2021年上海市普陀區(qū)教育學(xué)院附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

2021年上海市普陀區(qū)教育學(xué)院附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)命題：方程的兩根符號不同；命題：方程的兩根之和為3，判斷命題“”、“”、“”、“”為假命題的個數(shù)為(

)A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：C2.若隨機變量，且，則的值是（）A. B. C. D.參考答案：C【詳解】試題分析：根據(jù)隨機變量符合二項分布，根據(jù)期望值求出n的值，寫出對應(yīng)的自變量的概率的計算公式，代入自變量等于1時的值．解：∵E（X）=3，∴0.6n=3，∴n=5∴P（X=1）=C51（0.6）1（0.4）4=3×0.44故選C．考點：二項分布與n次獨立重復(fù)試驗的模型．3.若數(shù)列{an}的通項公式是an=（﹣1）n（3n﹣2），則a1+a2+…+a10=(

)A．15 B．12 C．﹣12 D．﹣15參考答案：A【考點】數(shù)列的求和．【專題】計算題．【分析】通過觀察數(shù)列的通項公式可知，數(shù)列的每相鄰的兩項的和為常數(shù)，進而可求解．【解答】解：依題意可知a1+a2=3，a3+a4=3…a9+a10=3∴a1+a2+…+a10=5×3=15故選A．【點評】本題主要考查了數(shù)列求和．對于搖擺數(shù)列，常用的方法就是隔項取值，找出規(guī)律．4.某中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在2000名學(xué)生中隨機抽取100名，并統(tǒng)計這100名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖(如下圖)．根據(jù)頻率分布直方圖推測，這2000名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績小于60分的學(xué)生數(shù)是（

）A.20

B.40

C.400

D.600參考答案：C5.在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對邊，若A=60°，b=1，c=2，則a=（）A．1 B． C．2 D．參考答案：B【考點】余弦定理．【分析】直接利用余弦定理求解即可．【解答】解：因為在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對邊，若A=60°，b=1，c=2，所以由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2×=3．所以a=．故選B．6.與圓及圓都外切的動圓的圓心在（

）A、一個圓上

B、一個橢圓上

C、雙曲線的一支上

D、一條拋物線上參考答案：C7.某校高中生共有900人，其中高一年級300人，高二年級200人，高三年級400人，現(xiàn)采用分層抽樣抽取一個容量為45的樣本，那么高一、高二、高三各年級抽取人數(shù)分別為(

)A.15，5，25

B.15，15，15

C.10，5，30

D.15，10，20

參考答案：D略8.設(shè)若0<a<b<c,且f(a)>f(b)>f(c),則下列結(jié)論中正確的是A

(a-1)(c-1)>0

B

ac>1

C

ac=1

D

ac>1參考答案：D9.已知正數(shù)，則的最小值為

（

）A．6

B．5

C．

D．參考答案：C10.兩等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和的比，則的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知三個球的半徑，，滿足，則它們的表面積，，，滿足的等量關(guān)系是___________參考答案：12.已知單調(diào)遞減數(shù)列{an}的前n項和為Sn，，且，則_____.參考答案：【分析】根據(jù)，再寫出一個等式：，利用兩等式判斷并得到等差數(shù)列{an}的通項，然后求值.【詳解】當(dāng)時，，∴．當(dāng)時，，①，②①②，得，化簡得，或，∵數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，且，∴舍去．∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且，公差，故．【點睛】在數(shù)列{an}中，其前項和為，則有：，利用此關(guān)系，可將與的遞推公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等式，從而判斷{an}的特點.13.下列各圖中，、為正方體的兩個頂點，、、分別為其所在棱的中點，能得出//平面的圖形的序號是_____________．參考答案：①③略14.在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a=，b=2，B=45°，則角A=

．參考答案：30°【考點】余弦定理．【分析】根據(jù)正弦定理，求出sinA的值，再根據(jù)大邊對大角以及特殊角的三角函數(shù)值，即可求出A的值．【解答】解：△ABC中，a=，b=2，B=45°，由正弦定理得，=，即=，解得sinA=，又a＜b，∴A＜B，∴A=30°．故答案為：30°．15.設(shè)a，b，c為單位向量，且a·b＝0，則(a－c)·(b－c)的最小值為________．參考答案：16.已知點A（4，0），拋物線C：x2=8y的焦點為F，射線FA與拋物線和它的準線分別交于點M和N，則|FM|：|MN|=．參考答案：1：【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】如圖所示，由拋物線定義知|MF|=|MH|，得到|FM|：|MN|=|MH|：|MN|，根據(jù)△MHN∽△FOA，即可求出答案．【解答】解：如圖所示，由拋物線定義知|MF|=|MH|，所以|FM|：|MN|=|MH|：|MN|．由于△MHN∽△FOA，則===，則|MH|：|MN|=1：，即|FM|：|MN|=1：．故答案為：1：17.某市有A、B、C三所學(xué)校共有高二學(xué)生1500人，且A、B、C三所學(xué)校的高二學(xué)生人數(shù)成等差數(shù)列，在進行全市聯(lián)考后，準備用分層抽樣的方法從所有高二學(xué)生中抽取容量為120的樣本進行成績分析，則應(yīng)從B校學(xué)生中抽取________人.

