2024屆浙江省溫州市蒼南縣巨人中學高二數學第一學期期末質量檢測試題含解析

2024屆浙江省溫州市蒼南縣巨人中學高二數學第一學期期末質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過拋物線的焦點作直線l，交拋物線與A、B兩點，若線段中點的縱坐標為3，則等于（）A.10 B.8C.6 D.42．若直線的傾斜角為120°，則直線的斜率為（）A. B.C. D.3．設雙曲線的離心率為，則下列命題中是真命題的為（）A.越大，雙曲線開口越小 B.越小，雙曲線開口越大C.越大，雙曲線開口越大 D.越小，雙曲線開口越大4．設為坐標原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標為（）A. B.C. D.5．已知定義在區(qū)間上的函數，，若以上兩函數的圖像有公共點，且在公共點處切線相同，則m的值為（）A.2 B.5C.1 D.06．已知函數在處取得極小值，則（）A. B.C. D.7．已知F(3,0)是橢圓的一個焦點，過F且垂直x軸的弦長為，則該橢圓的方程為（）A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=18．《九章算術》與《幾何原本》并稱現代數學的兩大源泉.在《九章算術》卷五商功篇中介紹了羨除（此處是指三面為等腰梯形，其他兩側面為直角三角形的五面體）體積的求法.在如圖所示的羨除中，平面是鉛垂面，下寬，上寬，深，平面BDEC是水平面，末端寬，無深，長（直線到的距離），則該羨除的體積為（）A. B.C. D.9．如圖，A，B，C三點不共線，O為平面ABC外一點，且平面ABC中的小方格均為單位正方形，，，則（）A.1 B.C.2 D.10．已知向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D11．在數列中抽取部分項（按原來的順序）構成一個新數列，記為，再在數列插入適當的項，使它們一起能構成一個首項為1，公比為3的等比數列.若，則數列中第項前（不含）插入的項的和最小為（）A.30 B.91C.273 D.82012．已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．半徑為R的圓外接于，且，若，則面積的最大值為________.14．已知函數在點處的切線為直線l，則l與坐標軸圍成的三角形面積為___________.15．已知等差數列中，，則=_________.16．過橢圓的右焦點作兩條相互垂直的直線m，n，直線m與橢圓交于A，B兩點，直線n與橢圓交于C，D兩點，若．則下列方程①；②；③；④．其中可以作為直線AB的方程的是______（寫出所有正確答案的序號）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：，斜率為的直線l與橢圓C交于A、B兩點且（1）求橢圓C的離心率；（2）求直線l的方程18．（12分）2022北京冬奧會即將開始，北京某大學鼓勵學生積極參與志愿者的選拔．某學院有6名學生通過了志愿者選拔，其中4名男生，2名女生（1）若從中挑選2名志愿者，求入選者正好是一名男生和一名女生的概率；（2）若從6名志愿者中任選3人負責滑雪項目服務崗位，那么現將6人分為A、B兩組進行滑雪項目相關知識及志愿者服務知識競賽，共賽10局．A、B兩組分數（單位：分）如下：A：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142B：126，115，143，126，143，115，139，139，115，139從統(tǒng)計學角度看，應選擇哪個組更合適？理由是什么？19．（12分）在數列中，,，數列滿足（1）求證：數列是等比數列，并求出數列的通項公式；（2）數列前項和為，且滿足，求的表達式；（3）令，對于大于的正整數、（其中），若、、三個數經適當排序后能構成等差數列，求符合條件的數組.20．（12分）如圖，在棱長為3的正方體中，分別是上的點且（1）求證：；（2）求平面與平面的夾角的余弦值21．（12分）已知各項為正數的等比數列中，，.（1）求數列通項公式；（2）設，求數列的前n項和.22．（10分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若與相交于A、兩點，設，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】根據拋物線的定義求解【題目詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，設，則，所以，故選：B2、B【解題分析】求得傾斜角的正切值即得【題目詳解】k=tan120°=.故選：B3、C【解題分析】根據雙曲線的性質結合離心率對雙曲線開口大小的影響即可得解.【題目詳解】解：對于A，越大，雙曲線開口越大，故A錯誤；對于B，越小，雙曲線開口越小，故B錯誤；對于C，由，越大，則越大，雙曲線開口越大，故C正確；對于D，越小，則越小，雙曲線開口越小，故D錯誤.故選：C.4、B【解題分析】根據題中所給的條件，結合拋物線的對稱性，可知，從而可以確定出點的坐標，代入方程求得的值，進而求得其焦點坐標，得到結果.【題目詳解】因為直線與拋物線交于兩點，且，根據拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點坐標為，故選：B.【題目點撥】該題考查的是有關圓錐曲線的問題，涉及到的知識點有直線與拋物線的交點，拋物線的對稱性，點在拋物線上的條件，拋物線的焦點坐標，屬于簡單題目.5、C【解題分析】設兩曲線與公共點為，分別求得函數的導數，根據兩函數的圖像有公共點，且在公共點處切線相同，列出等式，求得公共點的坐標，代入函數，即可求解.【題目詳解】根據題意，設兩曲線與公共點為，其中，由，可得，則切線的斜率為，由，可得，則切線斜率為，因為兩函數的圖像有公共點，且在公共點處切線相同，所以，解得或（舍去），又由，即公共點的坐標為，將點代入，可得.故選：C.6、A【解題分析】由導數與極值與最值的關系，列式求實數的值.【題目詳解】由條件可知，，，解得：，，檢驗，時，當，得或，函數的單調遞增區(qū)間是和，當，得，所以函數的單調遞減區(qū)間是，所以當時，函數取得極小值，滿足條件.