新疆吐魯番市高昌區(qū)第二中學(xué)2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

新疆吐魯番市高昌區(qū)第二中學(xué)2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線(xiàn)，兩個(gè)不同的平面，，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則2．下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（）（1）是為雙曲線(xiàn)的充要條件；（2）若，則；（3）若，，則；（4）橢圓上的點(diǎn)距點(diǎn)最近的距離為；A.個(gè) B.個(gè)C.個(gè) D.個(gè)3．已知向量，且，則的值為（）A.4 B.2C.3 D.14．已知數(shù)列是等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（）A.54 B.71C.81 D.805．若動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足方程，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）A. B.C. D.6．已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為A. B.C. D.7．從集合{2,3,4,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)m,從集合{1,3,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)n,則向量=(m,n)與向量=(1,-1)垂直的概率為()A. B.C. D.8．函數(shù)的部分圖像為（）A. B.C. D.9．已知雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為，則a的值為（）A. B.C. D.210．若命題“或”與命題“非”都是真命題，則A.命題與命題都是真命題B.命題與命題都是假命題C.命題是真命題，命題是假命題D.命題是假命題，命題是真命題11．已知雙曲線(xiàn)的離心率為，則雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.12．已知三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，在的正北方向，相距，在的正東方向，相距.在某次爆炸點(diǎn)定位測(cè)試中，兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到爆炸聲，觀測(cè)點(diǎn)晚聽(tīng)到，已知聲速為，則爆炸點(diǎn)與觀測(cè)點(diǎn)的距離是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．觀察式子：，，，由此歸納，可猜測(cè)一般性的結(jié)論為_(kāi)_____.14．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則__________15．“五經(jīng)”是《詩(shī)經(jīng)》、《尚書(shū)》、《禮記》、《周易》、《春秋》的合稱(chēng)，貴為中國(guó)文化經(jīng)典著作，所載內(nèi)容及哲學(xué)思想至今仍具有積極意義和參考價(jià)值.某校計(jì)劃開(kāi)展“五經(jīng)”經(jīng)典誦讀比賽活動(dòng)，某班有、兩位同學(xué)參賽，比賽時(shí)每位同學(xué)從這本書(shū)中隨機(jī)抽取本選擇其中的內(nèi)容誦讀，則、兩位同學(xué)抽到同一本書(shū)的概率為_(kāi)_____.16．在長(zhǎng)方體中，M、N分別是BC、的中點(diǎn)，若，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正三棱柱中，，，，分別為，，的中點(diǎn)（1）證明：（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值18．（12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（其中，）與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)位于第一象限.（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）如圖，連接并延長(zhǎng)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，，設(shè)和的面積分別為和，則是否為定值？若是，求出其值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）過(guò)原點(diǎn)O的圓C，與x軸相交于點(diǎn)A(4,0)，與y軸相交于點(diǎn)B(0,2)(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線(xiàn)l過(guò)B點(diǎn)與圓C相切，求直線(xiàn)l的方程，并化為一般式20．（12分）如圖，在三棱錐中，側(cè)面PAB是邊長(zhǎng)為4的正三角形且與底面ABC垂直，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，H分別是棱PA，AB，BC，PC的中點(diǎn)（1）若點(diǎn)G在棱BC上，且BG＝3GC，求證：平面∥平面DHG；（2）若AC＝2，，求二面角的余弦值21．（12分）已知橢圓，離心率分別為左右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿(mǎn)足，且的面積為1.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn).過(guò)點(diǎn)且平行于的直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，證明：為定值.22．（10分）我國(guó)是世界最大的棉花消費(fèi)國(guó)、第二大棉花生產(chǎn)國(guó)，其中，新疆棉產(chǎn)量約占國(guó)內(nèi)產(chǎn)量的87%，消費(fèi)量約占國(guó)內(nèi)消費(fèi)量的67%．新疆棉的品質(zhì)高：纖維柔長(zhǎng)，潔白光澤，彈性良好，各項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)均超國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)．尤其是被授予“中國(guó)彩棉之鄉(xiāng)”稱(chēng)號(hào)的新疆建設(shè)兵團(tuán)一四八團(tuán)生產(chǎn)的天然彩棉，株型緊湊，吐絮集中，品質(zhì)優(yōu)良，色澤純正、艷麗，手感柔軟，適合中高檔紡織．新疆彩棉根據(jù)色澤、手感、纖維長(zhǎng)度等評(píng)分指標(biāo)打分，得分在區(qū)間內(nèi)分別對(duì)應(yīng)四級(jí)、三級(jí)、二級(jí)、一級(jí)．某經(jīng)銷(xiāo)商從采購(gòu)的新蚯彩棉中隨機(jī)抽取20包（每包1kg），得分?jǐn)?shù)據(jù)如圖（1）試統(tǒng)計(jì)各等級(jí)數(shù)量，并估計(jì)各等級(jí)在該批彩棉中所占比例；（2）用樣本估計(jì)總體，經(jīng)銷(xiāo)商參考以下兩種銷(xiāo)售方案進(jìn)行銷(xiāo)售：方案1：不分等級(jí)賣(mài)出，單價(jià)為1.79萬(wàn)元/噸；方案2：分等級(jí)賣(mài)出，不同等級(jí)的新疆彩棉售價(jià)如下表所示：等級(jí)一級(jí)二級(jí)三級(jí)四級(jí)售價(jià)（萬(wàn)元/噸）若從經(jīng)銷(xiāo)商老板的角度考慮，采用哪種方案較好？