山東省東營(yíng)市勝利二中2024年數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題含解析

山東省東營(yíng)市勝利二中2024年數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B.C.2 D.2．在數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是（）A.102 B.C. D.1083．如圖，一個(gè)圓錐形的空杯子上面放著一個(gè)半徑為4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則杯子的高（）A.9cm B.6cmC.3cm D.4.5cm4．已知直線、的方向向量分別為、，若，則等于（）A.1 B.2C.0 D.35．連續(xù)拋擲一枚硬幣3次，觀察正面出現(xiàn)的情況，事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對(duì)立事件是（）A.只有2次出現(xiàn)反面 B.至多2次出現(xiàn)正面C.有2次或3次出現(xiàn)正面 D.有2次或3次出現(xiàn)反面6．?dāng)?shù)列滿足，對(duì)任意，都有，則（）A. B.C. D.7．已知圓過(guò)點(diǎn)，，且圓心在軸上，則圓的方程是（）A. B.C. D.8．對(duì)于圓上任意一點(diǎn)的值與x，y無(wú)關(guān)，有下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，r有最大值1；②在r取最大值時(shí)，則點(diǎn)的軌跡是一條直線；③當(dāng)時(shí)，則.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.3 B.2C.1 D.09．若雙曲線的漸近線方程為，則實(shí)數(shù)a的值為（）A B.C.2 D.10．在正方體中，下列幾種說(shuō)法不正確的是A. B.B1C與BD所成的角為60°C.二面角的平面角為 D.與平面ABCD所成的角為11．已知圓柱的表面積為定值，當(dāng)圓柱的容積最大時(shí)，圓柱的高的值為（）A.1 B.C. D.212．已知雙曲線，過(guò)其右焦點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，延長(zhǎng)交另一條漸近線于點(diǎn)A.已知為原點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面和兩條不同的直線，則下列判斷中正確的序號(hào)是___________.①若，則；②若，則；③若，則；④若，則；14．螺旋線這個(gè)名詞來(lái)源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個(gè)固定點(diǎn)開(kāi)始向外逐圈旋繞而形成的曲線，如下圖（1）所示.如圖（2）所示陰影部分也是一個(gè)美麗的螺旋線型的圖案，它的畫(huà)法是這樣的：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，取正方形ABCD各邊的四等分點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個(gè)正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點(diǎn)M，N，P，Q，作第3個(gè)正方形MNPQ，依此方法一直繼續(xù)下去，就可以得到陰影部分的圖案.如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形AEH面積為，直角三角形EMQ面積為，后續(xù)各直角三角形面積依次為，…，，若數(shù)列的前n項(xiàng)和恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.15．已知圓錐底面半徑為1，高為，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)____16．不大于100的正整數(shù)中，被3除余1的所有數(shù)的和是___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，點(diǎn)在上，，且（1）求出直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；（不需要證明）（2）過(guò)A點(diǎn)作的垂線，垂足為，是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.18．（12分）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是.（Ⅰ）求拋物線方程；（Ⅱ）設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.19．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求在區(qū)間上的最值.20．（12分）設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，求的取值范圍，并證明：21．（12分）已知函數(shù)(其中為自然對(duì)數(shù)底數(shù))（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，，，.（1）求證：平面平面；（2）若，求異面直線與所成角余弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使二面角大小為?若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】根據(jù)給定條件利用空間向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【題目詳解】因，，又，則，解得，所以實(shí)數(shù).故選：D2、D【解題分析】將將看作一個(gè)二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【題目詳解】將看作一個(gè)二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為，開(kāi)口向下，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，故選：D3、A【解題分析】根據(jù)圓錐和球的體積公式以及半球的體積等于圓錐的體積，即可列式解出【題目詳解】由題意可得，，解得．