2024屆四川省成都石室天府高二上數(shù)學期末綜合測試試題含解析

2024屆四川省成都石室天府高二上數(shù)學期末綜合測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線C：的漸近線方程為（）A. B.C. D.2．已知雙曲線的右焦點為，漸近線為，，過的直線與垂直，且交于點，交于點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.3．阿基米德（公元前287年~公元前212年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的對稱軸為坐標軸，焦點在y軸上，且橢圓C的離心率為，面積為6π，則橢圓C的標準方程為（）A. B.C. D.4．用這3個數(shù)組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，則事件“這個三位數(shù)是偶數(shù)”與事件“這個三位數(shù)大于342”（）A.是互斥但不對立事件 B.不是互斥事件C.是對立事件 D.是不可能事件5．已知點是橢圓上的任意一點，過點作圓：的切線，設其中一個切點為，則的取值范圍為（）A. B.C. D.6．過點且與直線垂直的直線方程是（）A. B.C. D.7．如圖在平行六面體中，與的交點記為．設，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.8．設,則是的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件9．數(shù)列中，，，若，則（）A.2 B.3C.4 D.510．兩圓與的公切線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.4條11．已知等差數(shù)列滿足，，則（）A. B.C. D.12．已知雙曲線的左焦點為F，O為坐標原點，M，N兩點分別在C的左、右兩支上，若四邊形OFMN為菱形，則C的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，，，則__________.14．當曲線與直線有兩個不同的交點時，實數(shù)k的取值范圍是____________15．在等比數(shù)列中，，，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項和為________16．已知命題恒成立；，若p，均為真，則實數(shù)a的取值范圍__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①，；②，，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并解決問題問題：設等差數(shù)列的前項和為，________________，若，判斷是否存在最大值，若存在，求出取最大值時的值；若不存在，說明理由注：如果選擇多個條件分別解答．按第一個解答記分18．（12分）已知圓的圓心在直線，且與直線相切于點.（1）求圓的方程；（2）直線過點且與圓相交，所得弦長為，求直線的方程.19．（12分）在數(shù)列中，，且成等比數(shù)列（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）設數(shù)列滿足，其前項和為，證明：20．（12分）已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，如圖，過點任作兩條互相垂直的直線，，分別交拋物線于，，，四點，，分別為，的中點.（1）求的值；（2）求證：直線過定點，并求出該定點的坐標；（3）設直線交拋物線于，兩點，試求的最小值.21．（12分）已知三角形的內角所對的邊分別為，且C為鈍角.（1）求cosA；（2）若，，求三角形的面積.22．（10分）在等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】根據(jù)給定的雙曲線方程直接求出其漸近線方程作答.【題目詳解】雙曲線C：的實半軸長，虛半軸長，即有，而雙曲線C的焦點在y軸上，所以雙曲線C的漸近線的方程為，即.故選：D2、C【解題分析】由題設易知是的中垂線，進而可得，結合雙曲線參數(shù)關系及離心率公式求雙曲線的離心率即可.【題目詳解】由題意，是的中垂線，故，由對稱性得，則，故，∴.故選：C.3、D【解題分析】設橢圓的方程為，根據(jù)題意得到和，求得的值，即可求解.【題目詳解】由題意，橢圓的焦點在軸上，可設橢圓的方程為，因為橢圓C的離心率為，可得，又由，即，解得，又因為橢圓的面積為，可得，即，聯(lián)立方程組，解答，所以橢圓方程為.故選：D.4、B【解題分析】根據(jù)題意列舉出所有可能性，進而根據(jù)各類事件的定義求得答案.【題目詳解】由題意，將2,3,4組成一個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的情況有：{234,243,324,342,423,432}，其中偶數(shù)有{234,324,342,432}，大于342的有{423,432}.所以兩個事件不是互斥事件，也不是對立事件.故選：B.5、B【解題分析】設，得到，利用橢圓的范圍求解.【題目詳解】解：設，則，，，因為，所以，即，故選：B6、C【解題分析】根據(jù)兩直線垂直時斜率乘積為，可以直接求出所求直線的斜率，再根據(jù)點斜式求出直線方程，最后化成一般式方程即可.【題目詳解】因為直線的斜率為，故所求直線的斜率等于，所求直線的方程為，即，故選：C7、B【解題分析】利用空間向量的加法和減法法則可得出關于、、的表達式.【題目詳解】故選：B.8、B【解題分析】,，所以是必要不充分條件，故選B.考點：1.指、對數(shù)函數(shù)的性質；2.充分條件與必要條件.9、C【解題分析】由已知得數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，求出，再利用等比數(shù)列求和可得答案.【題目詳解】∵，∴，所以，數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則，∴，∴，則，解得.故選：C.10、D【解題分析】求得圓心坐標分別為，半徑分別為，根據(jù)圓圓的位置關系的判定方法，得出兩圓的位置關系，即可求解.