第一章 線性空間和線性映射

第一章線性空間和線性映射北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四其中為維輸入變量，維狀態(tài)向量，為矩陣?yán)碚摰暮唵螒?yīng)用一矩陣在線性系統(tǒng)與多變量控制中的應(yīng)用線性系統(tǒng)狀態(tài)空間的線性微分方程組為第一章線性空間和線性映射北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四分別為m維輸出向量，矩陣為型矩陣且均為時間的函數(shù)。定義：如果上述方程中的矩陣都是常數(shù)矩陣，則稱該系統(tǒng)是線性定常系統(tǒng)。其狀態(tài)空間線性方程為考慮一個線性定常系統(tǒng)

北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四定義

對于上述系統(tǒng)，如果從狀態(tài)空間中的任意一點(diǎn)開始，可以找到一個輸入，在有限的時間內(nèi)將狀態(tài)變量驅(qū)動到原點(diǎn)，則稱該系統(tǒng)是可控的；否則，稱該系統(tǒng)是不可控的。定義

對于上述系統(tǒng)，如果在任一時刻的狀態(tài)可以由從這一時刻開始的一個有限時間間隔上對輸入為零的輸出的觀測來決定，則稱該系統(tǒng)是可觀測的;否則，稱該系統(tǒng)是不可觀測的。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四我們首先以單輸入單輸出系統(tǒng)為例?？紤]下面的單輸入單輸出系統(tǒng)：其中和是維矢量，是矩陣，及是標(biāo)量。定理1上面的單輸入單輸出系統(tǒng)是可控的充分必要條件是可控性判別矩陣是可逆（非奇異）矩陣。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四由于矩陣是可逆矩陣，所以相應(yīng)的系統(tǒng)是可控的。例1

設(shè)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四由于矩陣?yán)?設(shè)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四是不可逆（奇異）矩陣，所以對應(yīng)的系統(tǒng)是不可控的。定理2上面的單輸入單輸出系統(tǒng)是可觀測的充分必要條件是可觀測性判別矩陣是可逆（非奇異）矩陣。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四例3由于矩陣是可逆矩陣，所以相應(yīng)的系統(tǒng)是可觀測的。例4設(shè)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四由于矩陣是不可逆（奇異）矩陣，所以對應(yīng)的系統(tǒng)是不可觀測的。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四我們再以多輸入多輸出系統(tǒng)為例。考慮下面的多輸入多輸出系統(tǒng)：定理3多輸入多輸出系統(tǒng)是可控制的充分必要條件是可控制性判別矩陣是行滿秩的。該系統(tǒng)是可觀測的充分必要條件是可觀測性判別矩陣是列滿秩的。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四由于矩陣是行滿秩的，所以相應(yīng)的系統(tǒng)是可控的。例5設(shè)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四二矩陣?yán)碚撛谏飻?shù)學(xué)中的應(yīng)用在花的花瓣中存在一種特殊的生物模式。幾乎所有花，其花瓣數(shù)都是一種有規(guī)律的級數(shù)。例如百合花的花瓣有3瓣；毛茛屬的植物有5瓣花；許多翠雀屬的植物花有8瓣；萬壽菊的花有13瓣；紫菀屬植物的花有21瓣；大多數(shù)雛菊的花有34，55，89瓣。另外，在向日葵的花盤內(nèi)葵花籽的螺旋式排列中也可以發(fā)現(xiàn)類似的排列模式，同時植物的葉序中也存在此種現(xiàn)象。這就是著名的Fibonacci級數(shù)模式。我們稱下面的數(shù)列為Fibonacci級數(shù)。它滿足下述遞推公式：北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四以及初始條件：試求該數(shù)列的通項(xiàng)公式，并且求出極限

解設(shè)因?yàn)椋员本├砉ご髮W(xué)高數(shù)教研室*第十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四令那么我們有于是我們?yōu)榱饲驠ibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式只需求出即可，我們利用的相似標(biāo)準(zhǔn)形來化簡的計算。的特征多項(xiàng)式為，它的兩個特征根為：北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四同理可得基礎(chǔ)解系的一個向量為:由此可以看出可以對角化。解齊次線性方程組可以得到基礎(chǔ)解系的一個向量為：北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四令那么從而由遞推公式以及初始條件可得北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四比較上式的第二個分量得這就是著名的Fibonacci數(shù)列通項(xiàng)公式，容易計算出：0.618這個數(shù)在最優(yōu)化中有重要的應(yīng)用，在最優(yōu)化中我們經(jīng)常運(yùn)用這個數(shù)來迅速縮短搜索區(qū)間，以便找出最優(yōu)點(diǎn)，這種方法經(jīng)常稱為黃金分割法。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四第一節(jié)線性空間的概念一線性空間的定義與例子定義