故選：A4、C【解題分析】由可得出，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，由此可解得實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】若，則，所以，所以，解得.故選：C5、D【解題分析】根據(jù)對(duì)立事件的定義即可得出結(jié)果.【題目詳解】對(duì)立事件是指事件A和事件B必有一件發(fā)生，連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣3次，“至少2次出現(xiàn)正面”即有2次或3次出現(xiàn)正面，對(duì)立事件為0次或1次出現(xiàn)正面，即“有2次或3次出現(xiàn)反面”故選：D6、C【解題分析】首先根據(jù)題設(shè)條件可得，然后利用累加法可得，所以，最后利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【題目詳解】由，得，則，所以，.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查累加法求數(shù)列通項(xiàng)，考查利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬于?？碱}.7、B【解題分析】根據(jù)圓心在軸上，設(shè)出圓的方程，把點(diǎn)，的坐標(biāo)代入圓的方程即可求出答案.【題目詳解】因?yàn)閳A的圓心在軸上，所以設(shè)圓的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)，在圓上，所以，解得，所以圓的方程是.故選：B.8、B【解題分析】可以看作點(diǎn)到直線與直線距離之和的倍，的取值與，無(wú)關(guān)，這個(gè)距離之和與點(diǎn)在圓上的位置無(wú)關(guān)，圓在兩直線內(nèi)部，則，的距離為，則，，對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，r有最大值1，得出結(jié)論；對(duì)于②在r取最大值時(shí)，則點(diǎn)的軌跡是一條平行與，的直線，得出結(jié)論；對(duì)于③當(dāng)時(shí)，則得出結(jié)論.【題目詳解】設(shè)，故可以看作點(diǎn)到直線與直線距離之和的倍，的取值與，無(wú)關(guān)，這個(gè)距離之和與點(diǎn)在圓上的位置無(wú)關(guān)，可知直線平移時(shí)，點(diǎn)與直線，的距離之和均為，的距離，即此時(shí)圓在兩直線內(nèi)部，，的距離為，則，對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，r有最大值1，正確；對(duì)于②在r取最大值時(shí)，則點(diǎn)的軌跡是一條平行與，的直線，正確；對(duì)于③當(dāng)時(shí)，則即，解得或，故錯(cuò)誤.故正確結(jié)論有2個(gè)，故選：B.9、D【解題分析】由雙曲線的漸近線方程結(jié)合已知可得.【題目詳解】雙曲線方程為所以漸近線為，故，解得：.故選：D10、D【解題分析】在正方體中，利用線面關(guān)系逐一判斷即可.【題目詳解】解：對(duì)于A，連接AC，則AC⊥BD，A1C1∥AC，∴A1C1⊥BD，故A正確；對(duì)于B，∵B1C∥D，即B1C與BD所成的角為∠DB，連接△DB為等邊三角形，∴B1C與BD所成的角為60°，故B正確；對(duì)于C，∵BC⊥平面A1ABB1，A1B?平面A1ABB1，∴BC⊥A1B，∵AB⊥BC，平面A1BC∩平面BCD＝BC，A1B?平面A1BC，AB?平面BCD，∴∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣D的平面角，∵△A1AB是等腰直角三角形，∴∠ABA1＝45°，故C正確；對(duì)于D，∵C1C⊥平面ABCD，AC1∩平面ABCD＝A，∴∠C1AC是AC1與平面ABCD所成的角，∵AC≠C1C，∴∠C1AC≠45°，故D錯(cuò)誤故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面的空間位置關(guān)系及空間角，做出圖形分析是關(guān)鍵,考查推理能力與空間想象能力11、B【解題分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側(cè)，則可得，則圓柱的體積為，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值，確定值.【題目詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側(cè)，∴，∴，則圓柱的體積，∴，由得，由得，∴當(dāng)時(shí)，取極大值，也是最大值，即故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了圓柱表面積和體積的計(jì)算，考查了導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).12、C【解題分析】畫(huà)出圖象，結(jié)合漸近線方程得到，，進(jìn)而得到，結(jié)合漸近線的斜率及角度關(guān)系，列出方程，求出，從而求出.【題目詳解】漸近線為，如圖，過(guò)點(diǎn)F作FB垂直于點(diǎn)B，交于點(diǎn)A，則到漸近線距離為，則，又，由勾股定理得：，則，又，，所以，解得：，所以.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②④【解題分析】根據(jù)直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.詳解】若，則或，異面，或，相交，①錯(cuò)誤；若，則，②正確；若，則或或與相交，③錯(cuò)誤；若，則，④正確；故答案為：②④.14、或【解題分析】先求正方形邊長(zhǎng)的規(guī)律，再求三角形面積的規(guī)律，從而就可以求和了，再解不等式即可求解.【題目詳解】由題意，由外到內(nèi)依次各正方形的邊長(zhǎng)分別為，則，，……，，于是數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則.