直線系、圓系方程

直線系、圓系方程1、過定點直線系方程在解題中的應用過定點（，）的直線系方程：（A,B不同時為0）.例1求過點圓的切線的方程．分析：本題是過定點直線方程問題，可用定點直線系法.解析：設所求直線的方程為（其中不全為零），則整理有，∵直線l與圓相切，∴圓心到直線l的距離等于半徑1，故，整理，得，即（這時），或．故所求直線l的方程為或．點評：對求過定點（，）的直線方程問題，常用過定點直線法，即設直線方程為:，注意的此方程表示的是過點的所有直線（即直線系），應用這種直線方程可以不受直線的斜率、截距等因素的限制，在實際解答問題時可以避免分類討論，有效地防止解題出現(xiàn)漏解或錯解的現(xiàn)象．練習：過點作圓的切線l，求切線l的方程．解：設所求直線l的方程為（其中不全為零），則整理有，∵直線l與圓相切，∴圓心到直線l的距離等于半徑1，故，整理，得，即（這時），或．故所求直線l的方程為或．2、過兩直線交點的直線系方程在解題中的應用過直線：（不同時為0）與：（不同時為0）交點的直線系方程為：（，為參數(shù)）.例2求過直線：與直線：的交點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程.分析：本題是過兩直線交點的直線系問題，可用過交點直線系求解.解析：設所求直線方程為：，當直線過原點時，則=0，則=－1，此時所求直線方程為：；當所求直線不過原點時，令=0，解得=，令=0，解得=，由題意得，=，解得，此時，所求直線方程為：.綜上所述，所求直線方程為：或.3、求直線系方程過定點問題例3證明：直線(是參數(shù)且∈R)過定點，并求出定點坐標.分析：本題是證明直線系過定點問題，可用恒等式法和特殊直線法.解析：（恒等式法）直線方程化為:,∵∈R,∴，解得，，，∴直線(是參數(shù)且∈R)過定點（1,1）.（特殊直線法）取=0，=1得，，，聯(lián)立解得，，，將（1,1）代入檢驗滿足方程，∴直線(是參數(shù)且∈R)過定點（1,1）.點評：對證明直線系過定點問題，常用方法有恒等式法和特殊直線法，恒等式法就是將直線方程化為關(guān)于參數(shù)的恒等式形式，利用參數(shù)屬于R，則恒等式個系數(shù)為0，列出關(guān)于的方程組，通過解方程組，求出定點坐標;特殊直線法，去兩個特殊參數(shù)值，得到兩條特殊直線，通過接著兩條特殊直線的交點坐標，并代入原直線系方程檢驗，即得定點.一、常見的圓系方程有如下幾種：1、以為圓心的同心圓系方程：與圓＋＋＋Ｆ＝０同心的圓系方程為：＋＋＋＝０2、過直線＋＋Ｃ＝０與圓＋＋＋Ｆ＝０交點的圓系方程為：＋＋＋Ｆ＋（＋＋Ｃ）＝０（Ｒ）3、過兩圓:＋＝0，:＋＝０交點的圓系方程為：＋＋（＋）＝0（≠-１，此圓系不含:＋＝０）解：圓系方程可化為：＋10＋20＋（2＋4＋10）＝０∵與無關(guān)∴即易知圓心（０，-５）到直線＋2＋5＝０的距離恰等于圓＝５的半徑．故直線＋2＋5＝０與圓＝５相切，即上述方程組有且只有一個解，從而圓系方程所表示的任意兩個圓有且只有一個公共點，故它們的關(guān)系是外切或內(nèi)切．總結(jié)：在求解過直線與圓，圓與圓交點的圓有關(guān)問題時，若能巧妙使用圓系方程，往往能優(yōu)化解題過程，減少運算量，收到事半功倍的效果。練習：一、巧用過兩圓交點的曲線系方程求圓方程例1求過圓：+++1=0與圓：++=0的交點，圓心在直線：的圓的方程.分析：本題是求過兩圓的交點的圓的方程問題，用過兩圓的交點的圓系方程求解.解析：設所求圓的方程為：+++1+++)=0(≠).整理得=0，所以所求圓的圓心為，由已知知所求圓的圓心在直線：上，所以＝0，解得，=，代入圓系方程整理得，所以，所求圓的方程為.點評：對過兩圓交點的圓的問題，用過兩圓的交點的圓系方程求解，可以優(yōu)化解題過程，注意過交點的圓系方程表示的圓包括哪一個圓不包括那一個圓，且參數(shù)不等于這一條件，同學們應很好掌握這一方法.二、巧用過兩圓交點的曲線系方程求直線方程例2已知圓O：和圓外一點A（3，4），過點A作圓O的切線，切點分別為C、D，求過切點C、D的直線方程.分析：本題是求過切點的直線方程，由切線性質(zhì)知，切點在以線段AO為直徑的圓上，故直線CD是以線段AO為直徑的圓與圓O的公共弦所在的直線方程，故可用過兩圓交點的曲線系方程求此直線方程.解析：由切線性質(zhì)知，切點C、D在以線段AO為直徑的圓上，由題知，O(1,)，∴|AO|==，線段AO的中點為（2，1），∴以線段AO為直徑的圓的方程為，，即，圓O的方程與以AO為直徑的圓的方程相減整理得：++3=0，∴直線CD的方程為++3=0.點評：對過圓切點的直線方程問題，可通過構(gòu)造圓，利用過兩圓交點的曲線系方程求直線方程，注意過兩圓交點的曲線系方程參數(shù)為何值時表示圓，參數(shù)為何值時表示直線.例如：求與圓x2+y2－4x－2y－20=0切于A(―1,―3)，且過B(2,0)的圓的方程。解：過A(―1,―3)的圓的切線為：3x+4y+15=0與已知圓構(gòu)造圓系：x2+y2－4x－2y－20+(3x+4y+15)=0∵曲線過B(2,0)∴=∴所求的方程為：7x2+7y2－4x+18y－20=0例2平面上有兩個圓，它們的方程分別是x2+y2=16和x2+y2－6x+8y+24=0，求這兩個圓的內(nèi)公切線方程。分析：由x2+y2－6x+8y+24=0(x－3)2+(y+4)2=1,顯然這兩圓的關(guān)系是外切。解：∵x2+y2－6x+8y+24=0(x－3)2+(y+4)2=1∴這兩圓是外切∴(x2+y2－6x+8y+24)－(x2