初中數(shù)學(xué)中考中考浙教版數(shù)學(xué)矩形菱形和正方形

第26講矩形、菱形和正方形第五單元基本圖形(一)內(nèi)容索引課前基礎(chǔ)診斷回歸教材，夯實(shí)基礎(chǔ)課堂題型剖析分類講練，以例求法課前基礎(chǔ)診斷返回知識梳理1.矩形(1)定義：有一個(gè)角是

的平行四邊形叫做矩形．(2)性質(zhì)：矩形是特殊的平行四邊形，除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還具有一些特殊的性質(zhì)：①矩形的四個(gè)角都是

；②矩形的對角線

；③矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸，分別為過對邊中點(diǎn)的直線；矩形還是中心對稱圖形，它的對稱中心是對角線的交點(diǎn)．直角直角相等且互相平分(3)判定：①

的平行四邊形是矩形(定義法)；②

的四邊形是矩形；③

的平行四邊形是矩形．(4)矩形的面積計(jì)算：矩形的面積等于兩鄰邊的乘積．有一個(gè)角是直角有三個(gè)角是直角對角線相等特別提醒(1)矩形的兩條對角線把矩形分成四個(gè)面積相等的等腰三角形．(2)經(jīng)過矩形的對角線交點(diǎn)的任一直線把矩形分成兩個(gè)全等的圖形．(3)利用“矩形的對角線相等且互相平分”這一性質(zhì)可以得出“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．2.菱形(1)定義：有一組

相等的平行四邊形叫做菱形．(2)性質(zhì)：菱形也是特殊的平行四邊形，除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還具有一些特殊的性質(zhì)：①菱形的四條邊都

；②菱形的對角線

，并且每條對角線平分

；③菱形是軸對稱圖形，對稱軸是兩條對角線所在的直線；菱形也是中心對稱圖形，它的對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn)．鄰邊相等互相垂直一組對角(3)判定：①

的平行四邊形是菱形(定義法)；②

的四邊形是菱形；③對角線

的平行四邊形是菱形．(4)菱形的面積計(jì)算：菱形的面積＝底×高．有一組鄰邊相等四條邊相等互相垂直3.正方形(1)定義：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是

的平行四邊形叫做正方形．(2)性質(zhì)：正方形既是特殊的平行四邊形，又是特殊的矩形，還是特殊的菱形，因此它具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)，如：①正方形的四個(gè)角都是

，四條邊

；②正方形的對角線

，并且互相

，每條對角線平分一組

；③正方形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，對稱軸有四條，對稱中心是對角線的交點(diǎn)．

直角直角相等相等垂直平分對角(3)判定：①有一組

相等，并且有一個(gè)角是

的平行四邊形是正方形(定義法)；②有

的矩形是正方形；③有

的菱形是正方形．(4)正方形的面積公式：S＝a2(a為邊長)，或S＝(l為對角線長)．鄰邊一組鄰邊相等一個(gè)角是直角直角4.平行四邊形與矩形、菱形、正方形的聯(lián)系(1)平行四邊形與矩形的聯(lián)系：在平行四邊形的基礎(chǔ)上，增加“一個(gè)角是直角”或“對角線相等”的條件可判定為矩形；若在四邊形的基礎(chǔ)上，則需有三個(gè)角是直角才可判定為矩形．(2)平行四邊形與菱形的聯(lián)系：在平行四邊形的基礎(chǔ)上，增加“一組鄰邊相等”或“對角線互相垂直”的條件可判定為菱形；若在四邊形的基礎(chǔ)上，則需有四邊相等才可判定為菱形．(3)菱形、矩形與正方形的聯(lián)系：正方形的判定可簡記為“菱形＋矩形＝正方形”，其證明思路有兩個(gè)：先證四邊形是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等(即矩形)；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直(即菱形)．

1.下列命題正確的是(

)A.一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.對角線相等的四邊形是矩形

D.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形D一、選擇題答案基礎(chǔ)自測2.如圖，已知某廣場菱形花壇ABCD的周長是24米，∠BAD＝60°，

則花壇對角線AC的長等于(

)A答案3.如圖，F(xiàn)是正方形ABCD的邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BF的垂直平分線

