第1章 集合與常用邏輯用語 第1節(jié) 集合

第一章集合與常用邏輯用語第1節(jié)集合考試要求1.了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的屬于關(guān)系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題；2.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；在具體情境中了解全集與空集的含義；3.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡單集合的并集與交集；4.理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集；5.能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算．知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)內(nèi)容索引考點(diǎn)突破題型剖析分層訓(xùn)練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1知識(shí)梳理(1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、________、無序性.(2)元素與集合的關(guān)系是______或不屬于，表示符號(hào)分別為∈和?.(3)集合的三種表示方法：________、________、圖示法.1.元素與集合互異性屬于列舉法描述法(1)子集：若對(duì)任意x∈A，都有________，則A?B或B?A.(2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A，則________或BA.(3)相等：若A?B，且________，則A＝B.(4)空集的性質(zhì)：是任何集合的子集，是任何______集合的真子集.2.集合間的基本關(guān)系x∈BABB?A非空3.集合的基本運(yùn)算

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集符號(hào)表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為?UA圖形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}__________________{x|x∈U，且x?A}{x|x∈A，且x∈B}(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(?UA)＝，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.4.集合的運(yùn)算性質(zhì)常用結(jié)論1.若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè)，非空子集有2n－1個(gè)，非空真子集有2n－2個(gè).2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.4.?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).×診斷自測(1)任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集.(

)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(

)(3)若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0，1.(

)(4)對(duì)于任意兩個(gè)集合A，B，(A∩B)?(A∪B)恒成立.(

)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)解析(1)錯(cuò)誤.空集只有一個(gè)子集.(2)錯(cuò)誤.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是拋物線y＝x2＋1上的點(diǎn)集.(3)錯(cuò)誤.當(dāng)x＝1時(shí)，不滿足集合中元素的互異性.××√DA.a∈P B.{a}∈PC.{a}?P D.a?PBA.{2} B.{2，3}C.{3，4} D.{2，3，4}3.(2021·新高考Ⅰ卷)設(shè)集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，則A∩B＝(

)解析因?yàn)锳＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3}.A.{－2} B.{1}C.{－2，1} D.{－2，1，0}4.(易錯(cuò)題)(2021·宜昌調(diào)研)集合A＝{－1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B?A，則由實(shí)數(shù)a的取值組成的集合為(

)D解析對(duì)于集合B，當(dāng)a＝0時(shí)，B＝，滿足B?A；A.{x|x<0} B.{x|0<x≤1} C.{x|1<x≤2} D.{x|x>2}解析易知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>0}.∴?UA＝{x|x<0或x>2}，故(?UA)∩B＝{x|x>2}.DA.

B.S C.T D.Z6.(2021·全國乙卷)設(shè)集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，則S∩T＝(

)C解析法一在集合T中，令n＝k(k∈Z)，則t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T?S，所以S∩T＝T.法二S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，觀察可知，T?S，所以S∩T＝T.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一集合的基本概念A(yù).3 B.4 C.5 D.61.已知集合U＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，則集合U中元素的個(gè)數(shù)為(

)C解析當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－1，0，1；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0.所以U＝{(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)}，共有5個(gè)元素.解析①當(dāng)a－3＝－3，即a＝0時(shí)，此時(shí)A＝{－3，－1，－4}，②當(dāng)2a－1＝－3，即a＝－1時(shí)，此時(shí)A＝{－4，－3，－3}舍，③當(dāng)a2－4＝－3，即a＝±1時(shí)，由②可知a＝－1舍，則a＝1時(shí)，A＝{－2，1，－3}，綜上，a＝0或1.2.若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，則實(shí)數(shù)a＝________.0或1解析由題意x可?。?，2，4，5，故答案為{－2，2，4，5}.{－2，2，4，5}解析依題意可知，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”時(shí)，這三個(gè)元素一定是連續(xù)的三個(gè)整數(shù).∴所求的集合為{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6個(gè).4.設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于k∈A，如果k－1?A，且k＋1?A，那么稱k是A的一個(gè)“孤立元”.給定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________個(gè).61.研究集合問題時(shí)，首先要明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點(diǎn)集，還是其他集合；然后再看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么，從而準(zhǔn)確把握集合的含義.2.利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.感悟提升考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系解析當(dāng)B＝時(shí)，a＝0，此時(shí)，B?A.例1

