2018高考北京卷理科數(shù)學(xué)(附含問題詳解解析匯報)

絕密★啟用前2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)〔理〕〔卷〕本試卷共5頁,150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無效.考試完畢后,將本試卷和答題卡一并交回.學(xué)科:網(wǎng)第一局部〔選擇題共40分〕一、選擇題共8小題,每一小題5分,共40分.在每一小題列出的四個選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).〔1〕集合人二僅|限|<2｝/=｛-2,0,1,2｝,如此人,B二〔A〕｛0,1｝〔B〕｛-1,0,1｝〔C〕｛-2,0,1,2｝〔D〕｛-1,0,1,2｝〔2〕在復(fù)平面，復(fù)數(shù)一L的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于1-i〔A〕第一象限〔8〕第二象限〔C〕第三象限〔口〕第四象限〔3〕執(zhí)行如如下圖的程序框圖，輸出的$值為〔A)2⑻5〔C〕7〔D〕?6 12〔4〕"十二平均律〞是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例,為這個理論的開展做出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個純八度音程分成十二份,依次得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于122.假設(shè)第一個單音的頻率為「如此第八個單音的頻率為〔A〕32f〔B〕3??’22f〔C〕1215f〔D〕1227f〔5〕某四棱錐的三視圖如如下圖,在此四棱錐的側(cè)面中,直角三角形的個數(shù)為〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕4〔6〕設(shè)a,b均為單位向量，如此"|。-3b?=∣3a+b∣〃是"a⊥b〃的〔A〕充分而不必要條件〔8〕必要而不充分條件〔C〕充分必要條件〔D〕既不充分也不必要條件〔7〕在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P〔徵53,5汨3〕到直線］—my—2=0的距離，當(dāng)θ,m變化時,d的最大值為〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕4〔8〕設(shè)集合A=｛(］,y)1%—y≥1,OX+y>4,］—ay≤2｝,如此〔A〕對任意實(shí)數(shù)a,(2,1)∈A〔B〕對任意實(shí)數(shù)a,〔2,1〕電A3〔C〕當(dāng)且僅當(dāng)a<0時，〔2,1〕電A〔D〕當(dāng)且僅當(dāng)a≤-時，〔2,1〕電A2第二局部〔非選擇題共110分〕二、填空題共6小題,每一小題5分,共30分.〔9〕設(shè)｛a｝是等差數(shù)列，且2=3送+2=36,如此｛a｝的通項(xiàng)公式為 .n 1 25 n〔10〕在極坐標(biāo)系中，直線PCoSθ+PSinθ=a(a>0)與圓P=2cosθ相切，如此a=.〔11〕設(shè)函數(shù)f〔x〕=cos(ωX-^6)(ω>0),假設(shè)f(x)≤f(∏4)對任意的實(shí)數(shù)X都成立,如此ω的最小值為.〔12〕假設(shè)x,y滿足x+1≤y≤2x,如此2y-x的最小值是.〔13〕能說明"假設(shè)f〔x〕>f〔0〕對任意的x∈［0,2］都成立,如此f〔x〕在［0,2］上是增函數(shù)〃為假命題的一個函數(shù)是 .〔14〕橢圓M：=+y2=1(a>b>0),雙曲線N：三-竺=1.