《高等數(shù)學》課件第八章

高等數(shù)學演講人姓名數(shù)量關(guān)系—第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何在三維空間中:空間形式—點,線,面基本方法—坐標法;向量法坐標,方程（組）空間解析幾何與向量代數(shù)第八章第一節(jié)四、利用坐標作向量的線性運算一、向量的概念二、向量的線性運算三、空間直角坐標系五、向量的模、方向角、投影向量及其線性運算

第八章一、向量的概念表示法:向量的模:向量的大小,向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量自由向量:與起點無關(guān)的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1

M2,或a,記作e

或e.或a.規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;與a

的模相同,但方向相反的向量稱為a

的負向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線.若k(≥3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此k個向量共面.記作－a;向量的加法01三角形法則:02平行四邊形法則:03運算規(guī)律:04交換律05結(jié)合律06三角形法則可推廣到多個向量相加.07二、向量的線性運算2.向量的減法三角不等式可見是一個數(shù),規(guī)定:總之:運算律:結(jié)合律分配律因此與a的乘積是一個新向量,記作3.向量與數(shù)的乘法定理1.設(shè)

a

為非零向量,則(為唯一實數(shù))證:“”.,?。健狼以僮C數(shù)的唯一性.則a∥b設(shè)a∥b反向時取負號,,a,b

同向時取正號則b

與

a

同向,設(shè)又有b＝

a,010203040506070809則例1.設(shè)M為解:ABCD對角線的交點,,b同向已知b＝a,b＝0,b反向a∥b“”三、空間直角坐標系ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系.

坐標原點

坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過空間一定點O,

坐標面

卦限(八個)1.空間直角坐標系的基本概念ⅠzOx面坐標軸:坐標面:在空間直角坐標系下,01設(shè)02沿三個坐標軸方向的分向量,03此式稱為向量r的坐標分解式,04任意向量r可用向徑OM表示.05記062.向量的坐標表示在直角坐標系下向徑坐標軸上的點P,Q,R;坐標面上的點A,B,C點

M特殊點的坐標:有序數(shù)組(稱為點

M

的坐標)原點O(0,0,0);010203則平行向量對應坐標成比例:設(shè)四、利用坐標作向量的線性運算求解以向量為未知元的線性方程組例2.解:①②2×①－3×②,得代入②得在AB所在直線上求一點M,使01解:設(shè)M的坐標為02如圖所示03及實數(shù)04得05即06例3.已知兩點說明:由中點公式:點M為AB的中點,得定比分點公式:于是得向量的模與兩點間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點間的距離公式:對兩點與五、向量的模、方向角、投影01證:03為等腰三角形.05為頂點02即04的三角形是等腰三角形.例4.求證以例5.在z軸上求與兩點等距解:

設(shè)該點為解得故所求點為及思考:(1)如何求在

xOy

面上與A,B

等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點的軌跡方程?離的點.(1)如何求在

xOy

面上與A,B

等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點的軌跡方程?提示:(1)設(shè)動點為利用得(2)設(shè)動點為利用得且例6.已知兩點解:求與AB方向相同的單位向量e.方向角的余弦稱為其方向余弦.與三坐標軸的夾角,,的夾角.任取空間一點O,為其方向角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.稱=∠AOB(0≤≤)為向量設(shè)有兩非零向量2.方向角與方向余弦方向余弦的性質(zhì):和解:的模、方向余弦和方向角.計算向量例7.已知兩點例8.設(shè)點A位于第一卦限,第二節(jié)解:已知角依次為求點A的坐標.則因點A在第一卦限,故于是故點A的坐標為向徑OA與x軸y軸的夾3.向量在軸上的投影第二節(jié)01則a在軸u上的投影為02例如,03在坐標軸上的投影分別為04設(shè)a與u軸正向的夾角為,05,即06投影的性質(zhì)070809(為實數(shù))例9.設(shè)立方體的一條對角線為OM,一條棱為OA,且求OA在OM

方向上的投影.解:

如圖所示,記∠MOA=,作業(yè)

P123,5,13,14,15,18,19解:因設(shè)求向量在x軸上的投影及在y軸上的分向量.P13(19)在y軸上的分向量為故在x軸上的投影為備用題設(shè)求以向量行四邊形的對角線的長度.該平行四邊形的對角線的長度各為對角線的長為解：為邊的平*三、向量的混合積第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積數(shù)量積向量積*混合積

第八章一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動,1.定義設(shè)向量的夾角為,稱

記作數(shù)量積(點積).引例.