并說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】對(duì)于A,可能在內(nèi)，故可判斷A；對(duì)于B,可能相交，故可判斷B;對(duì)于C,根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理，可判定C;對(duì)于D,和可能平行，或斜交或在內(nèi)，故可判斷D.【題目詳解】對(duì)于A,除了外，還有可能在內(nèi)，故可判斷A錯(cuò)誤；對(duì)于B,，那么可能相交，故可判斷B錯(cuò)誤；對(duì)于C,根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可知，在內(nèi)一定存在和平行的直線(xiàn)，那么該直線(xiàn)也垂直于，所以，故判定C正確;對(duì)于D，，，則和可能平行，或斜交或在內(nèi)，故可判D.錯(cuò)誤，故選：C.2、A【解題分析】利用方程表示雙曲線(xiàn)求出的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系可判斷（1）的正誤；直接判斷命題的正誤，可判斷（2）的正誤；利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷（3）的正誤；利用橢圓的有界性可判斷（4）的正誤.【題目詳解】對(duì)于（1），若曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)，則，即，解得或，因?yàn)榛?，因此，是為雙曲線(xiàn)的充分不必要條件，（1）錯(cuò)；對(duì)于（2），若，則或，（2）錯(cuò)；對(duì)于（3），，則，（3）對(duì)；對(duì)于（4），設(shè)點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則且，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，（4）錯(cuò).故選：A.3、A【解題分析】由題意可得，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列方程，解方程即可求解.【題目詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)橄蛄?，，所以，解得，所以的值為，故選：A.4、C【解題分析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.【題目詳解】∵是等差數(shù)列，，∴，得，∴.故選：C.5、A【解題分析】根據(jù)方程可以利用幾何意義得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，從而求出軌跡方程.【題目詳解】由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：A6、D【解題分析】設(shè)，則，.所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選D.7、A【解題分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)乘法原理求得所有的)共有12個(gè)，滿(mǎn)足兩個(gè)向量垂直的共有2個(gè)，利用古典概型公式可得結(jié)果.【題目詳解】集合{2,3,4,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù),有4種方法；從集合{1,3,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，有3種方法，所以，所有的共有個(gè)，由向量與向量垂直,可得，即,故滿(mǎn)足向量與向量垂直的共有2個(gè)：，所以向量與向量垂直的概率為，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分步計(jì)數(shù)乘法原理的應(yīng)用、向量垂直的性質(zhì)以及古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于中檔題.在解古典概型概率題時(shí)，首先求出樣本空間中基本事件的總數(shù)，其次求出概率事件中含有多少個(gè)基本事件，然后根據(jù)公式求得概率.8、D【解題分析】先判斷奇偶性排除C，再利用排除B，求導(dǎo)判斷單調(diào)性可排除A.【題目詳解】因?yàn)?，所以為偶函?shù)，排除C；因?yàn)?，排除B；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，排除A.故選：D9、A【解題分析】由雙曲線(xiàn)方程，根據(jù)其漸近線(xiàn)方程有，求參數(shù)值即可.【題目詳解】由漸近線(xiàn)，結(jié)合雙曲線(xiàn)方程，∴，可得.故選：A.10、D【解題分析】因?yàn)榉莗為真命題，所以p為假命題，又p或q為真命題，所以q為真命題，選D.11、B【解題分析】根據(jù)a的值和離心率可求得b,從而求得漸近線(xiàn)方程.【題目詳解】由雙曲線(xiàn)的離心率為，知，則，即有，故，所以雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為，即，故選：B.12、D【解題分析】根據(jù)題意作出示意圖，然后結(jié)合余弦定理解三角形即可求出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)爆炸點(diǎn)為，由于兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到爆炸聲，則點(diǎn)位于的垂直平分線(xiàn)上，又在的正東方向且觀測(cè)點(diǎn)晚聽(tīng)到，則點(diǎn)位于的左側(cè)，，,，設(shè)，則，解得，則爆炸點(diǎn)與觀測(cè)點(diǎn)的距離為，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】根據(jù)規(guī)律，不等式的左邊是個(gè)自然數(shù)倒數(shù)的平方的和，右邊分母是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，分子是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，由此可得結(jié)論【題目詳解】解：觀察可以發(fā)現(xiàn)，第個(gè)不等式左端有項(xiàng)，分子為1，分母依次為，，，，；右端分母為，分子成等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2，因此第個(gè)不等式（）故答案為：（）14、【解題分析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和，即可求得答案.【題目詳解】是等差數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的公差根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：可得即：整理可得：解得：根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：可得：.故答案：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了求等差數(shù)列的前項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、##【解題分析】計(jì)算出、兩位同學(xué)各隨機(jī)抽出一本書(shū)的結(jié)果種數(shù)，以及、兩位同學(xué)抽到同一本書(shū)的結(jié)果種數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【題目詳解】、兩位同學(xué)抽到的結(jié)果都有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，、兩位同學(xué)各隨機(jī)抽出一本書(shū)，共有種結(jié)果，而、兩位同學(xué)抽到同一本書(shū)的結(jié)果有種，故所求概率為.