設(shè)是一個非空的集合，是一個數(shù)域，在集合中定義兩種代數(shù)運(yùn)算,一種是加法運(yùn)算,用來表示;另一種是數(shù)乘運(yùn)算,用來表示,并且這兩種運(yùn)算滿足下列八條運(yùn)算律：（1）加法交換律（2）加法結(jié)合律

北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四（3）零元素在中存在一個元素，使得對于任意的都有（4）負(fù)元素對于中的任意元素都存在一個元素使得

則稱是的負(fù)元素.（5）數(shù)1

北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第二十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四（6）（7）（8）稱這樣的集合為數(shù)域上的線性空間。例1全體實(shí)函數(shù)集合構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間。例2

復(fù)數(shù)域上的全體型矩陣構(gòu)成的集合為上的線性空間。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第二十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

例3實(shí)數(shù)域上全體次數(shù)小于或等于的多項(xiàng)式集合構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.例4全體正的實(shí)數(shù)在下面的加法與數(shù)乘的定義下構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間：

例5表示實(shí)數(shù)域上的全體無限序列組成的的集合。即北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第二十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四在中定義加法與數(shù)乘：則為實(shí)數(shù)域上的一個線性空間。例6在中滿足Cauchy條件的無限序列組成的子集合也構(gòu)成上的線性空間。Cauchy條件是：使得對于都有北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第二十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四例7在中滿足Hilbert條件的無限序列組成的子集合不構(gòu)成上的線性空間。Hilbert條件是：級數(shù)收斂例8在中有界的無限序列組成的子集也構(gòu)成上的線性空間。一個無限序列稱為有界的，如果存在一個實(shí)數(shù)，使得二線性空間的基本概念及其性質(zhì)定義

線性組合；線性表出；線性相關(guān)；線性無關(guān)；向量組的極大線性無關(guān)組；向量組的秩.北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第二十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四基本性質(zhì)：（1）含有零向量的向量組一定線性相關(guān)；（2）整體無關(guān)部分無關(guān)；部分相關(guān)整體相關(guān)；（3）如果含有向量多的向量組可以由含有向量少的向量組線性表出，那么含有向量多的向量組一定線性相關(guān)；（4）向量組的秩是唯一的，但是其極大線性無關(guān)組并不唯一；（5）如果向量組（I）可以由向量組（II）線性表出，那么向量組（I）的秩小于等于向量組（II）的秩；（6）等價的向量組秩相同。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第二十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四例1實(shí)數(shù)域上的線性空間中，函數(shù)組是一組線性無關(guān)的函數(shù)，其中為一組互不相同的實(shí)數(shù)。例2實(shí)數(shù)域上的線性空間中，函數(shù)組是一組線性無關(guān)的函數(shù)，其中為一組互不相同的實(shí)數(shù)。例3實(shí)數(shù)域上的線性空間中，函數(shù)組也是線性無關(guān)的。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第二十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四例4實(shí)數(shù)域上的線性空間空間中，函數(shù)組與函數(shù)組都是線性相關(guān)的函數(shù)組。線性空間的基底，維數(shù)與坐標(biāo)變換定義設(shè)為數(shù)域上的一個線性空間。如果在中存在個線性無關(guān)的向量使得北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第二十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四中的任意一個向量都可以由線性表出:則稱為的一個基底；為向量在基底下的坐標(biāo)。此時我們稱為一個維線性空間，記為例1實(shí)數(shù)域上的線性空間中向量組與向量組北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第二十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

都是的基。是3維線性空間。例2實(shí)數(shù)域上的線性空間中的向量組與向量組都是的基。是4維線性空間。例3實(shí)數(shù)域上的線性空間中的向量組北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第二十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

與向量組都是的基底。的維數(shù)為注意：

通過上面的例子可以看出線性空間的基底并不唯一，但是維數(shù)是唯一確定的。由維數(shù)的定義,線性空間可以分為有限維線性空間和無限維線性空間。目前，我們主要討論有限維的線性空間。例4在4維線性空間中，向量組北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第三十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

與向量組是其兩組基，求向量在這兩組基下的坐標(biāo)。解：設(shè)向量在第一組基下的坐標(biāo)為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第三十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四于是可得解得同樣可解出在第二組基下的坐標(biāo)為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第三十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四由此可以看出：一個向量在不同基底下的坐標(biāo)是不相同的?；儞Q與坐標(biāo)變換設(shè)（舊的）與（新的）是維線性空間的兩組基底，它們之間的關(guān)系為

