四川省成都市九校2024年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

四川省成都市九校2024年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.60 B.80C.90 D.1002．在等差數(shù)列中，，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則為（）A. B.C. D.4．已知拋物線內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，則直線的方程為（）A. B.C D.5．已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)m等于（）A. B.C. D.6．如圖，四棱錐的底面是矩形，設(shè)，，，是棱上一點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.7．設(shè)、是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則的離心率為A. B.C. D.8．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B.C. D.9．函數(shù)在單調(diào)遞增的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.10．一個幾何體的三視圖都是半徑為1的圓，在該幾何體內(nèi)放置一個高度為1的長方體，則長方體的體積最大值為（）A. B.C. D.111．命題“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A.?x∈R，|x|+x2<0 B.?x∈R，|x|+x2≤0C.?x0∈R，|x0|+<0 D.?x0∈R，|x0|+≥012．過拋物線的焦點(diǎn)作互相垂直的弦，則的最小值為（）A.16 B.18C.32 D.64二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知在時有極值0，則的值為____14．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線，已知的頂點(diǎn)、，其歐拉線的方程為，則的外接圓方程為______.15．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難人微”.事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：與相關(guān)的代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得方程的解是__________.16．已知點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)M(0，2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為______________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖,是平行四邊形，已知，,平面平面.（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成二面角的平面角的余弦值18．（12分）已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知曲線上一點(diǎn)，動圓，且點(diǎn)在圓外，過點(diǎn)作圓的兩條切線分別交曲線于點(diǎn)，.（i）求證：直線的斜率為定值；（ii）若直線與交于點(diǎn)，且時，求直線的方程.19．（12分）已知動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離相等.（1）求動點(diǎn)的軌跡方程；（2）若過點(diǎn)且斜率為的直線與動點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，求三角形AOB的面積.20．（12分）已知函數(shù)（1）若在上不單調(diào)，求a的范圍；（2）試討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)21．（12分）已知函數(shù)（1）若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（2）若是方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，證明：22．（10分）中國共產(chǎn)黨建黨100周年華誕之際，某高校積極響應(yīng)黨和國家的號召，通過“增強(qiáng)防疫意識，激發(fā)愛國情懷”知識競賽活動，來回顧中國共產(chǎn)黨從成立到發(fā)展壯大的心路歷程，表達(dá)對建黨100周年以來的豐功偉績的傳頌．教務(wù)處為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖（1）求值并估計(jì)中位數(shù)所在區(qū)間（2）需要從參賽選手中選出6人代表學(xué)校參與省里的此類比賽，你認(rèn)為怎么選最合理，并說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】由題設(shè)條件求出，從而可求.【題目詳解】設(shè)公差為，因?yàn)椋?，故，解得，故，故選：D.2、A【解題分析】根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于的不等式，從而可求的取值范圍.【題目詳解】設(shè)公差為，因?yàn)椋?，所以，即，從?故選：A.3、C【解題分析】直接由等差數(shù)列求和公式結(jié)合，求出，再由求和公式求出即可.【題目詳解】由題意知：，解得，則.故選：C.4、B【解題分析】利用點(diǎn)差法求出直線斜率，即可得出直線方程.【題目詳解】設(shè)，則，兩式相減得，即，則直線方程為，即.故選：B.5、A【解題分析】根據(jù)給定條件求出，再求出圓O到直線l的距離即可計(jì)算作答.【題目詳解】圓的圓心O，半徑，因，則，而，則，即是正三角形，點(diǎn)O到直線l的距離，因此，，解得，所以實(shí)數(shù)m等于.故選：A6、B【解題分析】根據(jù)空間向量基本定理求解【題目詳解】由已知故選：B7、C【解題分析】如下圖所示，是底角為的等腰三角形，則有所以，所以又因?yàn)?，所以，，所以所以答案選C.考點(diǎn)：橢圓的簡單幾何性質(zhì).8、C【解題分析】利用，把代入中，即可求出答案.【題目詳解】當(dāng)時，.當(dāng)時，.故選：C.9、D【解題分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由于函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，可得在區(qū)間上恒成立，求出的范圍，再根據(jù)充分必要條件的定義即可判斷得解.【題目詳解】由題得，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間上恒成立，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，選項(xiàng)中只有是的必要不充分條件.選項(xiàng)AC是的充分不必要條件，選項(xiàng)B是充要條件.故選：D10、B【解題分析】根據(jù)題意得到幾何體為半徑為1的球，長方體的體對角線為球的直徑時，長方體體積最大，設(shè)出長方體的長和寬，得到等量關(guān)系，利用基本不等式求解體積最大值.【題目詳解】由題意得：此幾何體為半徑為1的球，長方體為球的內(nèi)接長方體時，體積最大，此時長方體的體對角線為球的直徑，設(shè)長方體長為，寬為，則由題意得：，解得：，而長方體體積為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選：B11、C【解題分析】利用全稱命題的否定可得出結(jié)論.