故答案為：.16、－2【解題分析】作出圖像，根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合空間向量的加減法運(yùn)算法則即可求解.【題目詳解】，∴，，，故答案為：－2.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解題分析】（1）由已知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別表示出B、D、E、F點(diǎn)的坐標(biāo)，然后通過(guò)計(jì)算向量數(shù)量積來(lái)進(jìn)行證明；（2）由第（1）建立的空間直角坐標(biāo)系，分別表示出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后計(jì)算平面與平面的法向量，然后通過(guò)法向量去計(jì)算兩平面所成的銳二面角即可.【小問(wèn)1詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，的方向分別為，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，，，分別為，，的中點(diǎn)，則，，證明：因?yàn)?，，所以，所以【小?wèn)2詳解】設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，所以，令，得設(shè)平面的法向量為，則令，得因?yàn)樗云矫媾c平面所成銳二面角的余弦值為18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）是定值，定值為.【解題分析】（1）設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程得到韋達(dá)定理，再利用韋達(dá)定理求出，即得證；（2）設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程得到韋達(dá)定理，再求出，，即得解.【題目詳解】（1）設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程，消去，得，所以.所以即.（2）設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程，消去，得，故.設(shè)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程，消去得，從而，則，同理可得，，即定值.19、（1）；（2）【解題分析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則分別代入原點(diǎn)和，得到方程組，解出即可得到；（2）由（1）得到圓心為，半徑，由于直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)與圓相切，則分別討論斜率存在與否，運(yùn)用直線(xiàn)與圓相切的條件：，解方程即可得到所求直線(xiàn)方程.【題目詳解】(1)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則分別代入原點(diǎn)和，得到，解得則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)由(1)得到圓心為，半徑，由于直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)與圓相切，當(dāng)時(shí)，到的距離為2，不合題意，舍去；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，由直線(xiàn)與圓相切，得到，即有，解得，故直線(xiàn)，即為點(diǎn)睛：本題考查直線(xiàn)與圓位置關(guān)系，考查圓的方程的求法和直線(xiàn)與圓相切的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題；圓的方程有一般形式與標(biāo)準(zhǔn)形式，在該題中利用待定系數(shù)法將其設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)形式，列、解出方程組即可；當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)等價(jià)于圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，已知直線(xiàn)上一點(diǎn)寫(xiě)出直線(xiàn)的方程需注意斜率不存在的情形.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】（1）由中位線(xiàn)的性質(zhì)可得、、，再由線(xiàn)面平行的判定可證平面PEF、平面PEF，最后根據(jù)面面平行的判定證明結(jié)論.（2）應(yīng)用勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、面面和線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可證、、兩兩垂直，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求面BPC、面PCA的法向量，再應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镈，H分別是PA，PC的中點(diǎn)，所以因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，所以，綜上，，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF由題意，G是CF的中點(diǎn)，又H是PC的中點(diǎn)，所以，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF由，HG，平面DHG，所以平面平面DHG【小問(wèn)2詳解】在△ABC中，AB＝4，AC＝2，，所以，所以，又，則因?yàn)椤鱌AB為等邊三角形，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，所以，又平面平面ABC，平面平面ABC＝AB，所以平面ABC，面ABC，故綜上，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以EB，EF，EP所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，有，，，，則，，設(shè)平面BPC的法向量為，則，令，則設(shè)平面PCA的法向量為，則，令，則所以．由圖知，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為21、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解題分析】（1）方法一：根據(jù)離心率以及，可得出，將條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在以為直徑的圓上，即為圓與橢圓的交點(diǎn)，將的面積用表示，求出，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；方法二：根據(jù)橢圓的定義，，再根據(jù)勾股定理和直角三角形的面積公式，即可解得，又由離心率求出，則可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，代入橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出，再將直線(xiàn)的方程代