參考答案：40略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一個頂點的坐標為，離心率為．直線與橢圓交于兩點．（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓的右焦點恰好為的垂心，求直線的方程．參考答案：（1）設(shè)橢圓的方程為，則由題意知．所以，解得．所以橢圓的方程為．

（2）易知直線的斜率為，從而直線的斜率為．設(shè)直線的方程為，，，，由得.根據(jù)韋達定理，，.于是解之得或.當(dāng)時，點即為直線與橢圓的交點，不合題意；當(dāng)時，經(jīng)檢驗知和橢圓相交，符合題意．所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線的方程為時，點是的垂心.19.（12分）（2015秋?洛陽期中）已知等比數(shù)列{an}的公比q＞1，前n項和為Sn，并且滿足a2+a3+a4=28，a3+2是a2和a4的等差中項．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若bn=anlogan，Sn=b1+b2+…+bn，求使Sn＞254﹣n?2n+1成立的正整數(shù)n的最小值．參考答案：【考點】數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列的求和．

【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（1）依題意有2（a3+2）=a2+a4，又a2+a3+a4=28，故a3=8．a(chǎn)2+a4=20．由此能夠推導(dǎo)出an=2n．（2）bn=anlogan=2n?2n=﹣n?2n，由錯位相減法可得Sn，再由Sn＞254﹣n?2n+1，解不等式即可得到n的最小值．【解答】解：（1）依題意有2（a3+2）=a2+a4，又a2+a3+a4=28，解得3=8．所以a2+a4=20．于是有，解得或，又{an}是遞增的，故a1=2，q=2．所以an=2n．（2）bn=anlogan=2n?2n=﹣n?2n，﹣Sn=1?2+2?22+3?23+…+n?2n，﹣2Sn=1?22+2?23+3?24+…+n?2n+1，相減可得Sn=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1=﹣n?2n+1=2n+1﹣2﹣n?2n+1，由Sn＞254﹣n?2n+1，可得2n+1＞256=28，即為n+1＞8，即n＞7，則n的最小值為8．【點評】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活地運用公式解答．20.如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，，EF=2，BE=3，CF=4．（Ⅰ）求證：EF⊥平面DCE；（Ⅱ）當(dāng)AB的長為何值時，二面角A﹣EF﹣C的大小為60°．參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定．【專題】計算題；證明題．【分析】（I）由已知中在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，由勾股定理，我們易得EF⊥CE，由矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，可得DC⊥平面EFCB，則DC⊥EF，進而由線面垂直的判定定理得到答案．（II）方法一（幾何法）過點B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連接AH，由三垂線定理及二面角的平面角的定義，易得∠AHB為二面角A﹣EF﹣C的平面角，解Rt△CEF，即可求出二面角A﹣EF﹣C的大小為60°時，AB的長．方法二（向量法）以點C為坐標原點，以CB，CF和CD分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標系C﹣xyz，設(shè)AB=a，分別求出平面AEF的法向量和平面EFCB的法向量，代入向量夾角公式，由二面角A﹣EF﹣C的大小為60°，構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程求出a值．【解答】證明：（Ⅰ）在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，∴EC=，∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE由已知條件知，DC⊥平面EFCB，∴DC⊥EF，又DC與EC相交于C，∴EF⊥平面DCE解：（Ⅱ）方法一：過點B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連接AH．由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，從而AH⊥EF．所以∠AHB為二面角A﹣EF﹣C的平面角．在Rt△CEF中，因為EF=2，CF=4．EC=∴∠CEF=90°，由CE∥BH，得∠BHE=90°，又在Rt△BHE中，BE=3，∴由二面角A﹣EF﹣C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得，所以當(dāng)時，二面角A﹣EF﹣C的大小為60°方法二：如圖，以點C為坐標原點，以CB，CF和CD分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標系C﹣xyz．設(shè)AB=a（a＞0），則C（0，0，0），A（，0，a），B（，0，0），E（，3，0），F(xiàn)（0，4，0）．從而，設(shè)平面AEF的法向量為，由得，，取x=1，則，即，不妨設(shè)平面EFCB的法向量為，由條件，得解得．所以當(dāng)時，二面角A﹣EF﹣C的大小為60°．【點評】本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，其中（I）的關(guān)鍵是熟練掌握線線垂直、線面垂直與面面垂直的之間的相互轉(zhuǎn)化，（II）的關(guān)鍵是建立空間坐標系，將二面角問題，轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題．21.(本小題滿分12分)已知橢圓的離心率，A，B分別為橢圓的長軸和短軸的端點，為AB的中點，O為坐標原點，且.(1)求橢圓的方程;(2)過(-1,0)的直線交橢圓于P,Q兩點,求△POQ面積最大時直線的方程.參考答案：（1），

（2）22.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=3a，BC=2a，D是BC的中點，E，F(xiàn)分別是A1A，C1C上一點，且AE=CF=2a．（1）求證：B1F⊥平面ADF；（2）求三棱錐B1-ADF的體積；（3）求證：BE∥平面ADF．．

參考答案：（1）證明：∵AB=AC，D為BC中點，∴AD⊥BC．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∵B1B⊥底面ABC，AD底面AB