初中數(shù)學魯教版(五四制)九年級上冊直角三角形的邊角關(guān)系4解直角三角形“衡水杯”一等獎

解直角三角形課標要求利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值；能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識解決一些簡單的實際問題.知識體系解直角三角形1．銳角三角函數(shù)定義（如圖）三角函數(shù)：Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，則∠A的正弦、余弦、正切分別是：sinA＝____，cosA＝____，tanA＝____，它們統(tǒng)稱為∠A的銳角三角函數(shù)．2．銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系:Rt△ABC中，∠C＝90°(1)sinA＝cosB(2)tanAtanB＝1知識回顧---銳角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）abc例1.如圖，在平面直角坐標系中，點A（3，t）是第一象限內(nèi)的點，且OA與x軸正半軸的夾角為α，tanα=，則sinα的值為（）A．B.C.D.

例2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，則cosB的值等于（）A.B.C.D.典型例題---求銳角三角函數(shù)AB534H

法2：Rt△ABC中，∠C＝90°

sinA＝cosB法1：畫出圖形，數(shù)形結(jié)合345例1．如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點稱為格點若△ABC的頂點都在格點上，則cosB的值是______．例2．如圖，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sin∠BAC的值為_____分析：求sin∠BAC，需先尋找∠BAC所在的直角三角形，觀察格點圖形發(fā)現(xiàn)連接CD，恰好可證得CD⊥AB

分析：求cosB，需尋找∠B所在的直角三角形,

觀察、計算發(fā)現(xiàn)BC⊥AC,∠ACB=90°

構(gòu)造典型例題---小方格中的三角函數(shù)例3．如圖，在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點都在格點，則∠BAC的余弦值是

．例4．如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點D、N和E、C，DN和EC相交于點P，則tan∠CPN的值為______．典型例題---小方格中的三角函數(shù)HM如何構(gòu)造∠BAC所在的直角三角形呢？如何構(gòu)造∠BAC所在的直角三角形呢？作CH⊥AB，∠AHC=90°利用平行線進行等角轉(zhuǎn)化如圖，CE∥MN,∠CPN=∠DNM直接法構(gòu)造法轉(zhuǎn)移法……特殊直角三角形三邊

之間的關(guān)系特殊銳角（30°、45°、60°）三角函數(shù)值α30°45°60°sinαcosαtanα1知識回顧----特殊銳角（30°、45°、60°）的三角函數(shù)值典型例題---特殊角的三角函數(shù)例1.在△ABC中，若|sinA－|＋(－cosB)2＝0，∠A，∠B都是銳角，則∠C＝_______．105°

非負性∠A＝45°，∠B＝30°Bcosα＜cos45°tanα＜tan60°

α﹥45°

α＜60°在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A

>∠BcosA<cosB

tanA>tanB典型例題---特殊角的三角函數(shù)例3.如圖，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，點D是CB延長線上的一點，且AB＝BD，則tanD的值為（）A.B.C.D.例4.小明在學習“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn)，將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC上的點E處，還原后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC上的點F處，這樣就可以求出67.5°角的正切值是（）A．＋1B．＋1C．2.5D．1

221BD知識回顧------解直角三角形

定義：在直角三角形中，由已知的一些邊、角，求出另一些邊、角的過程，叫做解直角三角形．

依據(jù)：在Rt△ABC中，∠C＝90°，則 (1)三邊關(guān)系：a2＋b2＝_____；(2)兩銳角關(guān)系：∠A＋∠B＝_______； (3)邊與角關(guān)系： sinA＝cosB＝____；cosA＝sinB＝____；tanA＝____；

常見類型：(1)已知斜邊和一個銳角(2)已知一直角邊和一個銳角(3)已知斜邊和一直角邊(4)已知兩條直角邊

c290°選三角函數(shù)的方法：有斜用弦（正弦、余弦），無斜用切（正切）數(shù)學思想方法：方程思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想典型例題---解直角三角形例1.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，下列結(jié)論正確的是（）A．AC＝BC?tanA B．AB＝AC?cosA

C．AC＝AB?sinA D．AC＝BC?tanBA．AC＝BC?tanA

DB．AB＝AC?cosA

例2.如圖，△ABC中，cosB＝，sinC＝，BC＝7，則△ABC的面積為____典型例題---解直角三角形H過A作AH⊥BC，構(gòu)造直角三角形

化斜為直以“BH+CH=BC”為等量關(guān)系方程思想3x4x5x3x與實際問題有關(guān)的幾類角

知識回顧------解直角三角形的實際應(yīng)用問題方向角

以觀測者位置為中心，如圖，OA、OB、OC、OD分別表示北偏東30°、南偏東60°、南偏西80°、北偏西45°，北偏西45°也叫西北方向。仰角與俯角

在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角；視線在水平線的下方的角叫做俯角。坡角與坡度坡面與水平面的夾角叫做坡角；坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度（坡比），即坡角的正切值。典型例題---應(yīng)用問題例1.如圖，為了測量山坡護坡石壩的坡度（坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度），把一根長5m的竹竿AC斜靠在石壩旁，量出桿長1m處的D點離地面的高度DE=0.6m，又量得桿底與壩腳的距離AB=3m，則石壩的坡度為（）A． B．3 C．D．4

B典型例題---應(yīng)用問題D3x（化斜為直）將“特殊角”放到直角三角形中過C作CD⊥AB，交AB的延長線于點D（方程思想）以“AB+BD=AD”為等量關(guān)系列方程

設(shè)CD為未知量，利用三角函數(shù)確定AD、BD與CD之間的數(shù)量關(guān)系，為列方程作準備105mC如圖，直立于地面上的電線桿AB，在陽光下落在水平地面和坡面上的影子分別是BC、CD，測得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D處測得電線桿頂端A的仰角為30°，試求電線桿的高度（結(jié)果保留根號）.三典例分析典型例題---應(yīng)用問題例3.如圖是太陽能電池板支撐架的截面圖，其中AB＝300cm，AB的傾斜角為30°，BE＝CA＝50cm，F(xiàn)E⊥AB于點E．點D、F到地面的垂直距離均為30cm，點A到地面的垂直距離為50cm．求CD和EF的長度各是多少？（結(jié)果保留根號）．【分析】過A作AG⊥CD于GGCD=CG+GD

Rt△AGC中，∠CAG=30°G(A)到地面的距離C到地面的距離典型例題---解直角三角形應(yīng)用問題例3.如圖是太陽能電池板支撐架的截面圖，其中AB＝300cm，AB的傾斜角為30°，BE＝CA＝50cm