上海中學(xué)東校2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

上海中學(xué)東校2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且，弦中點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為的最大值為A． B． C． D．參考答案：B2.已知方程的兩個(gè)根為，，則（

）A．3

B．6

C．8

D．2參考答案：C3.函數(shù)（其中A＞0，）的圖像如圖所示，為了得到g(x)=sin2x的圖像，則只需將f(x)的圖像(

)（A）向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位

（B）向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位（C）向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位

（D）向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位參考答案：D4.設(shè)集合A={x|x2+x﹣6≤0}，集合B為函數(shù)的定義域，則A∩B=（）A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2） D．（1，2]參考答案：D【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算．【專題】集合．【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件，求出函數(shù)的定義域B，根據(jù)不等式的性質(zhì)求出集合A，然后根據(jù)并集的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：A={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}=[﹣3，2]，要使函數(shù)y=有意義，則x﹣1＞0，即x＞1，∴函數(shù)的定義域B=（1，+∞），則A∩B=（1，2]，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，利用函數(shù)成立的條件求出函數(shù)的定義域y以及利用不等式的解法求出集合A是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)5.若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則=

（

）A．1? B．1+

C．?1+ D．?1?參考答案：A,所以.選A.6.復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位),則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D試題分析：由題設(shè)可得,故,因此應(yīng)選D．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．7.已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且上是增函數(shù)，那么上是A.增函數(shù) B.減函數(shù) C.先增后減的函數(shù) D.先減后增的函數(shù)參考答案：C由得即函數(shù)的周期為2，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且在上是增函數(shù)，所以在是減函數(shù)，所以上遞增，在上遞減，選C.8.設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=2x+4y的最大值為（

）A．10

B．12

C．13

D．14參考答案：答案:C9.若條件p:|x+1|≤4，條件q:x2<5x－6，則┐p是┐q的

(

)A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：答案：B10.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 （A）xα∈R,f(xα)=0 （B）函數(shù)y=f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形 （C）若xα是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間（-∞,xα）單調(diào)遞減 （D）若x0是f（x）的極值點(diǎn)，則參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過點(diǎn)的直線l與直線垂直，直線l與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)滿足，則雙曲線C的漸近線方程為_______，離心率為_______.參考答案：，

【分析】先求出直線的方程，將其與雙曲線的漸近線方程聯(lián)立，求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的中點(diǎn)的坐標(biāo).利用點(diǎn)滿足，可知點(diǎn)在線段的中垂線上，即，，從而可求得，再根據(jù)，求出，即可寫出漸近線方程和離心率.【詳解】過點(diǎn)的直線與直線垂直，直線的方程為，雙曲線的兩條漸近線方程為，將兩個(gè)方程聯(lián)立，可得，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)滿足，點(diǎn)在線段的中垂線上，即，，則，，漸近線方程為，離心率為.故答案為：，.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率的求法，求直線的方程，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式.其中將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在中垂線上是關(guān)鍵.屬于綜合性較強(qiáng)的題.12.當(dāng)x≠1且x≠0時(shí)，數(shù)列{nxn﹣1}的前n項(xiàng)和Sn=1+2x+3x2+…nxn﹣1（n∈N*）可以用數(shù)列求和的“錯(cuò)位相減法”求得，也可以由x+x2+x3+…+xn（n∈N*）按等比數(shù)列的求和公式，先求得x+x2+x3+…+xn=，兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，兩邊同時(shí)求導(dǎo)，（x+x2+x3+…+xn）′=（）′，從而得到：Sn=1+2x+3x2+…+nxn﹣1=，按照同樣的方法，請(qǐng)從二項(xiàng)展開式（1+x）n=1+x+Cx2+…+Cxn出發(fā)，可以求得，Sn=1×2×C+2×3×C+3×4×C+…+n×（n+1）×C（n≥4）的和為（請(qǐng)?zhí)顚懽詈?jiǎn)結(jié)果）參考答案：n（n+3）2n﹣2【考點(diǎn)】6A：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)類比推理的思想，由二項(xiàng)式的展開式的兩邊同乘以x，再分別求兩次導(dǎo)，再令x=1時(shí)，即可求出答案．【解答】解：∵（1+x）n=1+x+Cx2+…+Cxn，∴x（1+x）n=x+x2+Cx3+…+Cxn+1，兩邊求導(dǎo)可得（1+x）n+nx（1+x）n﹣1=1+2x+3Cx2+4Cn3x3+…+（n+1）Cxn，兩邊繼續(xù)求導(dǎo)可得n（1+x）n﹣1+n（1+x）n﹣1+n（n﹣1）x（1+x）n﹣2=1×2+2×3Cx+3×4Cn3x2+…+n（n+1）Cxn﹣1，令x=1，可得n?2n﹣1+n?2n﹣1+n（n﹣1）2n﹣2=1×2+2×3C+3×4Cn3+…+n（n+1）C=Sn，∴Sn=n（n+3）2n﹣2．故答案為：n（n+3）2n﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了類比推理的問題，掌握求導(dǎo)的法則，關(guān)鍵是兩邊同乘以x，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題13.設(shè)二元一次不等式組

