電磁感應(yīng)定律和麥克斯韋方程組

電磁感應(yīng)定律和麥克斯韋方程組1第一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.5.1電磁感應(yīng)定律1881年法拉第發(fā)現(xiàn)，當(dāng)穿過(guò)導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中就會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電流和電動(dòng)勢(shì)，且感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與磁通量的變化有密切關(guān)系，由此總結(jié)出了著名的法拉第電磁感應(yīng)定律。負(fù)號(hào)表示感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)總是阻止磁通量的變化。1.法拉第電磁感應(yīng)定律的表述

當(dāng)通過(guò)導(dǎo)體回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小等于磁通量的時(shí)間變化率的負(fù)值，方向是要阻止回路中磁通量的改變，即2第二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一

設(shè)任意導(dǎo)體回路C圍成的曲面為S，其單位法向矢量為，則穿過(guò)回路的磁通為

ner

B

CS

dlrr導(dǎo)體回路中有感應(yīng)電流，表明回路中存在感應(yīng)電場(chǎng)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可表示為因而有3第三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一感應(yīng)電場(chǎng)是由變化的磁場(chǎng)所激發(fā)的電場(chǎng)。感應(yīng)電場(chǎng)是有旋場(chǎng)。

感應(yīng)電場(chǎng)不僅存在于導(dǎo)體回路中，也存在于導(dǎo)體回路之外的空間。對(duì)空間中的任意回路（不一定是導(dǎo)體回路）C，都有

對(duì)感應(yīng)電場(chǎng)的討論：

若空間同時(shí)存在由電荷產(chǎn)生的電場(chǎng),則總電場(chǎng)應(yīng)為與之和，即。由于，故有推廣的法拉第電磁感應(yīng)定律4第四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一相應(yīng)的微分形式為(1)回路不變，磁場(chǎng)隨時(shí)間變化2.引起回路中磁通變化的幾種情況磁通量的變化由磁場(chǎng)隨時(shí)間變化引起，因此有(2)

導(dǎo)體回路在恒定磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)(3)回路在時(shí)變磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)5第五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一（1），矩形回路靜止；xbaoyx均勻磁場(chǎng)中的矩形環(huán)L（3），且矩形回路上的可滑動(dòng)導(dǎo)體L以勻速運(yùn)動(dòng)。

解：(1)均勻磁場(chǎng)

隨時(shí)間作簡(jiǎn)諧變化，而回路靜止，因而回路內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是由磁場(chǎng)變化產(chǎn)生的，故

例2.5.1長(zhǎng)為a、寬為b的矩形環(huán)中有均勻磁場(chǎng)

垂直穿過(guò)，如圖所示。在以下三種情況下，求矩形環(huán)內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。（2），矩形回路的寬邊b=常數(shù)，但其長(zhǎng)邊因可滑動(dòng)導(dǎo)體L以勻速運(yùn)動(dòng)而隨時(shí)間增大；6第六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一(3)矩形回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是由磁場(chǎng)變化以及可滑動(dòng)導(dǎo)體L在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，故得(2)均勻磁場(chǎng)

為恒定磁場(chǎng)，而回路上的可滑動(dòng)導(dǎo)體以勻速運(yùn)動(dòng)，因而回路內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)全部是由導(dǎo)體L在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，故得或7第七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一（1）線圈靜止時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；

解:（1）線圈靜止時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是由時(shí)變磁場(chǎng)引起，故（2）線圈以角速度ω繞x

軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。例2.5.2在時(shí)變磁場(chǎng)中，放置有一個(gè)的矩形線圈。初始時(shí)刻，線圈平面的法向單位矢量與成α角，如圖所示。試求：xyzabB時(shí)變磁場(chǎng)中的矩形線圈8第八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一假定時(shí)，則在時(shí)刻t時(shí)，與y

軸的夾角，故

方法一：利用式計(jì)算（2）線圈繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，的指向?qū)㈦S時(shí)間變化。線圈內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可以用兩種方法計(jì)算。9第九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一上式右端第一項(xiàng)與(1)相同，第二項(xiàng)xyzabB時(shí)變磁場(chǎng)中的矩形線圈12234

方法二：利用式計(jì)算。10第十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一在時(shí)變情況下，安培環(huán)路定理是否要發(fā)生變化？有什么變化？即問(wèn)題：隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)要產(chǎn)生電場(chǎng)，那么隨時(shí)間變化的電場(chǎng)是否會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)？2.5.2位移電流靜態(tài)情況下的電場(chǎng)基本方程在非靜態(tài)時(shí)發(fā)生了變化，即這不僅是方程形式的變化，而是一個(gè)本質(zhì)的變化，其中包含了重要的物理事實(shí)，即時(shí)變磁場(chǎng)可以激發(fā)電場(chǎng)。（恒定磁場(chǎng)）（時(shí)變場(chǎng)）11第十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一1.全電流定律而由非時(shí)變情況下，電荷分布隨時(shí)間變化，由電流連續(xù)性方程有

發(fā)生矛盾在時(shí)變的情況下不適用

解決辦法：對(duì)安培環(huán)路定理進(jìn)行修正由將修正為：矛盾解決時(shí)變電場(chǎng)會(huì)激發(fā)磁場(chǎng)12第十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一全電流定律：——

