高中數(shù)學(xué)北師大版(2022)必修函數(shù)1生活中的變量關(guān)系1生活中的變量關(guān)系（23張）

第二章函數(shù)§1生活中的變量關(guān)系

現(xiàn)實(shí)世界充滿著變量。一些變量之間存在著依賴關(guān)系。你能舉出一些生活中存在依賴關(guān)系的變量嗎？在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念。觀察生活中現(xiàn)象，體會(huì)變量之間的關(guān)系（數(shù)學(xué)抽象）會(huì)判斷哪些變量間的依賴關(guān)系能構(gòu)成函數(shù)（邏輯推理）例1.在高速公路加油站地下常用圓柱體儲(chǔ)油罐儲(chǔ)存汽油等燃料。儲(chǔ)油罐的長度d、截面半徑r是常量，油面高度h、油面寬度w、儲(chǔ)油量V是變量。探究一

生活中的變量關(guān)系儲(chǔ)油量V與油面高度h存在著依賴關(guān)系，也與油面寬度w存在著依賴關(guān)系。對(duì)于油面高度h的每一個(gè)取值，都有唯一的儲(chǔ)油量V和它對(duì)應(yīng)。但是取一個(gè)油面寬度w的值，卻對(duì)應(yīng)著兩個(gè)儲(chǔ)油量V。例2.自2008年京津城際列車開通運(yùn)營以來，高速鐵路在中國大陸迅猛發(fā)展。截至2020年，我國高鐵運(yùn)營里程近4萬公里，右圖展示我國高鐵年運(yùn)營里程變化。從高鐵年運(yùn)營里程變化圖中不難看出：（1）隨著時(shí)間的變化，高鐵年運(yùn)營里程在變化，它與年份存在著依賴關(guān)系；（2）從2008年到2020年，高鐵年運(yùn)營里程是不斷增加的，與前一年相比2014年增加的最多；（3）如果從增速上看2009年的增速最大，增速超過300%【知識(shí)回顧】在初中數(shù)學(xué)中，我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過：如果在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量x和y，對(duì)于變量x的每一個(gè)值，變量y都有唯一確定的值和它相對(duì)應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。

在現(xiàn)實(shí)生活中，凡是要確定兩個(gè)變量具有函數(shù)關(guān)系，就要判斷“對(duì)于變量x的每一個(gè)值，變量y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)”。依照這個(gè)概念，在以上兩個(gè)例題中，儲(chǔ)油量V是油面高度h的函數(shù)，高鐵運(yùn)營里程是年份時(shí)間的函數(shù)，但儲(chǔ)油量V不是油面寬度w的函數(shù)。油面寬度w是不是儲(chǔ)油量V的函數(shù)呢？探究二

變量能否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系的判斷例3.彈簧的伸長量x與彈力y滿足函數(shù)關(guān)系y=kx，其中k為勁度系數(shù)。對(duì)于變量“伸長量”的每一個(gè)值，變量“彈力”都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，因此，________是________的函數(shù)。彈力伸長量例4.下表記錄幾個(gè)不同氣壓下水的沸點(diǎn)，對(duì)于變量“氣壓”的每一個(gè)值，變量“沸點(diǎn)”都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，因此________是________的函數(shù)。沸點(diǎn)氣壓氣壓/(105Pa)0.51.02.05.010沸點(diǎn)/℃82100121152180例5.下圖為某地一天的氣溫變化圖，曲線反應(yīng)了不同時(shí)間該地的氣溫變化，從圖中可以反映出在一天中的任何一個(gè)“時(shí)刻”都有唯一確定的“氣溫”值和它相對(duì)應(yīng)。因此我們可以將________看成是________的函數(shù)。氣溫時(shí)間【思考交流】在例5中能將時(shí)間看成氣溫的函數(shù)嗎？提示：不能，因?yàn)閷?duì)于任何一個(gè)氣溫值，時(shí)間并不是唯一確定的值與它相對(duì)應(yīng)，例如氣溫為0℃時(shí)，對(duì)應(yīng)了8點(diǎn)和21點(diǎn)兩個(gè)時(shí)間。因此不能將時(shí)間看成氣溫的函數(shù)?！咀兪接?xùn)練】