北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第三十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四將上式矩陣化可以得到下面的關(guān)系式：稱階方陣北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第三十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四是由舊的基底到新的基底的過渡矩陣，那么上式可以寫成定理：過渡矩陣是可逆的。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第三十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四任取，設(shè)在兩組基下的坐標(biāo)分別為

與，那么我們有：稱上式為坐標(biāo)變換公式。例1

在4維線性空間中，向量組北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第三十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四與向量組北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第三十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四為其兩組基，求從基到基的過渡矩陣，并求向量在這兩組基下的坐標(biāo)。解：容易計算出下面的矩陣表達(dá)式北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第三十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四向量第一組基下的坐標(biāo)為利用坐標(biāo)變換公式可以求得在第二組基下的坐標(biāo)為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第三十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

線性空間的子空間定義設(shè)為數(shù)域上的一個維線性空間，為的一個非空子集合，如果對于任意的以及任意的都有那么我們稱為的一個子空間。例1對于任意一個有限維線性空間，它必有兩個平凡的子空間，即由單個零向量構(gòu)成的子空間以及線性空間本身.北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第四十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四例2設(shè)，那么線性方程組的全部解為維線性空間的一個子空間，我們稱其為齊次線性方程組的解空間。當(dāng)齊次線性方程組有無窮多解時，其解空間的基底即為其基礎(chǔ)解系；解空間的維數(shù)即為基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)。例3設(shè)為維線性空間中的一組向量，那么非空子集合

北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第四十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四構(gòu)成線性空間的一個子空間，稱此子空間為有限生成子空間，稱為該子空間的生成元。的基底即為向量組的維數(shù)即為向量組的秩。例4實(shí)數(shù)域上的線性空間中全體上三角矩陣集合，全體下三角矩陣集合，全體對稱矩陣集合，全體反對稱矩陣集合分別都構(gòu)成的子空間，北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第四十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四子空間的交與和兩個子空間的交:

兩個子空間的和:子空間交與和的性質(zhì):1.若和都是的子空間,則和也是的子空間.2.3.4.兩個子空間的直和:如果中的任一向量只能唯一表示為子空間的一個向量與子空間的一個向量的和,則稱為與的直和.北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第四十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

矩陣（或線性變換）的特征值與特征向量

定義設(shè)是數(shù)域上的線性空間的一個線性變換，如果對于數(shù)域中任一元素，中都存在一個非零向量，使得

那么稱為的一個特征值，而稱為的屬于特征值的一個特征向量。現(xiàn)在設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，中取定一組基，設(shè)線性變換在這組基下的矩陣是，向量在這組基下的坐標(biāo)是，。那么我們有

北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第四十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四由此可得定理：

是的特征值是的特征值.

是的屬于的特征向量是的屬于的特征向量.因此，只要將的全部特征值求出來，它們就是線性變換的全部特征值；只要將矩陣的屬于的全部特征向量求出來，分別以它們?yōu)樽鴺?biāo)的向量就是的屬于的全部特征向量。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第四十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四例1設(shè)是數(shù)域上的3維線性空間，是上的一個線性變換，在的一個基下的矩陣是求的全部特征值與特征向量。解：的特征多項(xiàng)式為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第四十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四所以的特征值是（二重）與。對于特征值，解齊次線性方程組得到一個基礎(chǔ)解系：北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第四十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四從而的屬于的極大線性無關(guān)特征向量組是于是屬于3的全部特征向量是

這里為數(shù)域中不全為零的數(shù)對。對于特征值，解齊次線性方程組得到一個基礎(chǔ)解系：

北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第四十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四從而的屬于的極大線性無關(guān)特征向量組是于是的屬于的全部特征向量這里為數(shù)域中任意非零數(shù)。

矩陣的相似與相似對角化相似矩陣的性質(zhì)：相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，有相同的特征北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第四十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的跡，有相同的譜。矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)：（1）階矩陣的屬于特征值的全部特征向量再添上零向量，可以組成的一個子空間，稱之為矩陣的屬于特征值的特征子空間，記為，不難看出正是特征方程組的解空間。（2）屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第五十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四（3）設(shè)是的個互不同的特征值，的幾何重數(shù)為，是對應(yīng)于的個線性無關(guān)的特征向量，則的所有這些特征向量仍然是線性無關(guān)的。（4）任意一個特征值的幾何重數(shù)不