由題意可得：，即……，于是.，故解得或.故答案為：或15、【解題分析】由已知求得母線長(zhǎng)，代入圓錐側(cè)面積公式求解【題目詳解】由已知可得r=1，h=，則圓錐的母線長(zhǎng)l=,∴圓錐的側(cè)面積S=πrl=2π故答案為2π【題目點(diǎn)撥】本題考查圓錐側(cè)面積的求法,側(cè)面積公式S=πrl.16、1717【解題分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求所有數(shù)的和.【題目詳解】100以內(nèi)的正整數(shù)中，被3除余1由小到大構(gòu)成等差數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公差為3，共有項(xiàng)，它們的和為，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）存在，【解題分析】（1）分斜率存在和斜率不存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理列出方程，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行求解；（2）結(jié)合第一問(wèn)的定點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合直角三角形斜邊中線得到存在點(diǎn)，使得為定值，求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，因?yàn)?，所以，即，根?jù)，代入整理可得：，所以，整理化簡(jiǎn)得:，因?yàn)椴辉谥本€上，所以，故，于是的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)【小問(wèn)2詳解】由（1）可知因?yàn)?，取中點(diǎn)，則此時(shí)，【題目點(diǎn)撥】直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，一般處理思路是分斜率存在和斜率不存在兩種情況，特別是斜率存在時(shí)，設(shè)出直線為，聯(lián)立后用韋達(dá)定理得到兩根之和與兩根之積，結(jié)合題干條件得到等量關(guān)系，求出的關(guān)系，進(jìn)而得到定點(diǎn)坐標(biāo).18、（Ⅰ）（Ⅱ）詳見(jiàn)解析【解題分析】（Ⅰ）利用排趨性的準(zhǔn)線方程求出p，即可求解拋物線的方程；（Ⅱ）直線y=k（x-2）（k≠0）與拋物線聯(lián)立，通過(guò)韋達(dá)定理求解直線的斜率關(guān)系即可證明OM⊥ON試題解析：（Ⅰ）解：因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（Ⅱ）證明：設(shè)，.將代入，消去整理得.所以.由，，兩式相乘，得，注意到，異號(hào)，所以.所以直線與直線的斜率之積為，即.考點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程19、（1）（2）最小值為0，最大值為4【解題分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程.（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上的最值.【小問(wèn)1詳解】，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【小問(wèn)2詳解】，所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.20、（1）答案見(jiàn)詳解（2），證明見(jiàn)解析【解題分析】（1）求導(dǎo)得，，分類討論參數(shù)a的范圍即可判斷單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，，聯(lián)立整理得，構(gòu)造得，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而得證.小問(wèn)1詳解】由，，可得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；【小問(wèn)2詳解】證明：因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，由（1）得，此時(shí)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，有極小值.所以，可得,所以.由（1）可得的極小值點(diǎn)為，則不妨設(shè).設(shè)，，則則，即，整理得，所以，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.21、（1）答案見(jiàn)解析（2）【解題分析】（1），進(jìn)而分，，三種情況討論求解即可；（2）由題意知在上恒成立，故令，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，注意到使，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)隱零點(diǎn)求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：①，在上單調(diào)增；②，令，單調(diào)減單調(diào)增；③，單調(diào)增單調(diào)減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】解：由題意知在上恒成立，令，，單調(diào)遞增∵，∴使得，即單調(diào)遞減；單調(diào)遞增，令，則在上單調(diào)增，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是22、（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）存在，點(diǎn)在線段上位于靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)處.【解題分析】（1）證明平面，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得異面直線與所成角的余弦值；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)