山西省孝義中學(xué)2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題含解析

山西省孝義中學(xué)2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．將正整數(shù)1，2，3，4，…按如圖所示的方式排成三角形數(shù)組，則第19行從左往右數(shù)第5個(gè)數(shù)是（）A.381 B.361C.329 D.4002．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則（）A.－4 B.－10C.4 D.103．下邊程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，如果輸入a=102，b=238，則輸出的a的值為（）A.17 B.34C.36 D.684．某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個(gè)不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（）種A.9 B.36C.54 D.1085．已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則公比()A. B.2C.2或 D.46．若函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C D.7．有7名同學(xué)參加百米競(jìng)賽，預(yù)賽成績(jī)各不相同，取前3名參加決賽，小明同學(xué)已經(jīng)知道了自己的成績(jī)，為了判斷自己是否能進(jìn)入決賽，他還需要知道7名同學(xué)成績(jī)的（）A.平均數(shù) B.眾數(shù)C.中位數(shù) D.方差8．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A.， B.，C， D.，9．如圖，在四面體中，，，，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則可用向量，，表示為（）A. B.C. D.10．若，則下列不等式①；②；③；④中，正確的不等式有（）A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)11．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為（）A.1 B.2C.4 D.812．已知，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線的方程是___________14．如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，為的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)到平面的距離為___________.15．若，滿足約束條件，則的最大值為_____________16．已知曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則的值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，為拋物線C上的點(diǎn)，且.（1）求拋物線C的方程；（2）若直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在時(shí)的最大值和最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間存在極小值，求a的取值范圍.19．（12分）已知數(shù)列滿足（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和20．（12分）某學(xué)校高一、高二、高三的三個(gè)年級(jí)學(xué)生人數(shù)如下表，按年級(jí)分層抽樣的方法評(píng)選優(yōu)秀學(xué)生50人，其中高三有10人.高三高二高一女生100150z男生300450600（1）求z的值；（2）用分層抽樣的方法在高一學(xué)生中抽取一個(gè)容量為5的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2人，求至少有1名女生的概率；（3）用隨機(jī)抽樣的方法從高二女生中抽取8人，經(jīng)檢測(cè)她們的得分如圖所示，把這8人的得分看作一個(gè)總體，從中任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)5分的概率.21．（12分）從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人參加射擊比賽，現(xiàn)對(duì)他們的射擊水平進(jìn)行測(cè)試，兩人在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，（1）求，，，（2）你認(rèn)為應(yīng)該選哪名學(xué)生參加比賽？為什么？22．（10分）圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),，且圓心在上，（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線交圓于且，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】觀察規(guī)律可知，從第一行起，每一行最后一個(gè)數(shù)是連續(xù)的完全平方數(shù)，據(jù)此容易得出答案.【題目詳解】由圖中數(shù)字排列規(guī)律可知：第1行從左往右最后1個(gè)數(shù)是，第2行從左往右最后1個(gè)數(shù)是，第3行從左往右最后1個(gè)數(shù)是，……第18行從左往右最后1個(gè)數(shù)為，第19行從左往右第5個(gè)數(shù)是故選：C.2、A【解題分析】根據(jù)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的規(guī)律：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)保持不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樗南喾磾?shù)，即可求出點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求.【題目詳解】解：由題意，關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)保持不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樗南喾磾?shù)，從而有點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，?1，-3）.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題以空間直角坐標(biāo)系為載體，考查點(diǎn)關(guān)于面的對(duì)稱，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題3、B【解題分析】根據(jù)程序框圖所示代入運(yùn)行即可.【題目詳解】初始輸入：；第一次運(yùn)算：；第二次運(yùn)算：；第三次運(yùn)算：；第四次運(yùn)算：；結(jié)束，輸出34.故選：B.4、C【解題分析】根據(jù)給定條件利用排列并結(jié)合排除法列式計(jì)算作答.【題目詳解】從含有3名男教師和2名女教師的5名教師中任選3名教師，派到3個(gè)不同的鄉(xiāng)村支教，不同的選派方案有種，選出3名教師全是男教師的不同的選派方案有種，所以3名教師中男女都有的不同的選派方案共有種故選：C5、B【解題分析】由兩式相除即可求公比.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，∵其各項(xiàng)均為正數(shù)，故q＞0，∵，∴，又∵，∴=4，則q＝2.故選：B.6、C【解題分析】由函數(shù)的圖象可知其單調(diào)性情況，再由導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系即可得解.【題目詳解】由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，從左向右函數(shù)先增后減，故時(shí)，從左向右導(dǎo)函數(shù)先正后負(fù)，故排除AB；當(dāng)時(shí)，從左向右函數(shù)先減后增，故時(shí)，從左向右導(dǎo)函數(shù)先負(fù)后正，故排除D.故選：C.7、C【解題分析】根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題設(shè)按成績(jī)排序7選3，即可知還需明確的成績(jī)數(shù)據(jù)信息.【題目詳解】由題設(shè)，7名同學(xué)參加百米競(jìng)賽，要取前3名參加決賽，則成績(jī)從高到低排列，確定7名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)，即第3名的成績(jī)便可判斷自己是否能進(jìn)入決賽.