一元二次方程 全國優(yōu)質(zhì)課一等獎

第8課時

一元二次方程考向·揭秘命題點

一元二次方程的根(5年1考)1.(2014·長沙)已知關于x的一元二次方程2x2-3kx+4=0的一個根是1，則k=.

一元二次方程根的判別式(5年1考)2.(2016·長沙)若關于x的一元二次方程x2-4x-m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是

.

一元二次方程根與系數(shù)的關系(5年1考)3.(2018·長沙)已知關于x的方程x2-3x+a=0有一個根為1，則方程的另一個根為

.2m＞-42

一元二次方程的應用(5年1考)4.(2015·長沙)現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術的廣泛應用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展.據(jù)調(diào)查，長沙市某家小型“大學生自主創(chuàng)業(yè)”的快遞公司，今年三月份與五月份完成快遞總件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件.現(xiàn)假定該公司每月投遞的快遞總件數(shù)的增長率相同.(1)求該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率；(2)如果平均每人每月最多可投遞快遞0.6萬件，那么該公司現(xiàn)有的21名快遞投遞業(yè)務員能否完成今年6月份的快遞投遞任務？如果不能，請問至少需要增加幾名業(yè)務員？

考點·梳理知識點

一元二次方程【梳理】1.一元二次方程的定義：只含一個未知數(shù)，并且未知數(shù)最高次數(shù)是2的整式方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次項,bx是一次項，c是常數(shù)項.一元二次方程的一般式中的隱含條件為a≠0.【典例】方程（m-2）xn-1+3mx+1=0是關于x的一元二次方程，則m

，n

.≠2=3一元二次方程的常用解法4.因式分解法：一元二次方程化為一般形式后，如果左邊能分解因式，產(chǎn)生A·B=0的形式，則可將原方程化為兩個一元一次方程，即A=0或B=0,從而解得方程的兩根.

一元二次方程根的判別式【梳理】關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情況由b2-4ac決定，我們把它叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式，一般用符號Δ表示.(1)當Δ>0時，方程有兩個不等的實數(shù)根.(2)當Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根.(3)當Δ<0時，方程沒有實數(shù)根.［溫馨提示］在使用根的判別式解決問題時，如果二次項系數(shù)中含有字母，要加上二次項系數(shù)不為0這個條件.【典例】一元二次方程3x2-2x-1=0的根的情況為()A.沒有實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根C.只有一個實數(shù)根D.有兩個相等的實數(shù)根B

-4-118

一元二次方程的應用【梳理】解法步驟與一次方程(組)的應用一樣，仍按照“審、設、列、解、驗、答”六步進行.常見題型如下:1.傳播問題2.增長率問題：連續(xù)兩次增長或降低的百分數(shù)為x,則a(1+x)2=b，或a（1-x）2=b.3.利潤問題：利潤=售價-進價(成本),總利潤=每件的利潤×總件數(shù).4.幾何圖形的面積、體積問題：按面積、體積的計算公式列方程.［溫馨提示］通常情況下一元二次方程有兩個根，所以解一元二次方程的應用題一定要驗根，檢驗結果是否符合實際問題或是否滿足題目中隱含的條件.【典例】某商品經(jīng)過兩次連續(xù)降價，每件售價由原來的55元降到了35元.設平均每次降價率都為x，則平均降價率x應滿足的方程為()A.55(1+x)2=35

B.35(1+x)2=55C.55(1-x)2=35

D.35(1-x)2=55C考法·聚焦重難點一元二次方程的根A1.(2018·資陽)若關于x的一元二次方程mx2+5x+m2-2m=0有一個根為0，則m=

.2.若實數(shù)m是關于x的方程x2-3x-1=0的一根，則代數(shù)式2m2-6m+2的值為

.423.(2018·紹興)解方程x2-2x-1=0.4.由多項式乘法：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，將該式從右到左使用，即可得到“十字相乘法”進行因式分解的公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).示例：分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).(1)嘗試：分解因式：x2+6x+8=(x+2)(x+4)；(2)應用：請用上述方法解方程：x2-3x-4=0.解：x2-3x-4=x2+(-4+1)x+(-4)×1=(x+1)(x-4)=0，∴x+1=0或x-4=0，∴x1=-1,x2=4.