設(shè)一物體在常力F作用下,位移為s,則力F

所做的功為記作1性質(zhì)3則有5故2為兩個非零向量,46交換律01結(jié)合律02分配律03事實上,當04時,顯然成立;053.運算律證:如圖.則設(shè)例1.證明三角形余弦定理01設(shè)05由于04為非零向量時,02則03當06兩向量的夾角公式07,得4.數(shù)量積的坐標表示AMB.解:則求故例2.已知三點二、兩向量的向量積引例.設(shè)O為杠桿L的支點,有一個與杠桿夾角為符合右手規(guī)則矩是一個向量M:的力F作用在杠桿的P點上,引例.設(shè)O為杠桿L的支點,則力F作用在杠桿上的力1.定義定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模:向量積,稱引例中的力矩思考:

右圖三角形面積S＝2015為非零向量,則2019分配律2016∥2020結(jié)合律2017∥2021(證明略)2018運算律2022證明:2.性質(zhì)設(shè)則4.向量積的坐標表示式向量積的行列式計算法角形ABC的面積.解:如圖所示,求三例4.已知三點定義已知三向量稱數(shù)量混合積.記作幾何意義為棱作平行六面體,底面積高故平行六面體體積為則其三、向量的混合積2.混合積的坐標表示設(shè)01三個非零向量02共面的充要條件是03輪換對稱性:04(可用三階行列式推出)3.性質(zhì)),求該四面體體積.解:已知四面體的體積等于以向量為棱的平行六面體體積的故例6.已知一四面體的頂點例7.已知A(1,2,0)、B(2,3,1)、C(4,2,2)、1四點共面,求點M的坐標x、y、z所滿足的方程.2解:A、B、C、M四點共面3展開行列式即得點M的坐標所滿足的方程4AM、AB、AC三向量共面5即6內(nèi)容小結(jié)01設(shè)02向量運算03加減:04數(shù)乘:05點積:06叉積:07混合積:01向量關(guān)系:02設(shè)計算并求夾角的正弦與余弦.答案:用向量方法證明正弦定理:夾角的正弦與余弦.思考與練習

01所以

02因證:由三角形面積公式第三節(jié)2曲面方程的概念5曲面及其方程3旋轉(zhuǎn)曲面6第八章1二次曲面4柱面一、曲面方程的概念求到兩定點A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點的化簡得即說明:動點軌跡為線段AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程,不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.解:設(shè)軌跡上的動點為軌跡方程.定義1.如果曲面S

與方程F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面S上的任意點的坐標都滿足此方程則F(x,y,z)=0叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個基本問題:(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2)不在曲面S上的點的坐標不滿足此方程求曲面方程.(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀(必要時需作圖).故所求方程為01方程.02特別,當M0在原點時,球面方程為03解:設(shè)軌跡上動點為04即05依題意06距離為R的軌跡07表示上(下)球面.08例1.求動點到定點解:配方得可見此方程表示一個球面說明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為球心為一個球面,或點,或虛軌跡.例2.研究方程二、旋轉(zhuǎn)曲面定義2.一條平面曲線繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:建立yOz面上曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當繞z軸旋轉(zhuǎn)時,給定yOz面上曲線C:若點給定yOz面上曲線C:則有則有該點轉(zhuǎn)到思考：當曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？例3.試建立頂點在原點,旋轉(zhuǎn)軸為z

軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yOz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為兩邊平方例4.求坐標面xOz上的雙曲線分別繞x1軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.2解:繞x軸旋轉(zhuǎn)3繞z軸旋轉(zhuǎn)4這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.5所成曲面方程為6所成曲面方程為7三、柱面引例.分析方程表示怎樣的曲面.的坐標也滿足方程解:在xOy面上，表示圓C,平行于

z軸直線l沿圓周C移動而形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點其上所有點的坐標都滿足此方程,定義3.直線l沿著定曲線C

平行移動

形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于

z

軸;準線為xOy

面上的拋物線.

z

軸的橢圓柱面.z

軸的平面.表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C

叫做準線,l

叫做母線.一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x軸;平行于y軸;平行于z軸;準線xOz面上的曲線l3.母線柱面,準線xOy面上的曲線l1.母線準線yOz面上的曲線l2.母線四、二次曲面三元二次方程適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅就幾種常見標準型的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形統(tǒng)稱為二次曲面.(二次項系數(shù)不全為0)1.橢球面范圍：與坐標面的交線：橢圓與的交線為橢圓：(4)當a＝b

時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當a＝b＝c

時為球面.(3)截痕:為正數(shù))2.拋物面橢圓拋物面雙曲拋物面（鞍形曲面）(p,q同號)(p,q同號)特別,當p=q時為繞z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.橢圓拋物面雙曲拋物面（鞍形曲面）3.雙曲面01單葉雙曲面02橢圓.03時,截痕為04(實軸平行于x軸；05虛軸平行于z軸）06平面07上的截痕情況:08雙曲線:虛軸平行于x軸）時,截痕為時,截痕為(實軸平行于z

軸;相交直線:雙曲線:(2)雙葉雙曲面P18雙曲線01橢圓02注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:03雙曲線04單葉雙曲面05雙葉雙曲面06圖形074.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點的兩直線.橢圓①上任一點與原點的連線均在曲面上.①(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)x

或y方向的伸縮變換得到,見P28)內(nèi)容小結(jié)1.

空間曲面三元方程

球面

旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z

軸的旋轉(zhuǎn)曲面:

柱面如,曲面表示母線平行z

軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.2.二次曲面三元二次方程

橢球面

拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面

雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面

橢圓錐面:斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y

軸的直線平行于yOz面的平面圓心在(0,0)半徑為3的圓以z軸為中心軸的圓柱面平行于z

軸的平面思考與練習1.指出下列方程的圖形:21題10答案:在xOy面上2.P30題3,10作業(yè)P302;4;7;8(1),(5);11第四節(jié)第八章空間曲線的一般方程空間曲線及其方程空間曲線的參數(shù)方程空間曲線在坐標面上的投影空間曲線及其方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線C.C一、空間曲線的一般方程又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C.二、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動點坐標x,y,z表示成參數(shù)t的函數(shù):01稱它為空間曲線的參數(shù)方程.02例如,圓柱螺旋線03的參數(shù)方程為04上升高度05,稱為螺距.06A07N0801解:(1)03將第二方程變形為05得所求為02根據(jù)第一方程引入?yún)?shù),04故所求為例1.將下列曲線化為參數(shù)方程表示:繞z軸旋轉(zhuǎn)01時的旋轉(zhuǎn)曲面方程.02解:03點M1繞z軸旋轉(zhuǎn),04后到點05則06這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿足的參數(shù)方程.07例2.求空間曲線:消去t和,得旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為例如,直線繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面(即球面)方程為01010203又如,xOz面上的半圓周說明:一般曲面的參數(shù)方程含兩個參數(shù),形如0203設(shè)空間曲線C的一般方程為消去z得投影柱面則C在xOy面上的投影曲線C′為消去x得C在yOz面上的投影曲線方程12345消去y得C在zOx面上的投影曲線方程消去x得C在yOz面上的投影曲線方程三、空間曲線在坐標面上的投影例如,1在xOy面上的投影曲線方程為201所圍的立體在xOy面上的投影區(qū)域為:02上半球面03和錐面04在xOy面上的投影曲線05二者交線06所圍圓域:07二者交線在08xOy面上的投影曲線所圍之域.又如,內(nèi)容小結(jié)