假設(shè)雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交a2b2 m2n2點(diǎn)與橢圓M的兩個焦點(diǎn)恰為一個正六邊形的頂點(diǎn)，如此橢圓M的離心率為；雙曲線N的離心率為.三、解答題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.〔15〕〔本小題13分〕在^ABC中，a=7,b=8,cοsB=-7.〔I〕求∠A;〔II〕求AC邊上的高.如圖，在三棱柱ABC-ABC中，CC1平面ABC,D,E,F,G分別為AA,AC,AC,BB的中111 1 1 11 1點(diǎn),AB=BC=√5,AC=AA1=2.〔1〕求證：AC⊥平面BEF；〔||〕求二面角B-CD-CI的余弦值；〔III〕證明：直線FG與平面BCD相交.〔17〕〔本小題12分〕電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨(dú)立．〔I〕從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；〔II〕從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；〔I〕假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用"ξ=1〃表示第k類電影得到k人們喜歡，"ξ=0〃表示第k類電影沒有得到人們喜歡〔匕1,2,3,4,5,6〕.寫出方差kDξι,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小關(guān)系.〔18〕〔本小題13分〕設(shè)函數(shù)f(X)=[ax2-(4a+1)X+4a+3]ex.〔I〕假設(shè)曲線丫二f〔乂〕在點(diǎn)〔1,f(1)〕處的切線與x軸平行，求2；〔I〕假設(shè)f(X)在x=2處取得極小值，求2的取值圍.〔19〕〔本小題14分〕拋物線6y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P〔1,2〕.過點(diǎn)@〔0,1〕的直線l與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn)人律,且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N.〔1〕求直線l的斜率的取值圍；,1 —. —>—> —>. 11.〔II〕設(shè)。為原點(diǎn)，QM=λQO,QN=μQO,求證：+1為定值.λμ設(shè)n為正整數(shù)，集合A={α|α=(t,t,…/?t∈{0,1}次=1,2,…M.對于集合A中的任意元素α=(X,X,???,x)1 2nn1 2和P=(y,y,…，y),記1 2 nM〔α,β〕=?[(X+y-|X-y|)+(X+y-|X-y|)H F(X+y-IX-yI)].2IIII 2222 nnnn〔I〕當(dāng)n=3時,假設(shè)a=(1,1,0),β=(0,1,1),求M〔a,a〕和M〔a,β〕的值；〔II〕當(dāng)n=4時,設(shè)B是A的子集,且滿足：對于B中的任意元素a,β,當(dāng)a,β一樣時,M〔a,β〕是奇數(shù);當(dāng)a,β不同時，M〔a,β〕是偶數(shù).求集合B中元素個數(shù)的最大值；〔111〕給定不小于2的n,設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素a,β,M〔a,β〕二0.寫出一個集合B,使其元素個數(shù)最多，并說明理由.學(xué)科&網(wǎng)絕密★啟用前2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題1.A2,D3.B4.D二、填空題9.a=6n—3 10.1+、2ny=sinx〔答案不唯一〕三、解答題〔15〕〔共13分〕1 π 、解：〔I〕在AABC中，TcosB=—-,.?.B∈[—,n〕