一元二次方程根的判別式樣題3已知關于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0，當m為何非負整數(shù)時：(1)方程只有一個實數(shù)根？(2)方程有兩個相等的實數(shù)根？(3)方程有兩個不相等的實數(shù)根？(4)方程沒有實數(shù)根？［答案］解：(1)∵方程只有一個實數(shù)根，∴m-2=0，解得m=2.(2)∵方程有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ=4(m-1)2-4(m-2)(m+1)=0，解得m=3.(3)∵方程有兩不相等的實數(shù)根，∴Δ=4(m-1)2-4(m-2)(m+1)>0，解得m<3.∵m為非負整數(shù)，且m≠2，∴m=0或1.(4)∵方程沒有實數(shù)根，∴Δ=4(m-1)2-4(m-2)(m+1)<0，解得m>3.又m為非負整數(shù)，∴m>3且為整數(shù).5.(2018·婁底)關于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情況是()A.有兩不相等實數(shù)根B.有兩相等實數(shù)根C.無實數(shù)根D.不能確定6.(2018·張家界)關于x的一元二次方程x2-kx+1=0有兩個相等的實數(shù)根，則k=.A±2

0C

一元二次方程的應用樣題5某養(yǎng)殖戶每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本，其中固定成本每年均為4萬元，可變成本逐年增長.已知該養(yǎng)殖戶第1年的可變成本為2.6萬元.設可變成本平均每年增長的百分率為x.(1)用含x的代數(shù)式表示第3年的可變成本為2.6(1+x)2萬元；(2)如果該養(yǎng)殖戶第3年的養(yǎng)殖成本為7.146萬元，求可變成本平均每年增長的百分率x.

［答案］解：(2)由題意，得4+2.6(1+x)2=7.146.解得x1=0.1，x2=-2.1(不合題意，舍去).答：可變成本平均每年增長的百分率x為10%.9.(2018·長沙模擬)共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一個月投放1000輛單車，計劃第三個月投放單車數(shù)量比第一個月多440輛.設該公司第二、三兩個月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，則所列方程正確的為()A.1000(1+x)2=440B.1000(1+x)2=1000+440C.440(1+x)2=1000D.1000(1+2x)=1000+440B10.(2018·長沙教科所模擬二)長沙市馬王堆蔬菜批發(fā)市場某批發(fā)商原計劃以每千克10元的單價對外批發(fā)銷售某種蔬菜.為了加快銷售，該批發(fā)商對價格進行兩次下調(diào)后，售價降為每千克6.4元.(1)求平均每次下調(diào)的百分率；(2)某大型超市準備到該批發(fā)商處購買2噸該蔬菜，因數(shù)量較多，該批發(fā)商決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供選擇.方案一：打八折銷售；方案二：不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金1000元.試問超市采購員選擇哪種方案更優(yōu)惠？請說明理由.解：(1)設平均每次下調(diào)的百分率為x.由題意，得10(1-x)2=6.4.解得x1=0.2，x2=1.8(不合題意,舍去).答：平均每次下調(diào)的百分率是20%.(2)超市采購員選擇方案一更優(yōu)惠.理由：方案一所需費用為6.4×0.8×2000=10240(元)，方案二所需費用為

6.4×2000-2000=10800(元).∵10240<10800，∴超市采購員選擇方案一更優(yōu)惠.考場·笑傲全國題B2.(2018·銅仁)關于x的一元二次方程x2-4x+3=0的解為()A.x1=-1,x2=3B.x1=1,x2=-3

C.x1=1,x2=3D.x1=-1,x2=-33.(2018·瀘州)已知關于x的一元二次方程x2-2x+k-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是()A.k≤2B.k≤0

C.k<2D.k<04.(2018·宜賓)一元二次方程x2-2x=0的兩根分別是x1、x2，則x1x2為()A.-2B.1C.2D.0DCCAC7.(2018·宜賓)某市從2017年開始大力發(fā)展“竹文化”旅游產(chǎn)業(yè).據(jù)統(tǒng)計，該市2017年“竹文化”旅游收入約為2億元.預計2019“竹文化”旅游收入達到2.88億元，據(jù)此估計該市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增長率約為()A.2%B.4.4%C.20%D.44%8.(2018·荊門)已知x=2是關于x的一元二次方程kx2+(k2-2)x+2k+4=0的一個根，則k的值是

.9.(2018·聊城)若關于x的方程(k-1)x2-2kx+k-3=0有兩個相等的實根，則k的值是

.C-3

10.(2018·江西)若一元二次方程x2-4x+2=0的兩根為x1、x2，則x12-4x1+2x1x2的值為

.11.(2018·南京)設x1,x2是一元二次方程x2-mx-6=0的兩根，且x1+x2=1，則x1=

，x2=

.3-2213.(2018·鹽城)一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴大銷售、增加盈利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)