空間曲線三元方程組或參數(shù)方程

求投影曲線(如,圓柱螺線)思考與練習P37題1，2，7（展示空間圖形）第五節(jié)平面的點法式方程平面的一般方程兩平面的夾角平面及其方程平面的點法式方程平面的一般方程第八章01設(shè)一平面通過已知點02且垂直于非零向03稱①式為平面的點法式方程,04求該平面的方程.05法向量.06量07則有08故09一、平面的點法式方程01即03的平面的方程.02解:取該平面的法向量為04利用點法式得平面的方程例1.求過三點此平面的方程也可寫成一般情況:的平面方程為說明:過三點此式稱為平面的截距式方程.01時,02平面方程為03分析:利用04按第一行展開得05即06特別,當平面與三坐標軸的交點分別為設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)即顯然方程②與此點法式方程等價,的平面,因此方程②的圖形是法向量為方程.二、平面的一般方程特殊情形?當D=0時,Ax+By+Cz=0表示通過原點的平面;?當A=0時,By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?By+D=0表示平行于y

軸的平面;平行于z

軸的平面;平行于xOy

面的平面;平行于yOz

面的平面；平行于zOx

面的平面.例2.求通過x軸和點(4,–3,–1)的平面方程.1例3.用平面的一般式方程導出平面的截距式方程.2解:3因平面通過x軸,4設(shè)所求平面方程為5代入已知點6得7化簡,得所求平面方程8設(shè)平面∏1的法向量為平面∏2的法向量為則兩平面夾角的余弦為兩平面法向量的夾角(常指銳角)稱為兩平面的夾角.即0102030405三、兩平面的夾角特別有下列結(jié)論：例4.一平面通過兩點因此有垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:設(shè)所求平面的法向量為即的法向量約去C,得即和則所求平面故方程為且例5.設(shè)外一點,求解:設(shè)平面法向量為在平面上取一點是平面到平面的距離d.,則P0

到平面的距離為(點到平面的距離公式)解:設(shè)球心為01求內(nèi)切于平面x+y+z=1與三個坐標面所構(gòu)成02則它位于第一卦限,且03因此所求球面方程為04四面體的球面方程.05故06例6.內(nèi)容小結(jié)1一般式3截距式5平面基本方程:2點法式4三點式6平面01平面02垂直:03平行:04夾角公式:052.平面與平面之間的關(guān)系求過點且垂直于二平面和的平面方程.解:已知二平面的法向量為取所求平面的法向量則所求平面方程為化簡得備用題第六節(jié)空間直線方程空間直線及其方程1線面間的位置關(guān)系2空間直線及其方程3第八章401因此其一般式方程02一般式方程03直線可視為兩平面交線，04(不唯一)一、空間直線方程01故有02說明:某些分母為零時,其分子也理解為零.03設(shè)直線上的動點為04則05此式稱為直線的對稱式方程(也稱為點向式方程)06直線方程為07已知直線上一點08例如,當09和它的方向向量2.對稱式方程設(shè)得參數(shù)式方程:3.參數(shù)式方程AEDFBC再求直線的方向向量令x=1,解方程組交已知直線的兩平面的法向量為,得是直線上一點.解:先在直線上找一點.例1.用對稱式及參數(shù)式表示直線01故所給直線的對稱式方程為02參數(shù)式方程為03解題思路:04先找直線上一點;05再找直線的方向向量.06是直線上一點兩直線的夾角設(shè)直線L1,L2的方向向量分別為線面間的位置關(guān)系則兩直線夾角滿足兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)特別有:2直線L2的方向向量為3二直線夾角的余弦為1解:直線L1的方向向量為5從而4(參考P45例2)例2.求以下兩直線的夾角當直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角為01線所夾銳角稱為直線與平面間的夾角;0203直線與平面的夾角04當直線與平