交對角線AC于點(diǎn)E，連接BE、FE，則∠EBF的度數(shù)是(

)答案解AA.45°B.50°C.60°D.不確定解

如圖所示，過E作HI∥BC，分別交AB、CD于點(diǎn)H、I，則∠BHE＝∠EIF＝90°，∵E是BF的垂直平分線EM上的點(diǎn)，∴EB＝EF，∵E是∠BCD角平分線上一點(diǎn)，∴E到BC和CD的距離相等，即BH＝EI，在Rt△BHE和Rt△EIF中，∴Rt△BHE≌Rt△EIF(HL)，∴∠HBE＝∠IEF，∵∠HBE＋∠HEB＝90°，∴∠IEF＋∠HEB＝90°，∴∠BEF＝90°，∵EB＝EF，∴∠EBF＝∠EFB＝45°.4.如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為EF，若

AB＝4，BC＝2，那么線段EF的長為(

)答案解B解

如圖，連接AF、CE，設(shè)AC與EF相交于點(diǎn)O，則根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)得，四邊形AECF是菱形，∴AE＝CE.∵AB＝4，BC＝2，∠B＝90°，設(shè)AE＝CE＝x，則BE＝4－x.∵CE2＝BE2＋BC2，∴在Rt△AOE中，5.如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠ABC＝60°，則對角線AC的長是

.答案二、填空題66.邊長為1的一個(gè)正方形和一個(gè)等邊三角形如圖擺放，

則△ABC的面積為___.答案解解過點(diǎn)C作CD和CE垂直于正方形的兩個(gè)邊，如圖，∵圖中為一個(gè)正方形和一個(gè)等邊三角形的擺放，∴四邊形DBEC是矩形，7.如圖，菱形ABCD的面積為120cm2，正方形AECF的面積為50cm2，

則菱形的邊長為

cm.答案解13解連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O，由對稱性可知，菱形的對角線BD過點(diǎn)E、F，由菱形的性質(zhì)可知，BD⊥AC，∵正方形AECF的面積為50，∴AO＝EO＝5，∴AC＝10，∴BD＝24，∴BO＝12，∵AO2＋BO2＝AB2，三、解答題解8.如圖，AC為矩形ABCD的對角線，將邊AB沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上

的點(diǎn)M處，將邊CD沿CF折疊，使點(diǎn)D落在AC上的點(diǎn)N處．(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；解證明：由題意可知，AM＝AB，CN＝CD，∠AME＝∠B＝90°，∠CNF＝∠D＝90°，∴∠ANF＝∠CME＝90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴AM＝CN，∠FAN＝∠ECM，∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM，∴△ANF≌△CME(ASA)，∴AF＝CE，又∵AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形．在△ANF和△CME中，(2)若AB＝6，AC＝10，求四邊形AECF的面積．解∵AB＝6，AC＝10，∴BC＝8，設(shè)CE＝x，則EM＝BE＝8－x，CM＝10－6＝4，在Rt△CEM中，∵EM2＋CM2＝CE2，∴(8－x)2＋42＝x2，解得：x＝5，∴四邊形AECF的面積＝CE·AB＝5×6＝30.返回解返回課堂題型剖析課堂題型剖析題型一矩形的性質(zhì)與判定師生共研解【典例】如圖，已知AB＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足為E.(1)求證：△DCA≌△EAC；解證明：在△DCA和△EAC中，∴△DCA≌△EAC(SSS)．解(2)只需添加一個(gè)條件，即

，可使四邊形ABCD為矩

形．請加以證明．解添加AD＝BC，可使四邊形ABCD為矩形．理由如下：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，由(1)得：△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝90°，∴四邊形ABCD為矩形．

AD＝BC(答案不唯一)思維提升判定四邊形是矩形：若在平行四邊形的基礎(chǔ)上，增加“一個(gè)角是直角”或“對角線相等”的條件可為矩形；若在四邊形的基礎(chǔ)上，則需有三個(gè)角是直角才可判定為矩形．證明【跟蹤】如圖，點(diǎn)P在矩形ABCD的對角線AC上，且不與點(diǎn)A，C重合，