故選：C.8、A【解題分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)槊}p：，，故命題p的否定為：，.故選：A.9、B【解題分析】利用空間向量的基本定理，用，，表示向量【題目詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，，故選：B10、C【解題分析】由條件，可得，利用不等式的性質(zhì)和基本不等式可判斷①、②、③、④中不等式的正誤，得出答案.【題目詳解】因?yàn)?，所?因此，且，且②、③不正確.所以，所以①正確，由得、均為正數(shù)，所以，（由條件，所以等號(hào)不成立），所以④正確.故選：C.11、C【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式利用條件，列出關(guān)于與的方程組，通過(guò)解方程組求數(shù)列的公差.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，聯(lián)立，解得.故選：C.12、C【解題分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【題目詳解】因?yàn)?，，所以，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】設(shè)，利用以為中點(diǎn)的弦所在的直線即為經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于AC的直線求得直線斜率，由點(diǎn)斜式可求得直線方程【題目詳解】圓的方程可化為，可知圓心為設(shè)，則以為中點(diǎn)的弦所在的直線即為經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線．又知，所以，所以直線的方程為，即故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查圓的幾何性質(zhì)，考查直線方程求解，是基礎(chǔ)題14、【解題分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面的距離.【題目詳解】因?yàn)榈酌?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.15、6【解題分析】首先根據(jù)題中所給的約束條件，畫出相應(yīng)的可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，之后在圖中畫出直線，在上下移動(dòng)的過(guò)程中，結(jié)合的幾何意義，可以發(fā)現(xiàn)直線過(guò)B點(diǎn)時(shí)取得最大值，聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)解析式，求得最大值.【題目詳解】根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對(duì)應(yīng)的可行域，如圖所示：由，可得，畫出直線，將其上下移動(dòng)，結(jié)合的幾何意義，可知當(dāng)直線在y軸截距最大時(shí)，z取得最大值，由，解得，此時(shí)，故答案為6.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，首先需要正確畫出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個(gè)點(diǎn)是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入求值，要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.16、11【解題分析】根據(jù)給定條件結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接計(jì)算作答.【題目詳解】因曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則，，所以.故答案為：11三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】（1）根據(jù)拋物線定義可得，從而得到拋物線C的方程；（2）設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，消去，可得的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，計(jì)算可得所求值【題目詳解】（1），所以，即拋物線C的方程.（2）設(shè)，由得所以，所以.【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：計(jì)算拋物線弦長(zhǎng)方法，(1)若直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)(2)若直線不過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則用|AB|＝·|x1－x2|求解18、（1）最大值為9，最小值為；（2）.【解題分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定在的極值、端點(diǎn)值，比較它們的大小即可知最值.（2）討論參數(shù)a的符號(hào)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，結(jié)合已知區(qū)間的極值情況求參數(shù)a的范圍即可.【小問(wèn)1詳解】由題，時(shí)，，則，令，得或1，則時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.∴在時(shí)取極大值，在時(shí)取極小值，又，，綜上，在區(qū)間上取得的最大值為9，最小值為.小問(wèn)2詳解】，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，函數(shù)沒有極值；當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.∴在取得極大值，在取得極小值，則；當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.∴在取得極大值，在取得極小值，由得：.綜上，函數(shù)在區(qū)間存在極小值時(shí)a的取值范圍是.19、（1）證明見解析，（2）【解題分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而求解得答案；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求和即可.【小問(wèn)1詳解】解：數(shù)列滿足，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，即；∴【小問(wèn)2詳解】解：，，，，20、（1）400（2）（3）【解題分析】（1）根據(jù)分層抽樣的方法，列出關(guān)系式計(jì)算即可；（2）根據(jù)分層抽樣的方法，求出抽取的女生人數(shù)，進(jìn)而列舉出從樣本中抽取2人的所有情況，可根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算即可；（3）求出樣本平均數(shù)，進(jìn)而求出與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)5的數(shù)，從而利于古典概型的概率公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)該?？?cè)藬?shù)為n人，由題意得，所以，.【小問(wèn)2詳解】設(shè)所抽樣本中有m個(gè)女生，因?yàn)橛梅謱映闃拥姆椒ㄔ诟咭粚W(xué)生中抽取一個(gè)容量為5的樣本，所以，解得.所以抽取了2名女生，3名男生，分別記作，；，，，則從中任取2人的所有基本事件為：，，，，，，，，，，共10個(gè)，其中至少有1名女生的基本事件有，，，，，，，共7個(gè)，所以從中任取2人，至少有1名女生的概率為.【小問(wèn)3詳解】樣本的平均數(shù)為，那么與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)5的數(shù)為94，86，92，87，90，93這6個(gè)數(shù)，總的個(gè)數(shù)為8，所以該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)5的概率為.21、（1）；；；；（2）選乙參加比賽，理由見解析.【解題分析】（1）利用平均數(shù)和方程公式求解；（2）利用（1）的結(jié)果作出判斷.【題目詳解】（1）由數(shù)據(jù)得：；；（2）由（1）可知，甲乙兩人平均成績(jī)一樣，乙的方差小于甲的方差，說(shuō)明乙的成績(jī)更穩(wěn)定；應(yīng)該選乙參加比賽.22、（1）；（2）或.【解題分析】（1）求出線段的垂直平分線方程，求出此直線與已知直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即為圓心坐標(biāo)，再求得半徑后可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2