【題目詳解】由全稱命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：C.12、B【解題分析】根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，分別設(shè)出，所在直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式求得，，然后利用基本不等式求最值.【題目詳解】拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線的直線方程為，則直線的方程為.，，，.由，得，，同理可得..當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.所以的最小值為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、11【解題分析】由題知，且，所以，得或，①當(dāng)時，，此時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增無極值，舍去②當(dāng)時，，此時，是函數(shù)的極值點(diǎn)，符合題意，∴14、【解題分析】求出線段的垂直平分線方程，與歐拉線方程聯(lián)立，求出的外接圓圓心坐標(biāo)，并求出外接圓的半徑，由此可得出的外接圓方程.【題目詳解】直線的斜率為，線段的中點(diǎn)為，所以，線段的垂直平分線的斜率為，則線段垂直平分線方程為，即，聯(lián)立，解得，即的外心為，所以，的外接圓的半徑為，因此，的外接圓方程為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：求圓的方程，主要有兩種方法：（1）幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理如：①圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線；（2）待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個獨(dú)立等式15、【解題分析】根據(jù)題意，列方程計(jì)算即可【題目詳解】因?yàn)?，所以，可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為，所以點(diǎn)在橢圓上，則，解得.故答案為：16、【解題分析】由拋物線的定義得：，所以，當(dāng)三點(diǎn)共線時，最小可得答案.【題目詳解】如圖所示：，由拋物線的定義得：，所以，由圖象知：當(dāng)三點(diǎn)共線時，最小，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解題分析】（1）推導(dǎo)出，取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，可推出，從而平面，進(jìn)而，由此得到平面，從而；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，以過點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面與平面所成二面角的余弦值【題目詳解】（1）∵是平行四邊形，且∴，故，即取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF.∵∴又∵平面平面∴平面∵平面∴∵平面∴平面，∵平面∴（2）∵,由（Ⅰ）得以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，則∴設(shè)平面的法向量為，則，即得平面一個法向量為由（1）知平面，所以可設(shè)平面的法向量為設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則即平面與平面所成二面角的平面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】用空間向量求解立體幾何問題的注意點(diǎn)（1）建立坐標(biāo)系時要確保條件具備，即要證明得到兩兩垂直的三條直線，建系后要準(zhǔn)確求得所需點(diǎn)的坐標(biāo)（2）用平面的法向量求二面角的大小時，要注意向量的夾角與二面角大小間的關(guān)系，這點(diǎn)需要通過觀察圖形來判斷二面角是銳角還是鈍角，然后作出正確的結(jié)論18、（1）（2）（i）答案見解析（ii）或【解題分析】（1）通過幾何關(guān)系可知，且,由此可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且實(shí)軸長為的雙曲線，通過雙曲線的定義即可求解；（2）（i）設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理及求出，即得到直線的斜率為定值；（ii）由（i）可知，由已知可得，聯(lián)立方程即可求出，的值，代入即可求出的值，即可得到直線方程.【小問1詳解】由題意可知,∵,且,∴根據(jù)雙曲線的定義可知，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且實(shí)軸長為的雙曲線，即，，，則點(diǎn)的軌跡方程為；【小問2詳解】（i）設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為，聯(lián)立得，其中，且，，，∵曲線上一點(diǎn)，∴，由已知條件得直線和直線關(guān)于對稱，則，即，整理得，，，，即，則或，當(dāng)，直線方程為，此直線過定點(diǎn)，應(yīng)舍去，故直線的斜率為定值.（ii）由（i）可知，由已知得，即，當(dāng)時，，，即，，，解得或，但是當(dāng)時，，故應(yīng)舍去，當(dāng)時，直線方程為，當(dāng)時，，即，，，解得（舍去）或，當(dāng)時，直線方程為,故直線的方程為或.19、（1）（2）【解題分析】小問1：由拋物線的定義可求得動點(diǎn)的軌跡方程；小問2：可知直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出的值，利用拋物線的定義可求得的值，結(jié)合面積公式即可求解小問1詳解】由題意點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以，則，所以動點(diǎn)的軌跡方程是.【小問2詳解】由已知直線的方程是，設(shè)、，由得，，所以，則，故，20、（1）（2）答案見解析【解題分析】（1）由：存在使來求得的取值范圍.（2）利用分離常數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得零點(diǎn)個數(shù).【小問1詳解】，在上遞增，由于在上不單調(diào)，所以存使，，所以.【小問2詳解】，令，當(dāng)時，，構(gòu)造函數(shù)，，所以在遞減；在遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，；.由此畫出大致圖象如下圖所示，所以，當(dāng)時，有個零點(diǎn)，當(dāng)時，沒有零點(diǎn)，當(dāng)時，有個零點(diǎn).21、（1）；（2）詳見解析【解題分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，參變分離后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）將方程的實(shí)數(shù)根代入方程，再變形得到，利用分析法，轉(zhuǎn)化為證明，通過換元，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)證明，恒成立.【小問1詳解】，，在上單調(diào)遞減，在上恒成立，即，即在，設(shè)，，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值是，所以；【小問2詳解】若是方程兩個不相等的實(shí)數(shù)根，即又2個不同實(shí)數(shù)根，且，，得，即，所以，不妨設(shè)，則，要證明，只需證明，即證明，即證明，令，，令函數(shù)，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以，，所以，即，即得【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，以及證明不等式，屬于