(1)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}.若B?A，則實(shí)數(shù)a的所有可能取值的集合為(

) A.{－1} B.{1} C.{－1，1} D.{－1，0，1}D綜上可知，實(shí)數(shù)a所有取值的集合為{－1，0，1}.解析∵B?A，①當(dāng)B＝時(shí)，2m－1>m＋1，解得m>2，(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______________.[－1，＋∞)綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍[－1，＋∞).1.若B?A，應(yīng)分B＝和B≠兩種情況討論.2.已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩個(gè)集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系.合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析及對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.確定參數(shù)所滿足的條件時(shí)，一定要把端點(diǎn)值代入進(jìn)行驗(yàn)證，否則易增解或漏解.感悟提升A.0 B.1C.－2 D.0或－1訓(xùn)練1

(1)(2022·大連模擬)設(shè)集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，若A＝B，則a2022＋b2023的值為(

)B解析集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，若A＝B，則a2＝1或ab＝1.由集合互異性知a≠1，當(dāng)a＝－1時(shí)，A＝{1，a，b}＝{1，－1，b}，B＝{a，a2，ab}＝{－1，1，－b}，有b＝－b，得b＝0.∴a2022＋b2023＝(－1)2022＋02023＝1.當(dāng)ab＝1時(shí)，集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}＝{a，a2，1}，有b＝a2.綜上，a2022＋b2023＝1，故選B.A.(1，3) B.[1，3] C.[1，＋∞) D.(－∞，3](2)已知集合A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)B解析由log2(x－1)<1，得0<x－1<2，所以A＝(1，3).由|x－a|<2得a－2<x<a＋2，所以B＝(a－2，a＋2).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，3].角度1集合的基本運(yùn)算考點(diǎn)三集合的運(yùn)算A.{5} B.{1，2} C.{3，4} D.{1，2，3，4}例2

(1)(2021·全國乙卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，則?U(M∪N)＝(

)A解析法一因?yàn)榧螹＝{1，2}，N＝{3，4}，所以M∪N＝{1，2，3，4}.又全集U＝{1，2，3，4，5}，所以?U(M∪N)＝{5}.故選A.法二因?yàn)?U(M∪N)＝(?UM)∩(?UN)，?UM＝{3，4，5}，?UN＝{1，2，5}，所以?U(M∪N)＝{3，4，5}∩{1，2，5}＝{5}.故選A.A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x≤1} D.{x|x≤1}(2)(2021·西安測試)設(shè)全集U＝R，M＝{x|y＝ln(1－x)}，N＝{x|2x(x－2)<1}，那么圖中陰影部分表示的集合為(

)B解析題圖中陰影表示的集合為(?UM)∩N.易知M＝{x|x<1}，N＝{x|0<x<2}，∴(?UM)∩N＝{x|1≤x<2}.例3(1)(2021·日照檢測)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B中有三個(gè)元素，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A.[3，6) B.[1，2) C.[2，4) D.(2，4]角度2利用集合的運(yùn)算求參數(shù)C故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2，4).(2)已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.a<－2 B.a≤－2 C.a>－4 D.a≤－4D由A∪B＝B可得A?B，作出數(shù)軸如圖.1.進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，首先看集合能否化簡，能化簡的先化簡，再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算.2.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用：(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運(yùn)算，常借助Venn圖求解；(2)連續(xù)型數(shù)集的運(yùn)算，常借助數(shù)軸求解，運(yùn)用數(shù)軸時(shí)要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心.感悟提升解析由M∩N＝N，∴M?N.C(2)集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，U＝R.若M∩(?UN)＝，則a的取值范圍是(

)A.(1，＋∞) B.[1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1]BVenn圖的應(yīng)用拓展視野用平面上封閉圖形的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖.集合中圖形語言具有直觀形象的特點(diǎn)，將集合問題圖形化.利用Venn圖的直觀性，可以深刻理解集合的有關(guān)概念，快速進(jìn)行集合的運(yùn)算.解析由題知U＝{1，2，3，…，9}，根據(jù)題意，畫出Venn圖如圖所示，由Venn圖易得A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，6，8}.例1