的圖象沒有經(jīng)過區(qū)域的取值范圍是______________.參考答案：（0，1）（1，2）（9，+∞）14.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（其中b為常數(shù)），則___________．參考答案：15.如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自寶馬汽車車標(biāo)的里面部分，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形對(duì)邊中點(diǎn)連線成軸對(duì)稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是

．參考答案：16.在正三角形中，設(shè)它的內(nèi)切圓的半徑為，容易求得正三角形的周長(zhǎng)，面積，發(fā)現(xiàn)．這是一個(gè)平面幾何中的重要發(fā)現(xiàn)．請(qǐng)用類比推理方法猜測(cè)對(duì)空間正四面體存在類似結(jié)論為

．參考答案：在正四面體中，設(shè)它的內(nèi)切球的半徑為r，容易求得正四面體的表面積，體積，發(fā)現(xiàn)．17.函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為▲.

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．B11

解析：；故；故函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為：；即；故答案為：．【思路點(diǎn)撥】由題意求導(dǎo)，從而可知切線的斜率，從而寫出切線方程．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)命題甲：直線x＝y(tǒng)與圓(x－a)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，命題乙：函數(shù)f(x)＝2－|x＋1|－a的圖象與x軸有交點(diǎn)，試判斷命題甲與命題乙的條件關(guān)系，并說明理由．參考答案：命題甲：若直線x＝y(tǒng)與圓(x－a)2＋y2＝1有公共點(diǎn)．則≤1，－≤a≤.命題乙：函數(shù)f(x)＝2－|x＋1|－a的圖象與x軸有交點(diǎn)，等價(jià)于a＝2－|x＋1|有解．∵|x＋1|≥0，－|x＋1|≤0，∴0＜2－|x＋1|≤1，因此0＜a≤1.∴命題乙?命題甲，但命題甲命題乙．故命題乙是命題甲的充分不必要條件．

19.已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1時(shí)有最大值2，求a的值．參考答案：(1)當(dāng)對(duì)稱軸x＝a<0時(shí)，如圖①所示．當(dāng)x＝0時(shí)，y有最大值，ymax＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，即a＝－1，且滿足a<0，∴a＝－1；(1)當(dāng)對(duì)稱軸0≤a≤1時(shí)，如圖②所示．當(dāng)x＝a時(shí)，y有最大值，ymax＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1.∴a2－a＋1＝2，解得a＝．∵0≤a≤1，∴a＝(舍去)；(3)對(duì)稱軸x＝a，當(dāng)a>1時(shí)，如圖③所示．當(dāng)x＝1時(shí)，y有最大值，ymax＝f(1)＝2a－a＝2，∴a＝2，且滿足a>1，∴a＝2.綜上可知，a的值為－1或2.20.如圖,在長(zhǎng)方體中為中點(diǎn).(Ⅰ)求證:(Ⅱ)在棱上是否存在一點(diǎn),使得平面?若存在,求的長(zhǎng);若不存在,說明理由.(Ⅲ)若二面角的大小為,求的長(zhǎng).參考答案：解:(1)以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,故(2)假設(shè)在棱上存在一點(diǎn),使得平面,則設(shè)平面的法向量為,則有,取,可得,要使平面,只要,又平面,存在點(diǎn)使平面,此時(shí).(3)連接,由長(zhǎng)方體,得,,由(1)知,故平面.是平面的法向量,而,則二面角是,所以,即略21.如圖所示，AB為圓O的直徑，CB，CD為圓O的切線，B，D為切點(diǎn)．（1）求證：AD∥OC；（2）若圓O的半徑為2，求AD?OC的值．參考答案：【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)．【專題】選作題；立體幾何．【分析】（1）連接BD，OD，利用切線的性質(zhì)，證明BD⊥OC，利用AB為直徑，證明AD⊥DB，即可證明AD∥OC；（2）證明Rt△BAD∽R(shí)t△COB，可得，即可求AD?OC的值【解答】（1）證明：連接BD，OD，∵CB，CD是圓O的兩條切線，∴BD⊥OC，又AB為直徑，∴AD⊥DB，∴AD∥OC．（2）解：∵AD∥OC，∴∠DAB=∠COB，∴Rt△BAD∽R(shí)t△COB，∴，∴AD?OC=AB?OB=8．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查平面幾何的證明，具體涉及到圓的切線的性質(zhì)，三角形相似等內(nèi)容．本小題重點(diǎn)考查考生對(duì)平面幾何推理能力．22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程．參考答案：解：（1）由題意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，則b=1，即有橢圓方程為+y2=1；（2）當(dāng)AB⊥x軸，AB=，CP=3，不合題意；當(dāng)AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），將AB方程代入橢圓方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，則x1+x2=，x1x2=，則C（，），且|AB|=?=，若k=0，則AB的垂直平分線為y軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意；則k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），從而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此時(shí)AB的方程為y=x﹣1或y=﹣x+1．考點(diǎn)： 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

專題：直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）運(yùn)用離心率公式和準(zhǔn)線方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）討論直線AB的斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及兩直線垂直的條件和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得到所求直線的方程．解答：解：（1）由題意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，則b=1，即有橢圓方程為+y2=1；（2）當(dāng)AB⊥x軸，AB=，CP=3，不合題意；當(dāng)AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），將AB