某電器商店以2000元/臺(tái)的價(jià)格購進(jìn)了一批電視機(jī)，然后以2100元/臺(tái)的價(jià)格售出。隨著售出臺(tái)數(shù)的變化，商店的利潤是怎樣變化的？利潤和售出臺(tái)數(shù)之間存在函數(shù)關(guān)系嗎？【解析】由題意可知每臺(tái)電視機(jī)的利潤為：2100元-2000元=100元隨著售出臺(tái)數(shù)的增加，商店的利潤也在增加如果設(shè)商家的利潤為y，售出電視的臺(tái)數(shù)為x，則利潤與臺(tái)數(shù)有y=100x的關(guān)系對(duì)于銷售臺(tái)數(shù)x的任何一個(gè)取值，都有唯一確定的利潤y與之相對(duì)應(yīng)，因此利潤是臺(tái)數(shù)的函數(shù)。核心知識(shí)方法總結(jié)易錯(cuò)提醒核心素養(yǎng)生活中的變量關(guān)系唯一確定的理解，注意對(duì)于自變量的定語是任意一個(gè)，對(duì)于因變量的定語是唯一確定，分清楚究竟誰是誰的函數(shù)。在一個(gè)變量關(guān)系中對(duì)任意一個(gè)x都有唯一確定的y與之對(duì)應(yīng)是構(gòu)成函數(shù)關(guān)系的前提從生活中的實(shí)例，會(huì)區(qū)分變量與常量，能找出變量之間的依賴關(guān)系，并會(huì)判斷變量之間能否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理1.下列變化過程中，變量之間存在怎樣的依賴關(guān)系？其中哪些是函數(shù)關(guān)系？（1）地球繞太陽公轉(zhuǎn)的過程中，二者間的距離與時(shí)間的關(guān)系；（2）在空中做斜拋運(yùn)動(dòng)的鉛球，鉛球距離地面的高度與時(shí)間的關(guān)系；（3）某超市一天的銷售額與客流量之間的關(guān)系?！窘馕觥浚?）地球繞太陽公轉(zhuǎn)的過程中距離與時(shí)間存在周期性變化的依賴關(guān)系，在某段時(shí)間內(nèi)兩者距離隨時(shí)間增大而減少，在另一段時(shí)間內(nèi)隨時(shí)間增大而增大。對(duì)于任何一個(gè)確定的時(shí)間，有唯一確定的距離與之對(duì)應(yīng)，因此“距離”是“時(shí)間”的函數(shù)。（2）在空中做斜拋運(yùn)動(dòng)的鉛球，鉛球距離地面的高度與時(shí)間存在依賴關(guān)系，對(duì)于對(duì)于任何一個(gè)確定的時(shí)間，有唯一確定的高度與之對(duì)應(yīng)，因此“高度”是“時(shí)間”的函數(shù)?！窘馕觥浚?）某超市一天的銷售額與客流量之間存在對(duì)于變量“客流量”的每一個(gè)值，變量“銷售額”都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，因此“銷售額”是“客流量”的函數(shù)。2.坐電梯上升時(shí)，電梯距離地面的高度與時(shí)間之間存在怎樣的依賴關(guān)系？【解析】坐電梯上升時(shí)，電梯距離地面的高度與時(shí)間之間存在對(duì)于變量“時(shí)間”的每一個(gè)值，變量“距地面高度”都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，因此“高度”是“時(shí)間”的函數(shù)。3.在一定量的水中加入蔗糖，糖水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與所加蔗糖的質(zhì)量之間存在怎樣的依賴關(guān)系？【解析】在一定量的水中加入蔗糖，糖水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與所加蔗糖的質(zhì)量存在對(duì)于變量“蔗糖質(zhì)量”的每一個(gè)值，變量“糖水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)”都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，因此“糖水質(zhì)量分?jǐn)?shù)”是“蔗糖質(zhì)量”的函數(shù)。4.找出一個(gè)生活實(shí)例，說明兩個(gè)變量之間存在依賴關(guān)系，但不是函數(shù)關(guān)系【解析】在生活中我們都知道吸煙有害健康，吸煙可導(dǎo)致肺癌等多種疾病，因此吸煙的次數(shù)與患肺癌的幾率有依賴關(guān)系，但兩