第七章 空間解析幾何曲面

第七章空間解析幾何曲面第一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空間直角坐標系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系.

坐標原點

坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過空間一定點o,

坐標面

卦限(八個)zox面1.空間直角坐標系的基本概念Ⅰ第二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四向徑在直角坐標系下坐標軸上的點

P,Q,R;坐標面上的點A,B,C點M特殊點的坐標:有序數(shù)組(稱為點

M

的坐標)原點O(0,0,0);第三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四例1.在z

軸上求與兩點等距解:設(shè)該點為解得故所求點為及離的點.2、空間兩點間的距離公式:第四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四提示:(1)設(shè)動點為利用得(2)設(shè)動點為利用得且思考:

(1)如何求在

xoy

面上與A,B

等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點的軌跡方程?第五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四二、曲面及其方程求到兩定點A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點的化簡得即說明:

動點軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:解:設(shè)軌跡上的動點為軌跡方程.

1、曲面方程的概念第六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四定義.

如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點的坐標都滿足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個基本問題:(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2)不在曲面S上的點的坐標不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀第七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四坐標軸:坐標面:2、常見的曲面方程第八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四故所求方程為例1.

求動點到定點方程.特別,當M0在原點時,球面方程為解:

設(shè)軌跡上動點為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面

.第九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四例2.

研究方程解:配方得此方程表示:說明:都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為一個球面,或點,或虛軌跡.第十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四3、柱面的方程引例.

分析方程表示怎樣的曲面.的坐標也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,沿曲線C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓過此點作柱面.對任意

z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點第十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四定義.平行定直線l并沿定曲線C

移動的直線形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于

z

軸;準線為xoy

面上的拋物線.

z

軸的橢圓柱面.z

軸的平面.表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C

叫做準線,l

叫做母線.第十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準線xoz

面上的曲線l3.母線柱面,準線xoy

面上的曲線l1.母線準線yoz面上的曲線l2.母線第十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y

軸的直線平行于yoz面的平面圓心在(0,0)半徑為3的圓以z軸為中心軸的圓柱面平行于z軸的平面思考與練習1.指出下列方程的圖形:第十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四定義2.一條平面曲線三、旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:第十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四建立yoz面上曲線C

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當繞

z軸旋轉(zhuǎn)時,若點給定yoz

面上曲線

C:則有則有該點轉(zhuǎn)到第十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四旋轉(zhuǎn)過程中的特征：如圖將代入第十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四思考：當曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？第十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四例3.試建立頂點在原點,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為兩邊平方第十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四例4.求坐標面xoz

上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞

x

軸旋轉(zhuǎn)繞

z

軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為第二十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四四、二次曲面三元二次方程就幾種常見標準型的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法

其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項系數(shù)不全為0)第二十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四1.橢球面(1)范圍：(2)與坐標面的交線：橢圓第二十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四與的交線為橢圓：(4)當a＝b

時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當a＝b＝c

時為球面.(3)截痕:為正數(shù))第二十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四2.拋物面(1)橢圓拋物面(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）第二十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四3.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時,截痕為平面上的截痕情況:雙曲線:(實軸平行于x

軸；虛軸平行于z軸）第二十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四虛軸平行于x軸）時,截痕為時,截痕為(實軸平行于z

軸;相交直線:雙曲線:第二十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面第二十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四4.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點與原點的連線均在曲面上.①第二十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四第二十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四第三十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四第三十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四第三十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四第三十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四第三十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四第三十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四第三十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四第三十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四第三十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四第三十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四第四十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四第四十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四第四十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四第四十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四第四十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四第四十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四第四十六頁，共五十三頁，編輯