【題目詳解】由題意，圓與圓，可得圓心坐標分別為，半徑分別為，則，所以，可得圓外離，所以兩圓共有4條切線.故選：D.11、D【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出公差，再結合即可得的值.【題目詳解】因為是等差數(shù)列，設公差為，所以，即，所以，所以，故選：D.12、C【解題分析】由題意可得且，從而求出點的坐標，將其代入雙曲線方程中，即可得出離心率.【題目詳解】由題意，四邊形為菱形，如圖，則且，分別為的左，右支上的點，設點在第二象限，在第一象限.由雙曲線的對稱性，可得，過點作軸交軸于點，則，所以,則，所以，所以，則，即，解得，或，由雙曲線的離心率，所以取，則故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由已知在中利用余弦定理可得的值，可求，可得，即可得解的值【題目詳解】解：因為在中，，，，所以由余弦定理可得，所以，即，則故答案為：14、【解題分析】求出直線恒過的定點，結合曲線的圖象，數(shù)形結合，找出臨界狀態(tài)，即可求得的取值范圍.【題目詳解】因為，故可得，其表示圓心為，半徑為的圓的上半部分；因為，即，其表示過點，且斜率為的直線.在同一坐標系下作圖如下：不妨設點，直線斜率為，且過點與圓相切的直線斜率為數(shù)形結合可知：要使得曲線與直線有兩個不同的交點，只需即可.容易知：；不妨設過點與相切的直線方程為，則由直線與圓相切可得：，解得，故.故答案為：.15、【解題分析】求出等比數(shù)列的通項公式，可得出的通項公式，推導出數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式即可得解.【題目詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，故數(shù)列的前項和為.故答案為：.16、【解題分析】根據(jù)題意得到命題為真命題，為假命題，結合二次函數(shù)的圖象與性質，即可求解.【題目詳解】根據(jù)題意，命題，均為真命題，可得命題為真命題，為假命題，由命題恒成立，可得，解得；又由命題為假命題，可得，解得，所以，即實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、答案不唯一，具體見解析【解題分析】選①：易得，法一：令求n，即可為何值時取最大值；法二：寫出，利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)性質判斷為何值時有最大值；選②：由數(shù)列前n項和及等差數(shù)列下標和的性質易得、即可確定有最大值時值；選③：由等差數(shù)列前n項和公式易得、即可確定有最大值時值；【題目詳解】選①：設數(shù)列的公差為，，，解得，即，法一：當時，有，得，∴當時，；，；時，，∴或時，取最大值法二：，對稱軸，∴或時，取最大值選②：由，得，由等差中項的性質有，即，由，得，∴，故，∴當時，，時，，故時，取最大值選③：由，得，可得，由，得，可得，∴，故，∴當時，，時，，故時，取最大值【題目點撥】關鍵點點睛：根據(jù)所選的條件，結合等差數(shù)列前n項和公式的性質、下標和相等的性質等確定數(shù)列中項的正負性，找到界點n值即可.18、（1）（2）或【解題分析】（1）分析可知圓心在直線上，聯(lián)立兩直線方程，可得出圓心的坐標，計算出圓的半徑，即可得出圓的方程；（2）利用勾股定理求出圓心到直線的距離，然后對直線的斜率是否存在進行分類討論，設出直線的方程，利用點到直線的距離公式求出參數(shù)，即可得出直線的方程.【小問1詳解】解：過點且與直線垂直的直線的方程為，由題意可知，圓心即為直線與直線的交點，聯(lián)立，解得，故圓的半徑為，因此，圓的方程為.【小問2詳解】解：由勾股定理可知，圓心到直線的距離為.當直線的斜率不存在時，直線的方程為，圓心到直線的距離為，滿足條件；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，由題意可得，解得，此時，直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.19、（1）證明見解析；；（2）證明見解析【解題分析】（1）利用已知條件推出數(shù)列是等差數(shù)列，其公差為，首項為1，求出通項公式，結合由，，成等比數(shù)列，轉化求解即可．（2）化簡通項公式，利用裂項消項法，求解數(shù)列的和即可【題目詳解】證明：（1）由，得，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，其公差為，首項為1，因此，，，由成等比數(shù)列，得，即，解得或（舍去），故（2）因為，所以因為，所以【題目點撥】方法點睛：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結構特點，掌握一些常見的裂項技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.20、（1）（2）證明見解析，（3,0）（3）【解題分析】（1）求出橢圓的焦點坐標，從而可知拋物線的焦點坐標，進而可得的值；（2）首先設出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得到，坐標，令，可得直線過點，再證明當，，，三點共線即可；（3）設出的直線方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達定理找出根的關系，再利用兩點間的距離公式求出最小值即可.【小問1詳解】橢圓的焦點坐標為，由于拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，故，即，；小問2詳解】由（1）知，拋物線的方程為，設，，，，由題意，直線的斜率存在且設直線的方程為，代入可得，則，故，故的中點坐標為，由，設直線的方程為，代入可得，則，故，可得的中點坐標為，令得，此時，故直線過點，當時，，所以，，，三點共線，所以直線過定點.【小問3詳解】設，由題意直線的斜率存在，設直線的方程為，代入可得，則，，，故，當即直線垂直軸時，取得最小值.21、（1）（2）【解題分析】（1）由正弦定理邊化角，可求得角的正弦，由同角關系結合條件可得答案.(2)由（1），由余弦定理，求出邊的長，進一步