7 25.C6.C7.C211.- 12.3314.√3-1；28.D.?.sinB=?'1-cos2B4√37.由正弦定理得-?=—n

sinAsinB7 8_ C~.^=4√3,AsinA=—.SinA 27π π πB∈C-,∏],ΛA∈C0,-?,Λ∠A=-.〔I〕在AABC中，TsinC=sin〔A+B〕=SinACosB+sinBcosA=X(-1)+1X4-13=3^3.2 7 2 7 14如如下圖，在AABC中，TsinC=h-,Ah=BC?sinC=7X空=九3,BC 14 2AAC邊上的高為三3.2解：〔I〕在三棱柱ABC-A尸9中，?.?CC1⊥平面ABC,??四邊形A1ACC1為矩形.又E,F分別為AC,Ag的中點(diǎn)，.??AC⊥EF.AB=BC..?.AC⊥BE,.?.AC⊥平面BEF.〔II〕由〔I〕知AC⊥EF,AC⊥BE,EF"CC1.又CC⊥平面ABC,.?.EF⊥平面ABC.1VBEU平面ABC,.??EF⊥BE.如圖建立空間直角坐稱系E-xyz.由題意得B[0,2,0〕，C〔-1,0,0〕，D〔1,0,1〕，F(xiàn)〔0,0,2〕，G〔0,2,1〕.??CD=(2,,,CB=(1,2,0),設(shè)平面BCD的法向量為n=(Q,b,c),n-CD=O(2a+C=0In-CB=O, Ia+2b=0,令a=2,如此b=-1,c=-4,??平面BCD的法向量n=(2,-1,-4),又V平面CDC1的法向量為E=(0,2,0),, ≡→ n.Eb √21?cos<n-EB>= = .InIlEBI2121由圖可得二面角B-CD-CI為鈍角，所以二面角B-CD-CI的余弦值為-三.〔III〕平面BCD的法向量為n=(2,-1,-4),VG[0,2,1〕，F(xiàn)〔0,0,2〕,??GF=(0,-2,1),?n-GF=-2,?n與GF不垂直，??GF與平面BCD不平行且不在平面BCD,.?.GF與平面BCD相交.〔17〕〔共12分〕解：〔I〕由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000,第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200×0.25=50.故所求概率為-?=0.025.2000CIlJ設(shè)事件A為"從第四類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評〃，事件B為"從第五類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評〃.故所求概率為PCAB+AB〕二P〔A5〕+P〔M〕=P〔A〕〔1-P⑻〕+C1-P〔A〕〕P〔B〕.由題意知：P〔A〕估計為0.25,P〔B〕估計為0.2.故所求概率估計為0.25×0.8+0.75X0.2=0.35.〔III〕Dξ>Dξ>Dξ=Dξ>Dξ>Dξ.1 4 2 5 3 6〔18〕〔共13分〕M：〔I〕因?yàn)?(%)二[ax2一(40+l)x+40+3]e?,所以f'〔X〕二〔2ax-〔4a+1〕]eχ+〔ax2-〔4a+1〕x+4a+3]eχ[x∈Rj=[ax2-〔2a+1Jx+2]e×.f,<1>=<1-a>e.由題設(shè)知f,<1>=0,即<1-a>e=O,解得a=1.此時f<1>=3e≠0.所以a的值為1.〔11〕由〔1〕得手，CxJ=[a×2-〔2a+1Jx+2]e×=Cax-1?<x-2>e×.1 1假設(shè)a>—,如此當(dāng)xe<—,2>時，f,<x><0；2 a當(dāng)x∈<2,+8>時,f,<x>>0.所以f<x><0在x=2處取得極小值.假設(shè)aW工，如此當(dāng)X∈<0,2>時，X-2<0,ax-1W'X-1<0,2 2所以f'<x>>0.所以2不是f<x>的極小值點(diǎn).綜上可知，a的取值圍是〔,，+8〕.2〔19〕〔共14分〕解：〔I〕因?yàn)閽佄锞€y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P〔1,2〕，所以4=2p,解得p=2,所以拋物線的方程為yz=4x.由題意可知直線l的斜率存在且不為0,設(shè)直線l的方程為y=kx+1[k≠0].由<"xX得k2X2+（2k一4）X+1=0.y=kx+1依題意A=(2k一4)2—4Xk2X1>0,解得k<0或0<k<1.又PA,PB與丫軸相交,故直線l不過點(diǎn)〔1,-2〕.從而k≠-3.所以直線l斜率的取值圍是[-8,-3〕U〔-3,0〕U〔0,1〕.〔II〕設(shè)A[xι,yJ,B[x2,yJ由〔I〕知X+X=

1 22k-4k21XX=—.12 k2直線PA的方程為y-2=y-2=&≡2(X-1).X-1

1令x=0,得點(diǎn)乂的縱坐標(biāo)為y=-4^+2=±+1+2.MX-1 X-111kX+1同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為y=KX2+1+2.NX-12由~QM=kQO,QN=μQO得λ=1-y,μ=1-y.M N所以g+-1=-1—+

λμ1-yM11-)

N22k-4

H X-1X-1 12XX-(X+X) 1k2 k2C1I2 = ■12 1 2-= ■ ~ ~2.(k-1)X(k-1)X k-1XX k-1 11 2 12 --k2所以1+1為定值.λμ〔20〕〔共14分〕解：〔1〕因?yàn)椤薄?,1,0〕，8二〔0,1,1〕，所以M<α,α>=1[<1+1-|1-1∣>+<1+1-|1-1∣>+<0+0-|0-0∣>]=2,2M<α,β]=1[<1+0-∣1-0∣>+<1+1-|1-1∣>+<0+1-∣0-1∣>]=1.2〔I〕設(shè)α=〔x1,x2,x3,x4]∈B方4hM<α,a〕=x1+x2+x3+x4.由題意知x1,x2,x3,x4∈{0,1},且M<α,α>為奇數(shù),所以x1,x2,x3,x4中1的個數(shù)為1或3.所以8ɑ{<1,0,0,0〕，〔0,1,0,0>,[0,0,1,0>,[0,0,0,1>,[0,1,1,1