＞0，且a≠1）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（1，+∞）【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)題設(shè)條件，分別作出令g（x）=ax（a＞0，且a≠1），h（x）=x+a，分0＜a＜1，a＞1兩種情況的圖象，結(jié)合圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解．【解答】解：令g（x）=ax（a＞0，且a≠1），h（x）=x+a，分0＜a＜1，a＞1兩種情況．

在同一坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖，若函數(shù)f（x）=ax﹣x﹣a有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則函數(shù)g（x），h（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．根據(jù)畫出的圖象只有當(dāng)a＞1時(shí)符合題目要求．故答案為：（1，+∞）【點(diǎn)評(píng)】作出圖象，數(shù)形結(jié)合，事半功倍．12.已知冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)

．參考答案：-113.已知f（x）=ax7﹣bx5+cx3+2，且f（﹣5）=17，則f（5）=．參考答案：﹣13【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．

【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)所給函數(shù)的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造新函數(shù)g（x）=ax7﹣bx5+cx3，利用其奇偶性求解．【解答】解：令g（x）=ax7﹣bx5+cx3該函數(shù)是奇函數(shù)，所以f（﹣5）=g（﹣5）+2=17，因此g（﹣5）=15，所以g（5）=﹣15，所以f（5）=g（5）+2=﹣15+2=﹣13，故答案為：﹣13．【點(diǎn)評(píng)】本題考察函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，題目本身所給函數(shù)不具有奇偶性，但將其中含自變量部分拆出后具有奇偶性，利用這一點(diǎn)將該類問題解決．14.經(jīng)過圓的圓心，并且與直線垂直的直線方程為

.參考答案：略15.

在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=2,，CC1=1，一條繩子從點(diǎn)A沿表面拉到點(diǎn)C1，則繩子的最短的長(zhǎng)度_______.參考答案：16.甲、乙兩個(gè)箱子里各裝有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，現(xiàn)從兩個(gè)箱子中隨機(jī)各取一個(gè)球，則至少有一個(gè)紅球的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】CB：古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】至少有一個(gè)紅球的對(duì)立事件為取到兩個(gè)白球，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出至少有一個(gè)紅球的概率．【解答】解：∵甲、乙兩個(gè)箱子里各裝有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，現(xiàn)從兩個(gè)箱子中隨機(jī)各取一個(gè)球，至少有一個(gè)紅球的對(duì)立事件為取到兩個(gè)白球，∴至少有一個(gè)紅球的概率為：p=1﹣=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．17.將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)解析式是___________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知函數(shù)2+1（1）求函數(shù)的對(duì)稱軸，對(duì)稱中心（2）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間（3）若對(duì)，不等式恒成立，試求m的取值范圍參考答案：（1）由2可得：其對(duì)稱軸令解得：，；故對(duì)稱軸為，；對(duì)稱中心，令，解得，；故對(duì)稱中心為：（），（2）函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間令，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)增區(qū)間：，；單調(diào)減區(qū)間：（3）2，故可化為當(dāng)取得最大值時(shí)，

19.已知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2x﹣x2．（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；（Ⅱ）問是否存在這樣的正數(shù)a，b使得當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）的值域?yàn)閇，]，若存在，求出所有a，b的值，若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的值域．【專題】分類討論；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）令x＜0，則﹣x＞0，由當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2x﹣x2，可得f（﹣x）的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，f（x）=﹣f（﹣x），可得答案；（Ⅱ）分0＜a＜b≤1，0＜a＜1＜b和1≤a＜b三種情況分別討論，a，b的取值情況，最后綜合討論結(jié)果可得答案．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)x＜0，則﹣x＞0，由f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[2（﹣x）﹣（﹣x）2]=2x+x2，當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0，故f（x）=；（2）分下述三種情況：①0＜a＜b≤1，那么＞1，而當(dāng)x≥0，f（x）的最大值為1，故此時(shí)不可能使g（x）=f（x），②若0＜a＜1＜b，此時(shí)若g（x）=f（x），則g（x）的最大值為g（1）=f（1）=1，得a=1，這與0＜a＜1＜b矛盾；③若1≤a＜b，因?yàn)閤≥1時(shí)，f（x）是減函數(shù)，則f（x）=2x﹣x2，于是有?，考慮到1≤a＜b，解得a=1，b=【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)解析式的求解及常方法，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中利用奇函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的解析式，并分析其性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．20.若是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，且，求的值.參考答案：【分析】本題首先可根據(jù)是的一個(gè)內(nèi)角以及得出和，然后對(duì)進(jìn)行平方并化簡(jiǎn)可得，最后結(jié)合即可得出結(jié)果?！驹斀狻恳?yàn)槭堑囊粋€(gè)內(nèi)角，所以，，因?yàn)椋?，，所以，所以?！军c(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，考查的公式為，在運(yùn)算的過程中一定要注意角的取值范圍，考查推理能力，是簡(jiǎn)單題。21.(12分)已知數(shù)列和滿足

(1)當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)于任意的實(shí)數(shù),一定不是等差數(shù)列；

(2)當(dāng)時(shí)，試判斷是否為等比數(shù)列；參考答案：①當(dāng)m=1時(shí)，,假設(shè)是等差數(shù)列，由得即方程無實(shí)根。故對(duì)于任意實(shí)數(shù)一定不是等差數(shù)列。②當(dāng)，，

略22.已知函數(shù)f（x）=logm（m＞0且m≠1），（I）判斷f（x）的奇偶性并證明；（II）若m=，判斷f（x）在（3，+∞）的單調(diào)性（不用證明）；（III）若0＜m＜1，是否存在β＞α>0，使f（x）在[α，β]的值域?yàn)閇logmm（β-1），logm（α-1）]？若存在，求出此時(shí)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：（Ⅰ）f（x）是奇函數(shù)（Ⅱ）見解析（Ⅲ）．【分析】（Ⅰ）先求定義域，再判斷與f（x）關(guān)系，最后根據(jù)奇偶性定義作判斷與證明，（Ⅱ）根據(jù)單調(diào)性定義進(jìn)行判斷，（Ⅲ）先根據(jù)單調(diào)性確定方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩正根，再根據(jù)二次方程實(shí)根分布列方程，最后解不等式組得結(jié)果.【詳解】解：（Ⅰ）f（x）是奇函數(shù)；證明如下：由解得x＜-3或x＞3，所以f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-3）∪（3，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∵=，故f（x）為奇函數(shù)/（Ⅱ）任取x1，x2∈（3，+∞）且x1＜x2，=，∵（x1-3）（x2+3）-（x1+3）（x2-3）＜0，∴（x1-3）（x2+3）＜（x1+3）（x2-3），即，當(dāng)m=時(shí)，，即f（x1）＜f（x2）．故f（x）在（3，+∞）上單調(diào)遞減．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)