2022-2023學(xué)年福建省福州市市第二十四中學(xué)高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2022-2023學(xué)年福建省福州市市第二十四中學(xué)高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=，若關(guān)于x的方程f（x）=k有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，0）參考答案：A【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】令y=k，畫(huà)出函數(shù)y=f（x）和y=k的圖象，通過(guò)圖象觀察即可得到所求k的范圍．【解答】解：畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象（紅色曲線），如圖所示：令y=k，由圖象可以讀出：﹣1＜k＜0時(shí)，y=k和y=f（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）=k有三個(gè)不同的實(shí)根，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查根的存在性問(wèn)題，滲透了函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．2.已知弧度數(shù)為2的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)也是2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是

()A．2

B．

C．

D．參考答案：B3.將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略4.若函數(shù)的最大值為，最小值為，則等于（

）

（A）（B）（C）（D）參考答案：B5.若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，則下列說(shuō)法一定正確的是（）A．f（x）為奇函數(shù) B．f（x）為偶函數(shù) C．f（x）+1為奇函數(shù) D．f（x）+1為偶函數(shù)參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷．【分析】對(duì)任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四個(gè)選項(xiàng)，本題要研究函數(shù)的奇偶性，故對(duì)所給的x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1進(jìn)行賦值研究即可【解答】解：∵對(duì)任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f（0）=﹣1∴令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1，∴f（x）+1=﹣f（﹣x）﹣1=﹣[f（﹣x）+1]，∴f（x）+1為奇函數(shù)．故選C6.已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B的一部分圖象如圖所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，則（）A．A=4 B．ω=1 C．φ= D．B=4參考答案：C【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】先根據(jù)函數(shù)的最大值和最小值求得A和B，然后利用圖象中﹣求得函數(shù)的周期，求得ω，最后根據(jù)x=時(shí)取最大值，求得φ．【解答】解：如圖根據(jù)函數(shù)的最大值和最小值得求得A=2，B=2函數(shù)的周期為（﹣）×4=π，即π=，ω=2當(dāng)x=時(shí)取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用和圖象觀察能力．7.函數(shù)的圖像必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

）A.(0,1)

B.(2,1)

C.(3,1)

D.(3,2)參考答案：D略8.已知，則角的終邊所在的象限為（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：D由可知：則的終邊所在的象限為第四象限故選9.如圖，四棱錐P-ABCD，，M是PC的中點(diǎn)，直線AM交平面PBD于點(diǎn)N，則下列結(jié)論正確的是（

）A.O，N，P，M四點(diǎn)不共面 B.

O，N，M，D四點(diǎn)共面C.O，N，M三點(diǎn)共線 D.

P，N，O三點(diǎn)共線參考答案：D【分析】根據(jù)公理一、二、三逐一排除即可。【詳解】直線與直線交于點(diǎn)，所以平面與平面交于點(diǎn)O，所以必相交于直線，直線在平面內(nèi)，點(diǎn)故面，故四點(diǎn)共面，所以A錯(cuò)。點(diǎn)若與共面，則直線在平面內(nèi)，與題目矛盾，故B錯(cuò)。為中點(diǎn)，所以，，故，故C錯(cuò)。故選D。【點(diǎn)睛】本題屬于中檔題，考查公理一、二、三的應(yīng)用，學(xué)生不易掌握，屬于易錯(cuò)題。10.在下列各圖中，每個(gè)圖的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的圖是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（2）（3）參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)二次函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都存在，使得，則的最大值是

．參考答案：12.設(shè)x、y∈R+且=1，則x+y的最小值為．參考答案：16【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】將x、y∈R+且=1，代入x+y=（x+y）?（），展開(kāi)后應(yīng)用基本不等式即可．【解答】解：∵=1，x、y∈R+，∴x+y=（x+y）?（）==10+≥10+2=16（當(dāng)且僅當(dāng)，x=4，y=12時(shí)取“=”）．故答案為：16．13.已知在△ABC和點(diǎn)滿足，若存在實(shí)數(shù)使得成立，則_________.參考答案：3因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以點(diǎn)是△ABC的重心，因?yàn)橹匦牡巾旤c(diǎn)的距離與到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的比是，所以14.若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，又f（4）=0，則＜0的解集

