高中數(shù)學-2.3.2　等比數(shù)列的前n項和教學設計學情分析教材分析課后反思

2.3.2等比數(shù)列前n項和（一）高二數(shù)學人教B版教材（必修五）一、教材分析《等比數(shù)列的前n項和》是數(shù)列這一章中的一個重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實生活中有著廣泛的實際應用，如儲蓄、分期付款的有關計算等等，而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數(shù)學素養(yǎng)．從學生的思維特點看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導．不利因素是：本節(jié)公式的推導與等差數(shù)列前n項和公式的推導有著本質(zhì)的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對于q=1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯．教師教學用書安排“等比數(shù)列的前n項和”這部分內(nèi)容授課時間2課時，本節(jié)課作為第一課時，重在研究等比數(shù)列的前n項和公式的推導及簡單應用，教學中注重公式的形成推導過程并充分揭示公式的結構特征和內(nèi)在聯(lián)系.二、教學目標依據(jù)課程標準，結合學生的認知水平和年齡特點，確定本節(jié)課的教學目標如下：1.知識與技能：牢固掌握等比數(shù)列的前項和公式及推導過程，在此基礎上能初步應用推導方法解決與之有關的問題。2.過程與方法: 通過對公式推導方法的探索與發(fā)現(xiàn)，向?qū)W生滲透類比與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學思想，培養(yǎng)學生觀察、比較、抽象概括等邏輯思維能力。3.情感態(tài)度價值觀：通過對公式推導方法的探索與發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化學生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)化簡的能力。三、教學重點難點等比數(shù)列的前項和公式的推導及其簡單應用．從教材體系來看，它為后繼學習提供了知識基礎，具有承上啟下的作用；從知識特點而言，蘊涵豐富的思想方法；就能力培養(yǎng)來看，通過公式推導教學可培養(yǎng)學生的運用數(shù)學語言交流表達的能力.突出重點方法：“抓三線、突重點”，即(一)知識技能線：問題情境→公式推導→公式運用；（二）過程與方法線:特殊到一般、猜想歸納→錯位相減法等→轉(zhuǎn)化、方程思想；（三）能力線：觀察能力→數(shù)學思想解決問題能力→靈活運用能力及嚴謹態(tài)度.教學難點：等比數(shù)列的前項和公式的推導．從學生認知水平來看，學生的探究能力和用數(shù)學語言交流的能力還有待提高.從知識本身特點來看，等比數(shù)列前n項和公式的推導方法和等差數(shù)列的的前n項和公式的推導方法可比性低，無法用類比的方法進行，它需要對等比數(shù)列的概念和性質(zhì)能充分理解并融會貫通，而知識的整合對學生來說恰又是比較困難的，而且錯位相減法是第一次碰到，對學生來說是個新鮮事物.突破難點手段：“抓兩點，破難點”,即一抓學生情感和思維的興奮點，激發(fā)他們的興趣，鼓勵學生大膽猜想、積極探索，及時地給以鼓勵，使他們知難而進；二抓知識選擇的切入點，從學生原有的認知水平和所需的知識特點入手，教師在學生主體下給予適當?shù)奶崾竞椭笇?四、教學方法采用啟發(fā)和探究-建構教學相結合的教學模式.五、教學手段多媒體輔助教學六、教學過程學生是認知的主體，設計教學過程必須遵循學生的認知規(guī)律，盡可能地讓學生去經(jīng)歷知識的形成與發(fā)展過程，結合本節(jié)課的特點，我設計了如下的教學過程：1、[情境導學]一個窮人到一個富人家里去借錢，原以為富人不愿意，哪知富人一口答應了，但提出了如下條件：在30天中，富人第一天借給窮人1萬元，第二天借給2萬元，以后每天借的錢數(shù)都比前一天多1萬，但借錢的第一天窮人還1分，第二天還2分，以后每天還的錢數(shù)都是前一天的兩倍，30天后互不相欠。