所以.故選：A7、C【解題分析】根據已知條件求得，由此求得橢圓的方程.【題目詳解】依題意，所以橢圓方程為.故選：C8、C【解題分析】在，上分別取點，，使得，連接，，，把幾何體分割成一個三棱柱和一個四棱錐，然后由棱柱、棱錐體積公式計算【題目詳解】如圖，在，上分別取點，，使得，連接，，，則三棱柱是斜三棱柱，該羨除的體積三棱柱四棱錐.故選：C【題目點撥】思路點睛：本題考查求空間幾何體的體積，解題思路是觀察幾何體的結構特征，合理分割，將不規(guī)則幾何體體積的計算轉化為錐體、柱體體積的計算．考查了空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力9、B【解題分析】根據向量的線性運算，將向量表示為，再根據向量的數量積的運算進行計算可得答案,【題目詳解】因為，所以=，故選：B.10、A【解題分析】由已知，分別表示出選項對應的向量，然后利用平面向量共線定理進行判斷即可完成求解.【題目詳解】因，，，選項A，，，若A，B，D三點共線，則，即，解得，故該選項正確；選項B，，，若A，B，C三點共線，則，即，解得不存，故該選項錯誤；選項C，，，若B，C，D三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；選項D，，，若A，C，D三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；故選：A.11、C【解題分析】先根據等比數列的通項公式得到，列出數列的前6項，將其中是數列的項的所有數去掉即可求解.【題目詳解】因為是以1為首項、3為公比的等比數列，所以，則由，得，即數列中前6項分別為：1、3、9、27、81、243，其中1、9、81是數列的項，3、27、243不是數列的項，且，所以數列中第7項前（不含）插入的項的和最小為.故選：C.12、B【解題分析】當直線斜率存在時，設直線方程，聯(lián)立方程組，結合根與系數關系可得，進而求得取值范圍，當斜率不存在是，可得，兩點坐標，進而可得的值.【題目詳解】當直線斜率存在時，設直線方程為，，，聯(lián)立方程，得，恒成立，則，，，，，所以，當直線斜率不存在時，直線方程為，所以，，，綜上所述：，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】利用正弦定理將已知條件轉化為邊之間的關系，然后用余弦定理求得C；利用三角形面積公式，結合兩角差的正弦函數公式和二倍角公式得，再利用輔助角公式得，最后利用函數的值域計算得結論.【題目詳解】因為所以由正弦定理得：，即，所以由余弦定理可得：，又，故.由正弦定理得：，，所以，所以當時，S最大，.若，則面積的最大值為.故答案為：.【題目點撥】本題考查了兩角和與差的三角函數公式，二倍角公式及應用，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，函數的圖象與性質，屬于中檔題.14、【解題分析】先求出切線方程，分別得到直線與x、y軸交點，即可求出三角形的面積.【題目詳解】由函數可得：函數，所以，.所以切線l：，即.令，得到；令，得到；所以l與坐標軸圍成的三角形面積為.故答案為：.15、4【解題分析】由等差數列的通項公式求出公差，進而求出.【題目詳解】設該等差數列的公差為，則，所以.故答案為：4.16、①②【解題分析】①②結合橢圓方程得到與橢圓參數的關系，即可判斷；③④聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式求，即可判斷.【題目詳解】由題設，且右焦點為，①時直線，故，則符合題設；②時，同①知：符合題設；③時直線，聯(lián)立直線AB與橢圓方程并整理得：，則，同理可得，則，不合題設；④時，同③分析知：，不合題設；故答案為：①②.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解題分析】（1）將橢圓化為標準方程，求得，進而求得離心率；（2）設直線，，，與橢圓聯(lián)立，借助韋達定理及弦長公式求得，從而求得直線方程.【小問1詳解】由題知，橢圓C：，則，離心率【小問2詳解】設直線，，聯(lián)立，化簡得，則，解得，，由弦長公式知，，解得，故直線或18、（1）（2）答案見詳解【解題分析】(1)：把4名男生和2名女生編號后用列舉法寫出任選2名的所有基本事件，同時可得出，兩人是一男一女的基本事件，計數后可計算概率；(2)：求出兩組數據的均值和方差，比較可得【小問1詳解】設4名男生分別用A，B，C，D表示：2名女生分別用1，2表示.基本事件為：，，，，，，，，，，，，共15種，所以所求概率為；【小問2詳解】A組數據的平均數，B組數據的平均數，A組數據的方差，B組數據的方差，所以選擇A隊．理由：A、B兩隊平均數相同，且，A組成績波動小19、（1）證明見解析，；（2）；（3）.【解題分析】（1）由已知等式變形可得，利用等比數列的定義可證得結論成立，確定等比數列的首項和公比，可求得數列的通項公式；（2）求得，然后分、兩種情況討論，結合裂項相消法可得出的表達式；（3）求得，分、、三種情況討論，利用奇數與偶數的性質以及整數的性質可求得、的值，綜合可得出結論.【小問1詳解】解：由可得，，則，，以此類推可知，對任意的，，則，故數列為等比數列，且該數列的首項為，公比為，故，可得.【小問2詳解】解：由（1）知，所以，所以，當n＝1時，，當時，.因為滿足，所以.【小問3詳解】解：，、、這三項經適當排序后能構成等差數列，①若，則，所以，，又，所以，，則；②若，則，則，左邊為偶數，右邊為奇數，所以，②不成立；③若，同②可知③也不成立綜合①②③得，20、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）建立空間直角坐標系后得到相關向量，再運用數量積證明；（2）求出相關平面的法向量，再運用夾角公式計算即可.【小問1詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標系：，，，，，∴，故.【小問2詳解】，，，設平面的一個法向量為，由，令，則，取平面的一個法向量為，設平面與平面夾角為，易知：為銳角，故，即平面與平面夾角的余弦值為.21、（1）；（2）【解題分析】（1）