微分形式——

積分形式

全電流定律揭示不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場(chǎng)，變化的電場(chǎng)也可以激發(fā)磁場(chǎng)。它與變化的磁場(chǎng)激發(fā)電場(chǎng)形成自然界的一個(gè)對(duì)偶關(guān)系。13第十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.位移電流密度電位移矢量隨時(shí)間的變化率，能像電流一樣產(chǎn)生磁場(chǎng)，故稱(chēng)“位移電流”。注：在絕緣介質(zhì)中，無(wú)傳導(dǎo)電流，但有位移電流。在理想導(dǎo)體中，無(wú)位移電流，但有傳導(dǎo)電流。在一般介質(zhì)中，既有傳導(dǎo)電流，又有位移電流。位移電流只表示電場(chǎng)的變化率，與傳導(dǎo)電流不同，它不產(chǎn)生熱效應(yīng)。位移電流的引入是建立麥克斯韋方程組的至關(guān)重要的一步，它揭示了時(shí)變電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)這一重要的物理概念。14第十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一

例2.5.3

海水的電導(dǎo)率為4S/m，相對(duì)介電常數(shù)為81，求頻率為1MHz時(shí)，位移電流振幅與傳導(dǎo)電流振幅的比值。

解：設(shè)電場(chǎng)隨時(shí)間作正弦變化，表示為則位移電流密度為其振幅值為傳導(dǎo)電流的振幅值為故15第十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一式中的k為常數(shù)。試求：位移電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度。

例2.5.4自由空間的磁場(chǎng)強(qiáng)度為

解

自由空間的傳導(dǎo)電流密度為0，故由式,得16第十六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一

例2.5.5銅的電導(dǎo)率、相對(duì)介電常數(shù)。設(shè)銅中的傳導(dǎo)電流密度為。試證明：在無(wú)線電頻率范圍內(nèi)，銅中的位移電流與傳導(dǎo)電流相比是可以忽略的。而傳導(dǎo)電流密度的振幅值為通常所說(shuō)的無(wú)線電頻率是指f=300MHz以下的頻率范圍，即使擴(kuò)展到極高頻段（f=30～300GHz），從上面的關(guān)系式看出比值Jdm/Jm也是很小的，故可忽略銅中的位移電流。解：銅中存在時(shí)變電磁場(chǎng)時(shí)，位移電流密度為位移電流密度的振幅值為17第十七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.6.1麥克斯韋方程組的積分形式18第十八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.6.2麥克斯韋方程組的微分形式麥克斯韋第一方程，表明傳導(dǎo)電流和變化的電場(chǎng)都能產(chǎn)生磁場(chǎng)麥克斯韋第二方程，表明變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)麥克斯韋第三方程表明磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)，磁感線總是閉合曲線麥克斯韋第四方程，表明電荷產(chǎn)生電場(chǎng)19第十九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.6.3媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

代入麥克斯韋方程組中，有限定形式的麥克斯韋方程（均勻媒質(zhì)）各向同性線性媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系為20第二十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一時(shí)變電場(chǎng)的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場(chǎng)；而時(shí)變磁場(chǎng)的激發(fā)源除了傳導(dǎo)電流以外，還有變化的電場(chǎng)。電場(chǎng)和磁場(chǎng)互為激發(fā)源，相互激發(fā)。時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)不再相互獨(dú)立，而是相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成一個(gè)整體——電磁場(chǎng)。電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別是電磁場(chǎng)的兩個(gè)分量。在離開(kāi)輻射源（如天線）的無(wú)源空間中，電荷密度和電流密度矢量為零，電場(chǎng)和磁場(chǎng)仍然可以相互激發(fā)，從而在空間形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波。21第二十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一在無(wú)源空間中，兩個(gè)旋度方程分別為可以看到兩個(gè)方程的右邊相差一個(gè)負(fù)號(hào)，而正是這個(gè)負(fù)號(hào)使得電場(chǎng)和磁場(chǎng)構(gòu)成一個(gè)相互激勵(lì)又相互制約的關(guān)系。當(dāng)磁場(chǎng)減小時(shí)，電場(chǎng)的旋渦源為正，電場(chǎng)將增大；而當(dāng)電場(chǎng)增大時(shí)，使磁場(chǎng)增大，磁場(chǎng)增大反過(guò)來(lái)又使電場(chǎng)減小。22第二十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一麥克斯韋方程組時(shí)變場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)緩變場(chǎng)迅變場(chǎng)電磁場(chǎng)(EM)準(zhǔn)靜電場(chǎng)(EQS)準(zhǔn)靜磁場(chǎng)(MQS)靜磁場(chǎng)(MS)小結(jié)：麥克斯韋方程適用范圍：一切宏觀電磁現(xiàn)象。靜電場(chǎng)(ES)恒定電場(chǎng)(SS)23第二十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一

解：(1)導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流為忽略邊緣效應(yīng)時(shí)，間距為d

的兩平行板之間的電場(chǎng)為E=u/d

，則

例2.6.1正弦交流電壓源連接到平行板電容器的兩個(gè)極板上，如圖所示。(1)證明電容器兩極板間的位移電流與連接導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流相等；(2)求導(dǎo)線附近距離連接導(dǎo)線為r

處的磁場(chǎng)強(qiáng)度。CPricu平行板電容器與交流電壓源相接24第二十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一與閉合線鉸鏈的只有導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流，故得(2)以r

為半徑作閉合曲線C，由于連接導(dǎo)線本身的軸對(duì)稱(chēng)性，使得沿閉合線的磁場(chǎng)相等，故式中的S0為極板的面積，而為平行板電容器的電容。則極板間的位移電流為25第二十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一

例2.6.2在無(wú)源的電介質(zhì)中，若已知電場(chǎng)強(qiáng)度矢量，式中的E0為振幅、ω為角