窮人聽后覺得很劃算，但轉(zhuǎn)念一想，富人是吝嗇出了名的，怕上當受騙，所以很為難，請在坐的同學思考討論一下，窮人能否向富人借錢？設計意圖：設計這個情境目的是在引入課題的同時激發(fā)學生的興趣，調(diào)動學習的積極性．故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課的主題與重點．等比數(shù)列前n項和求和公式的推導2.師生互動，探究問題學生自主探究：探討1：設，記為（1）式，注意觀察每一項的特征，有何聯(lián)系？（學生會發(fā)現(xiàn)，后一項都是前一項的2倍）探討2：如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，（1）式兩邊同乘以2則有，記為（2）式．比較（1）(2）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？經(jīng)過比較、研究，學生發(fā)現(xiàn)：（1）、（2）兩式有許多相同的項，把兩式相減，相同的項就消去了，得到：．老師指出：這就是錯位相減法，并要求學生縱觀全過程，反思：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？設計意圖：經(jīng)過繁難的計算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了！讓學生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強學習數(shù)學的興趣和學好數(shù)學的信心．②解決情境問題③師生共同探討即一般等比數(shù)列前n項和：錯位相減法：設計意圖：從特殊到一般,從模仿到創(chuàng)新，有利于學生的知識遷移和能力提高．3、例題講解，形成技能題型一等比數(shù)列前n項和基本量的運算例1在等比數(shù)列中，已知設計意圖：采用這組題，深化學生對公式的認識和理解，通過直接套用公式、變式運用公式、研究公式特點這三個層次的問題解決，促進學生新的數(shù)學認知結構的形成．通過以上形式，讓全體學生都參與教學，以此培養(yǎng)學生的參與意識和競爭意識．設計意圖：采用變式題組，深化學生對公式的認識和理解，通過變式運用公式、研究公式特點使問題得到解決，促進學生新的數(shù)學認知結構的形成．思考題：設計意圖：解題時，以學生分析為主，教師適時給予點撥，該題有意培養(yǎng)學生對含有參數(shù)的問題進行分類討論的數(shù)學思想．題型二、利用整體代換求解設計意圖：采用這組題，深化學生對公式的認識和理解，通過對公式的整體應用來解決問題，促進學生對整體求解在等比數(shù)列求和中的數(shù)學認知結構的形成．通過以上形式，培養(yǎng)學生的整體求解的數(shù)學思想。設計意圖：采用變式題組，深化學生對公式的認識和理解，通過對公式的整體應用來解決問題，通過以上形式，培養(yǎng)學生的整體求解的數(shù)學思想。4、演練反饋1、在等比數(shù)列中，前n項和為，若，則公比的值為()A、2B、－2C、3D、－32、在等比數(shù)列中，，則的前4項和為()A、81B、120C、168D、1923、各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為Sn，若S10=2,S30=14,則S40等于（）A．80

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D．164、設數(shù)列為等比數(shù)列，則滿足（），求數(shù)列的通項公式與前n項和.5.總結歸納，加深理解以問題的形式出現(xiàn)，引導學生回顧公式、推導方法，鼓勵學生積極回答，然后老師再從知識點及數(shù)學思想方法兩方面總結．設計意圖：以此培養(yǎng)學生的口頭表達能力，歸納概括能力．6.課后作業(yè)，分層練習必做：P52習題2.3.5.8選做：思考題（1）求和（2）“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”這首中國古詩的答案是多少？設計意圖：出選做題的目的是注意分層教學和因材施教，讓學有余力的學生有思考的空間．七、教學設計說明1．情境設置生活化.本著新課程的教學理念，考慮到高一學生的心理特點以及初、高中教學的銜接，讓學生學生初步了解“數(shù)學來源于生活”，采用動漫故事的形式創(chuàng)設問題情景，意在營造和諧、積極的學習氣氛，激發(fā)學生的探究欲.2．