設(shè)全集U＝{x|0<x<10，x∈N*}，若A∩B＝{3}，A∩(?UB)＝{1，5，7}，(?UA)∩(?UB)＝{9}，則A＝_______________，B＝____________________.{1，3，5，7}{2，3，4，6，8}解析如圖，用Venn圖表示該中學(xué)喜歡足球和游泳的學(xué)生所占的比例之間的關(guān)系，設(shè)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生占該中學(xué)學(xué)生總數(shù)的比例為x，則(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故選C.例2

(2020·新高考海南卷)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是(

) A.62% B.56% C.46% D.42%C3613FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3A級(jí)基礎(chǔ)鞏固A.{3} B.{1，6} C.{5，6} D.{1，3}1.(2021·新高考Ⅱ卷)設(shè)集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，則A∩(?UB)＝(

)B解析由題設(shè)可得?UB＝{1，5，6}，故A∩(?UB)＝{1，6}.A.(2，5) B.[2，5) C.(2，5] D.[2，5]2.(2021·鄭州模擬)設(shè)集合A＝{x|3x－1<m}，若1∈A且2?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)C解析∵A＝{x|3x－1<m}，1∈A且2?A，∴3×1－1<m且3×2－1≥m，解得2<m≤5.A.{x|x>－1} B.{x|x≥1}C.{x|－1<x<1} D.{x|1≤x<2}3.(2021·浙江卷)設(shè)集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1<x<2}，則A∩B＝(

)D解析因?yàn)榧螦＝{x|x≥1}，B＝{x|－1<x<2}，所以A∩B＝{x|1≤x<2}.故選D.A.－1 B.0 C.1 D.±14.(2022·河南名校聯(lián)考)已知集合A＝{a，a2，0}，B＝{1，2}，若A∩B＝{1}，則實(shí)數(shù)a的值為(

)A解析由題意a＝1或a2＝1，當(dāng)a＝1，此時(shí)A＝{1，1，0}與元素互異性矛盾，∴a＝－1，故選A.A.A∩B＝A B.A∪B＝B C.BA D.AB5.已知集合A＝{x∈Z|y＝log5(x＋1)}，B＝{x∈Z|x2－x－2<0}，則(

)C解析由x＋1>0，得x>－1，∴A＝{x∈Z|x>－1}＝{0，1，2，3，…}.由x2－x－2<0，得－1<x<2，∴B＝{0，1}，∴A∩B＝B，A∪B＝A，BA.A.0 B.1 C.2 D.36.設(shè)集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，則滿足M?(A∩B)的集合M的個(gè)數(shù)是(

)C由M?(A∩B)，知M＝或M＝{(2，－1)}.A.[－1，＋∞) B.[－1，1]∪[3，＋∞)C.[－1，1)∪(3，＋∞) D.[－1，1]∪(3，＋∞)7.(2022·太原模擬)已知集合M＝{x|(x－2)2≤1}，N＝{y|y＝x2－1}，則(?RM)∩N＝(

)C解析由已知可得M＝{x|－1≤x－2≤1}＝{x|1≤x≤3}，N＝{y|y≥－1}，∴?RM＝{x|x<1或x>3}，∴(?RM)∩N＝{x|－1≤x<1或x>3}.A.－2 B.2 C.3 D.48.設(shè)集合A＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，B＝{a}，若A∪B＝A，則a的最大值為(

)C解析因?yàn)锳＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，所以A＝{x|－2≤x≤3}.又因?yàn)锽＝{a}，且A∪B＝A，所以B?A，所以a的最大值為3.解析B＝{x|－2≤x－1≤2}＝{x|－1≤x≤3}，又A＝{－2，－1，0，1，2}，∴A∩B＝{－1，0，1，2}.9.(2021·合肥模擬)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{x||x－1|≤2}，則A∩B＝________________________.{－1，0，1，2}又B＝{x|1<x≤9}，所以(?RA)∩B＝(1，3).(1，3)解析由題意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c).由A?B，畫出數(shù)軸，如圖所示，得c≥1.11.已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A?B，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是___________.[1，＋∞)12.已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，若A＝B，則a＋b＝________.B級(jí)能力提升A.{－1，0，1} B.{－1，0}C.{－1，1} D.{0}13.若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，則圖中陰影部分所表示