過點(diǎn)P分別作邊AB，AD的平行線，交兩組對邊于點(diǎn)E，F(xiàn)和G，H.(1)求證：△PHC≌△CFP；證明

∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，AD∥BC.∵PF∥AB，∴PF∥CD，∴∠CPF＝∠PCH.∵PH∥AD，∴PH∥BC，∴∠PCF＝∠CPH.在△PHC和△CFP中，∴△PHC≌△CFP(ASA)．(2)證明四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形，并直接寫出它們面積之間的關(guān)系．

證明證明

∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D＝∠B＝90°.又∵EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，∴四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形．∵EF∥AB，HG∥BC，四邊形ABCD為矩形，∴四邊形AEPG和四邊形PHCF也是矩形，∴S△ACD＝S△ABC，S△PHC＝S△PCF，S△AEP＝S△APG，∴S△ACD－S△PHC－S△AEP＝S△ABC－S△PCF－S△APG，即S矩形PEDH＝S矩形PFBG.題型二菱形的性質(zhì)與判定師生共研【典例】如圖，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于點(diǎn)C，BD平分

∠ABF，且交AE于點(diǎn)D，連接CD.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；點(diǎn)撥解解證明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABF，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，同理可得：AB＝BC，∴AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．解(2)若∠ADB＝30°，BD＝6，求AD的長．點(diǎn)撥點(diǎn)撥

(1)由平行線的性質(zhì)和角平分線定義可證出四邊形ABCD是平行四邊形，即可得出結(jié)論；(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)及三角函數(shù)即可得出AD的長．解∵四邊形ABCD是菱形，BD＝6，∵∠ADB＝30°，思維提升菱形的判定要注意是在四邊形基礎(chǔ)上，還是在平行四邊形基礎(chǔ)上，這兩種情況下需滿足的條件是不一樣的．解菱形證明題的一般方法有：若已知四邊形是平行四邊形，則只需證一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直即可；若相等的邊較多，一般考慮證明四條邊相等．【跟蹤】(1)在△ABC中，M是AC邊上的一點(diǎn)，連接BM.將△ABC沿AC

翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，當(dāng)DM∥AB時(shí)，求證：四邊形ABMD是菱形．

證明證明∵AB∥DM，∴∠BAM＝∠AMD，∵△ADC是由△ABC翻折得到，∴∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM，∴∠CAD＝∠AMD，∴AD＝DM＝AB＝BM，∴四邊形ABMD是菱形．解(2)如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，過對角線BD中點(diǎn)O的直線分別

交AB，CD邊于點(diǎn)E，F(xiàn).①求證：四邊形BEDF是平行四邊形；解證明：∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點(diǎn)，∴AB∥CD，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴OE＝OF，∴四邊形BEDF是平行四邊形．解②當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，求EF的長．解當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，BD⊥EF，設(shè)BE＝x，則DE＝x，AE＝6－x，在Rt△ADE中，∵DE2＝AD2＋AE2，∵BD⊥EF，解題型三正方形的性質(zhì)與判定師生共研【典例】已知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，O，F(xiàn)分別為AB，AC，

AD的中點(diǎn)，連接CE，CF，OE，OF.(1)求證：△BCE≌△DCF；解證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，∵點(diǎn)E，O，F(xiàn)分別為AB，AC，AD的中點(diǎn)，∴△BCE≌△DCF(SAS)．(2)當(dāng)AB與BC滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形AEOF是正方形？請說明理由．解解當(dāng)AB⊥BC時(shí)，四邊形AEOF是正方形．理由如下：由(1)得：AE＝OE＝OF＝AF，OE∥BC，∴四邊形AEOF是菱形，∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO＝90°，∴菱形AEOF是正方形．思維提升正方形的性質(zhì)＝矩形的性質(zhì)＋菱形的性質(zhì)，即正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形和菱形，具有它們的所有性質(zhì).證明一個(gè)四邊形是正方形，可以先判定為矩形，再證鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；或先判定為菱形，再證一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等．【跟蹤】如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)，