問題探究活動化．教學中本著以學生發(fā)展為本的理念，充分給學生想的時間、說的機會以及展示思維過程的舞臺，通過他們自主學習、合作探究,展示學生解決問題的思想方法，共享學習成果，體驗數(shù)學學習成功的喜悅.通過師生之間不斷合作和交流，發(fā)展學生的數(shù)學觀察能力和語言表達能力，培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性和嚴謹性.3．辨析質(zhì)疑結構化．在理解公式的基礎上,及時進行正反兩方面的“短、平、快”填空和判斷是非練習.通過總結、辨析和反思，強化了公式的結構特征，促進學生主動建構，有助于學生形成知識模塊，優(yōu)化知識體系.4．鞏固提高梯度化．例1突出表現(xiàn)五個基本量“知三求二”的關系，通過公式的正用和逆用進一步提高學生運用知識的能力并進行適當?shù)淖兪?可以提高學生的模式識別的能力，培養(yǎng)學生思維的深刻性和靈活性.例2培養(yǎng)學生整體求解的的數(shù)學思想．5．思路拓廣數(shù)學化．從整理知識提升到強化方法，由課內(nèi)鞏固延伸到課外思考，變“知識本位”為“學生本位”，使數(shù)學學習成為提高學生素質(zhì)的有效途徑.以生活中的實例作為思考，讓學生認識到數(shù)學來源于生活并應用于生活，生活中處處有數(shù)學．6．作業(yè)布置彈性化．通過布置彈性作業(yè)，為學有余力的學生提供進一步發(fā)展的空間．介紹古詩，有利于豐富學生的知識，拓展學生的視野，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)． 附：本節(jié)課學案2.3.2等比數(shù)列前n項和（一）高二數(shù)學一、學習目標：1.知識與技能：牢固掌握等比數(shù)列的前項和公式及推導過程，在此基礎上能初步應用推導方法解決與之有關的問題。2.過程與方法: 通過對公式推導方法的探索與發(fā)現(xiàn)，向?qū)W生滲透類比與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學思想，培養(yǎng)學生觀察、比較、抽象概括等邏輯思維能力。3.情感態(tài)度價值觀：通過對公式推導方法的探索與發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化學生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)化簡的能力。二、教學重點難點本節(jié)課的重點是等比數(shù)列前n項和求和公式及公式的推導。難點是等比數(shù)列前n項和求和公式的推導。三、[情境導學]一個窮人到一個富人家里去借錢，原以為富人不愿意，哪知富人一口答應了，但提出了如下條件：在30天中，富人第一天借給窮人1萬元，第二天借給2萬元，以后每天借的錢數(shù)都比前一天多1萬，但借錢的第一天窮人還1分，第二天還2分，以后每天還的錢數(shù)都是前一天的兩倍，30天后互不相欠。窮人聽后覺得很劃算，但轉(zhuǎn)念一想，富人是吝嗇出了名的，怕上當受騙，所以很為難，請在坐的同學思考討論一下，窮人能否向富人借錢？等比數(shù)列前n項和求和公式的推導四、例題講解，形成技能題型一等比數(shù)列前n項和基本量的運算例1在等比數(shù)列中，（1）已知思考題：題型二、利用整體代換求解五、演練反饋1、在等比數(shù)列中，前n項和為，若，則公比的值為()A、2B、－2C、3D、－32、在等比數(shù)列中，，則的前4項和為()A、81B、120C、168D、1923、各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為Sn，若S10=2,S30=14,則S40等于（）A．80

