高中數(shù)學(xué)北師大版必修平面向量及其應(yīng)用6平面向量的應(yīng)用余弦定理與正弦定理余弦定理

第1課時(shí)余弦定理課標(biāo)闡釋

1.掌握余弦定理及其變形.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)2.掌握余弦定理的證明過(guò)程.(邏輯推理)3.能夠利用余弦定理解決有關(guān)問(wèn)題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)思維脈絡(luò)

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥隧道工程的設(shè)計(jì),經(jīng)常要測(cè)算山腳的長(zhǎng)度,工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)?shù)奈恢肁,量出A到山腳B,C的距離,再利用經(jīng)緯儀測(cè)出A對(duì)山腳BC(即線段BC)的張角,那么如何求出山腳的長(zhǎng)度BC呢(如圖)?顯然,用以前所學(xué)知識(shí)很難解決這個(gè)問(wèn)題,為此我們來(lái)學(xué)習(xí)一種新的解決辦法——余弦定理.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥一、余弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的兩倍,即a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.名師點(diǎn)析1.對(duì)余弦定理的理解(1)適用范圍:余弦定理對(duì)任意三角形都成立.(2)揭示規(guī)律:余弦定理指出了三角形的三條邊與其中一個(gè)角之間的關(guān)系,若已知三角形的兩邊及其夾角,可以直接求其第三邊.實(shí)際上,若已知其中的任何三個(gè)量,都可以求出第四個(gè)量.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥2.余弦定理與勾股定理的關(guān)系在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos

C,若角C=90°,則cos

C=0,于是c2=a2+b2-2a·b·0=a2+b2,這說(shuō)明勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推廣.設(shè)c是△ABC中最大的邊(或C是△ABC中最大的角),則a2+b2<c2?△ABC是鈍角三角形,且角C為鈍角;a2+b2=c2?△ABC是直角三角形,且角C為直角;a2+b2>c2?△ABC是銳角三角形,且角C為銳角.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考你能否建立坐標(biāo)系,結(jié)合解直角三角形的知識(shí)用解析法證明余弦定理?提示如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn),以△ABC的邊AB所在直線為x軸,以過(guò)點(diǎn)A與AB垂直的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),C(bcos

A,bsin

A),B(c,0).由兩點(diǎn)間的距離公式得BC2=(bcos

A-c)2+(bsin

A-0)2,即a2=b2cos2A-2bccos

A+c2+b2sin2A=b2+c2-2bccos

A.同理可證b2=a2+c2-2accos

B;c2=a2+b2-2abcos

C.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)在△ABC中,AB=4,BC=3,B=60°,則AC等于

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激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥二、余弦定理的變形

名師點(diǎn)析對(duì)余弦定理變形的理解(1)利用余弦定理解三角形時(shí),要注意根據(jù)條件恰當(dāng)選取公式.一般地,求邊長(zhǎng)時(shí),使用余弦定理;求角時(shí),使用余弦定理的變形.(2)余弦定理及其變形在結(jié)構(gòu)上有所不同,因此在應(yīng)用它們解三角形時(shí)要根據(jù)條件靈活選擇.(3)應(yīng)用變形,可以由三角形的三邊計(jì)算出三角形的三個(gè)內(nèi)角.(4)余弦定理及變形把用“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”判定三角形全等的方法從數(shù)量化的角度進(jìn)行了刻畫(huà),使其變成了可以計(jì)算的公式.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)邊長(zhǎng)為5,7,8的三角形中,最大角與最小角的和是

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解析設(shè)中間角為θ,由于8>7>5,故θ的對(duì)邊長(zhǎng)為7,由余弦定理,得答案120°激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥三、三角形的面積公式1.在△ABC中,若ha,hb,hc分別表示邊a,b,c上的高,則激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)在△ABC中,AB=,D為BC的中點(diǎn),AD=1,∠BAD=30°,則△ABC的面積S△ABC=

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探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)已知兩邊及一角解三角形

探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法已知三角形的兩邊及一角解三角形,必須先判斷該角是給出兩邊中一邊的對(duì)角,還是給出兩邊的夾角.若是給出兩邊的夾角,則可以由余弦定理求第三邊;若是給出兩邊中一邊的對(duì)角,則可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三邊.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)已知三邊解三角形例2(1)在△ABC中,若a2+b2+ab=c2,則角C=

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探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

已知三角形的三邊解三角形的步驟1.分別用余弦定理的變形求出兩個(gè)角;2.用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)利用余弦定理判斷三角形的形狀例3(1)在△ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cosAsinB=sinC,試判斷三角形的形狀.(2)在△ABC中,若acosB+acosC=b+c,試判斷該三角形的形狀.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)解(1)因?yàn)锳+B+C=180°,所以sin

C=sin(A+B).因?yàn)?cos

Asin

B=sin

C,所以2cos

Asin

B=sin

Acos

B+cos

Asin

B,所以sin

Acos

B-cos

Asin

B=0,所以sin(A-B)=0.因?yàn)?°<A<180°,0°<B<180°,所以-180°<A-B<180°,所以A-B=0°,即A=B.又(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以a2+b2-c2=ab,所以cos

C=.因?yàn)?°<C<180°,所以C=60°,所以△ABC為等邊三角形.(2)由acos

B+acos

C=b+c結(jié)合余弦定理,得(b+c)(a2-b2-c2)=0.因?yàn)閎+c≠0,所以a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

1.利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí),需使用轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題.一般有兩條思考路線:(1)先化邊為角,再進(jìn)行三角恒等變換,求出三角之間的數(shù)量關(guān)系.(2)先化角為邊,再進(jìn)行代數(shù)恒等變換,求出三邊之間的數(shù)量關(guān)系.2.判斷三角形的形狀時(shí),經(jīng)常用到以下結(jié)論:(1)△ABC為直角三角形?a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.(2)△ABC為銳角三角形?a2+b2>c2,且b2+c2>a2,且c2+a2>b2.(3)△ABC為鈍角三角形?a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2.(4)若sin

2A=sin

2B,則A=B或A+B=.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若c2=bccosA+cacosB+abcosC,則△ABC是

三角形.(填“銳角”“直角”或“鈍角”)

答案直角

探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)有關(guān)三角形的面積問(wèn)題例4已知角A,B,C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角,且其對(duì)邊分別為a,b,c,探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練3已知△ABC中,A=120°,a=7,b+c=8,求b,c及△ABC的面積.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)1.在△ABC中,若a<b<c,且c2<a2+b2,則△ABC為(

)A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.不存在解析因?yàn)閏2<a2+b2,所以C為銳角.因?yàn)閍<b<c,所以C為最大角,所以△ABC為銳角三角形.答案B探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)答案C探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)3.已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和5,它們的夾角的余弦是方程2x2+3x-2=0的根,則第