．參考答案：（﹣4，0）∪（4，+∞）【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解即可．【解答】解：若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則不等式＜0等價(jià)為=＜0，即xf（x）＜0，∵f（x）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，f（4）=0，∴函數(shù)f（x）對(duì)應(yīng)的圖象為：則不等式等價(jià)為x＞0時(shí)，f（x）＜0，此時(shí)x＞4，x＜0時(shí)，f（x）＞0，此時(shí)0＜x＜4，綜上不等式的解集為（﹣4，0）∪（4，+∞），故答案為：（﹣4，0）∪（4，+∞）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的求解，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．15.如圖，在2×3的矩形方格紙上，各個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形共有__________個(gè)．參考答案：見(jiàn)解析直角邊長(zhǎng)為時(shí)，個(gè)，直角邊長(zhǎng)為時(shí)，個(gè)，直角邊長(zhǎng)為時(shí)，個(gè)，直角邊長(zhǎng)為時(shí)，個(gè)，∴總共有．16.已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)的取值集合是________．參考答案：17.若x>1,求的最小值是________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的定義域；（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)的奇偶性．參考答案：（1）定義域是（2）奇函數(shù)證明如下：∵∴∴函數(shù)是奇函數(shù)19.某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為5000元，且每生產(chǎn)100部，需要加大投入2500元。對(duì)銷(xiāo)售市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查后得知，市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的需求量為每年500部，已知銷(xiāo)售收入函數(shù)為，其中是產(chǎn)品售出的數(shù)量0≤≤500.

(1)若為年產(chǎn)量，表示利潤(rùn)，求的解析式(2)當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，工廠的年利潤(rùn)最大？其最大值是多少？參考答案：（1）；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為475部時(shí)，工廠的年利潤(rùn)最大，其最大值為：（元）略20.（14分）如圖，正四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)棱PA與底面ABCD所成角的正切值為．（1）求側(cè)面PAD與底面ABCD所成二面角的大?。唬?）若E是PB中點(diǎn)，求異面直線PD與AE所成角的正切值．參考答案：考點(diǎn)： 直線與平面所成的角；異面直線及其所成的角．專(zhuān)題： 計(jì)算題．分析： （1）連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接PO，則PO⊥面ABCD，則∠PAO就是PA與底面ABCD所成的角，設(shè)AB=1，則可得則PO=AO?tan∠PAO設(shè)F為AD中點(diǎn)，連FO、PF，易知OF⊥AD，PF⊥AD，所以∠PFO就是側(cè)面PAD與底面ABCD所成二面角的平面角，在Rt△POF中可求∠PFO（2）容易證明EO．可得∠AEO就是異面直線PD與AE所成的角，在Rt△AOE中求解解答： （1）連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接PO，則PO⊥面ABCD，（1分）∴∠PAO就是PA與底面ABCD所成的角，∴tan∠PAO=．（2分）設(shè)AB=1，則PO=AO?tan∠PAO==．（3分）設(shè)F為AD中點(diǎn)，連FO、PF，易知OF⊥AD，PF⊥AD，所以∠PFO就是側(cè)面PAD與底面ABCD所成二面角的平面角．（4分）在Rt△POF中，，∴∠PFO=60°，即側(cè)面PAD與底面ABCD所成二面角的大小為60°；（5分）（2）連接EO，由于O為BD中點(diǎn)，E為PB中點(diǎn)，所以，EO．∴∠AEO就是異面直線PD與AE所成的角．（6分）在Rt△POD中，．∴．（7分）由AO⊥BD，AO⊥PO可知AO⊥面PBD．所以，AO⊥EO（8分）在Rt△AOE中，，即異面直線PD與AE所成角的正切值為．（9分）點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了直線與平面所成角及二面角的平面角的求解，解決問(wèn)題（1）的關(guān)鍵是要找到與已知平面垂直的直線，從而把線面角轉(zhuǎn)化為線線角，還要注意線面角的范圍：；解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵是要尋求與已知異面直線平行的直線，從而把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，其范圍：（0，21.已知函數(shù)f(x)=a(x+)﹣|x﹣|（a∈R）．（Ⅰ）當(dāng)a=時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若f(x)≥x對(duì)任意的x＞0恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）將a的值帶入f（x），