DE⊥AP于點(diǎn)E，BF⊥AP于點(diǎn)F，CH⊥DE于點(diǎn)H，BF的延長線交CH于

點(diǎn)G.解(1)求證：AF－BF＝EF；解證明：∵DE⊥AP于點(diǎn)E，BF⊥AP于點(diǎn)F，CH⊥DE于點(diǎn)H，∴∠AFB＝∠AED＝∠DHC＝90°，∴∠ADE＋∠DAE＝90°，又∵∠DAE＋∠BAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，∴△AED≌△BFA(AAS)，∴AE＝BF，∴AF－AE＝EF，即AF－BF＝EF.(2)四邊形EFGH是什么四邊形？并證明．解解證明：∵∠AFB＝∠AED＝∠DHC＝90°，∴四邊形EFGH是矩形，∵△AED≌△BFA，同理可得：△AED≌△DHC，∴△AED≌△BFA≌△DHC，∴AE＝BF＝DH，DE＝AF＝CH，∴DE－DH＝AF－AE，∴EH＝EF，∴矩形EFGH是正方形．【典例】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在對角線BD上(不與點(diǎn)B，D重

合)，GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，連結(jié)AG.解題型四特殊平行四邊形的計(jì)算題師生共研(1)寫出線段AG，GE，GF長度之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；解結(jié)論：AG2＝GE2＋GF2.理由如下：連接CG.∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)A、C關(guān)于對角線BD對稱，∵點(diǎn)G在BD上，∴AG＝CG，∵GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°，∴四邊形EGFC是矩形，∴CF＝GE，在Rt△GFC中，∵CG2＝CF2＋GF2，∴AG2＝GE2＋GF2.(2)若正方形ABCD的邊長為1，∠AGF＝105°，求線段BG的長．解解過點(diǎn)A作AH⊥BG，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠GBF＝45°，∵GF⊥BC，∴∠BGF＝45°，∵∠AGF＝105°，∴∠AGB＝∠AGF－∠BGF＝105°－45°＝60°，在Rt△ABH中，∵AB＝1，思維提升熟悉正方形性質(zhì)的特殊性，對解計(jì)算題非常有用．如：正方形對角線與邊的夾角為45°；正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)完全一樣的等腰直角三角形；兩條對角線把正方形分成四個(gè)完全一樣的等腰直角三角形.解答本題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．【跟蹤】(1)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)F在AD上，點(diǎn)E在BC上，把這

個(gè)矩形沿EF折疊后，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的G點(diǎn)處，若矩形面積為

且∠AFG＝60°，GE＝2BG，則折痕EF的長為(

)答案解C解由折疊的性質(zhì)可知，DF＝GF，CE＝HE，DC＝GH，∠DFE＝∠GFE.∵∠GFE＋∠DFE＝180°－∠AFG＝180°－60°＝120°，∴∠GFE＝60°.∵AF∥GE，∴∠FGE＝∠AFG＝60°，∴△GEF為等邊三角形，∴EF＝GE.∵∠FGE＝60°，∠FGE＋∠HGE＝90°，∴∠HGE＝30°，∴在Rt△GHE中，GE＝2HE＝2CE，

∵GE＝2BG，∴BC＝BG＋GE＋CE＝CE＋2CE＋CE＝4CE.∴CE＝1，EF＝GE＝2.(2)如圖，菱形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，AC＝2，BD＝

將菱形按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，折痕為EF，則五邊形AEFCD的周長為

.答案解7∴∠ABO＝∠CBO，AC⊥BD，∴∠ABO＝30°，∴∠ABC＝60°.由折疊的性質(zhì)得，EF⊥OB，OE＝BE，∠BEF＝∠OEF，∴BE＝BF，EF∥AC，∴△BEF是等邊三角形，∴∠BEF＝∠OEF＝60°，∴∠AEO＝60°，∴△AEO是等邊三角形，∴AE＝OE，∴BE＝AE，∴EF是△ABC的中位線，同理可得：CF＝OC＝OA＝1，∴五邊形AEFCD的周長＝1＋1＋1＋2＋2＝7.思維提升菱形的兩條對角線互相垂直且平分，一條對角線把菱形分成兩個(gè)等腰三角形，兩條對角線把菱形分成四個(gè)全等的直角三角形，這些特點(diǎn)在計(jì)算中經(jīng)常用到，要注意使用．返回試題