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D．164、設數(shù)列為等比數(shù)列，則滿足（），求數(shù)列的通項公式與前n項和.六、課堂反思收獲七、課后作業(yè)1、課本52頁2,3,5,8；2、活頁《等比數(shù)列求和》。學情分析就學生而言，等差、等比數(shù)列的定義和通項公式，等差數(shù)列的前ｎ項和的公式是學生在學習之前已經(jīng)具備的知識基礎。學生具體研究學習了等差數(shù)列前n項和公式的推導方法，具備了一定的探究能力?；诖?，學生會產(chǎn)生思考，等比數(shù)列前n項和公式應該如何推導，公式是從什么新的角度建構？其重要性和普遍性體現(xiàn)在哪里？應該說學生從內(nèi)心來講，有想探究等比數(shù)列前n項和公式的欲望和驅(qū)動力。從學生的思維特點看，很容易把本節(jié)課內(nèi)容和《等差數(shù)列前n項和》從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導。不利因素是：本節(jié)公式的推導與等差數(shù)列前n項和公式的推導有本質(zhì)的區(qū)別，這對學生的思維是一個突破。另外對于公比為1的特殊情況學生容易忽視。效果分析充分調(diào)動了學生積極性，能夠積極思考，積極回答問題，積極探究新知識能夠正確運用等比數(shù)列前n項和解決有關問題。在獲得知識的基礎上提高了分析問題解決問題的能力。提高了了學生的學習能力，提升了學生數(shù)學素養(yǎng)。教材分析:

等比數(shù)列的前n項和是“等差數(shù)列的前n項和”與“等比數(shù)列”內(nèi)容的延續(xù)、是進一步學習數(shù)列知識和解決一類求和問題的重要基礎和有力工具。它不僅在現(xiàn)實生活中有著廣泛的實際應用，如儲蓄、分期付款的有關計算等等，而且公式推導過程中所蘊涵的類比、分類討論、方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數(shù)學素養(yǎng)。

測評練習1、在等比數(shù)列中，前n項和為，若，則公比的值為()A、2B、－2C、3D、－32、在等比數(shù)列中，，則的前4項和為()A、81B、120C、168D、1923、各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為Sn，若S10=2,S30=14,則S40等于（）A．80

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D．164、設數(shù)列為等比數(shù)列，則滿足（），求數(shù)列的通項公式與前n項和.《等比數(shù)列的前n項和（一）》課后反思本節(jié)課是《等比數(shù)列的前n項和》的第一課時，學生在學習了等比數(shù)列的概念、等差與等比數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的前n項和公式前提下學習的，對于本節(jié)課所需的知識點和探究方法都有了一定的儲備。這節(jié)課我充分利用情境引入，激發(fā)學生興趣，順利導入本節(jié)課的內(nèi)容。本節(jié)課我用心準備、精心設計、潛心專研,是我上好這節(jié)課的前提。在教學過程中,我充分體現(xiàn)了教學目標,抓住了教學重點,解決了教學難點,更重要的是,全班學生心、神、情、與我深度融合。這節(jié)課的內(nèi)容是“等差數(shù)列的前n項和”與“等比數(shù)列”內(nèi)容的延續(xù),為學生后面學綜合數(shù)列的求和做了鋪墊,重點是推導等比數(shù)列的前n項和的公式以及公式的簡單應用,難點是用錯位相減法推導等比數(shù)列的前n項和公式以及公式應用中對q與1的討論。本節(jié)課我注重從“知識傳授”的傳統(tǒng)模式轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙詫W生為主體”的參與模式，注重數(shù)學思想方法的滲透和良好的思維品質(zhì)的養(yǎng)成，注重學生創(chuàng)造精神和實踐能力的培養(yǎng)，這在一定的程度上，激活了學生的思維，但對教師的挑戰(zhàn)也是不言而喻的，不僅要透徹理解教材的意圖，還要有寬厚的知識積累和深厚的自學功底。我對教材的處理如下：首先通過講解窮人向富人借錢典故，將學生帶入了求窮人還的總錢數(shù)的數(shù)學思考之中。而學生通過自己的計算結果給予了心靈的震撼，然后引導學生分析數(shù)學現(xiàn)象，提出自己的問題，并進一步探究問題的解決方法，得出等比數(shù)列前n項和公式，最后是對求和公式的簡單應用。所以讓學生經(jīng)歷等比數(shù)列前n項和公式的推導過程成了本節(jié)課的重點與難點，在改善學生的學習方式上，是讓學生