2023屆江蘇省高三上學(xué)期10月第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023屆江蘇省金陵中學(xué)、海安中學(xué)高三上學(xué)期10月第二次聯(lián)

考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.設(shè)集合A={-1,1,2,3,6},3={2,5},C={x|14x<3},則(AnC)U8=()

A.{1,2}B.{2,5}C.{1,2,5}D.{1,2,3,5}

【答案】C

【分析】根據(jù)交集的定義求anc,再由并集的定義求(anc)UB.

【詳解】因?yàn)锳={-1,1,2,3,6},C={X14x<3},

所以AnC={L2},又8={2,5},

所以(anc)U8={i,2,5},

故選：C.

2.i為虛數(shù)單位，則3-2i滿足的方程是()

A.X2-6X-13=0B.x2+6x+13=OC.x2+6x-13=0D.x2-6x+13=O

【答案】D

【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】四個選項(xiàng)中的方程是實(shí)數(shù)系一元二次方程，

所以可知3-2i是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，

因此3+2i也是該實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，

而3-2i+3+2i=6,(3-2i)(3+2i)=9+4=13,

因此選項(xiàng)D符合，

故選：D

3.(x—y)(x+y)8的展開式中的系數(shù)為()

A.28B.-28C.56D.-56

【答案】B

【分析】由二項(xiàng)式定理將(x+y)8展開，然后得出(x-y)(x+y)8,即可求出的系數(shù).

【詳解】由二項(xiàng)式定理：

(x-y)(x+y)s

=(x-y)(C，y。+c；xR+…+C"y8)

87I)871

=x(C^/+C：xy+...+C|x'/)-XC?x/+C；xy+...+C^V)

=(C?x9y°+C；fyi+...+c；dy8)-(C?x8y'+C；x7/+---+C；")

觀察可知*$的系數(shù)為c；-C；=C；-C；=受一等￡=-28.

2x13x2x1

故選：B.

4.設(shè)。為AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足包=3的，則()

——.3..-]—?3-1…，...4.1.

A.AD=-AB一一ACB.AD=-AB+-ACC.AD=—AB——AC

222233

D.AD=-AB+-AC

33

【答案】A

【分析】利用向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算即可求得.

【詳解】：￡5=3而，所以①=3而三點(diǎn)共線且回=3回.如圖所示:

CB=2BD,BPBD=^CB.

:.AD=AB+Bb

=AB+-CB

2

=AB+^（AB-AC）

1AB，LAC

=22

故選：A.

5.設(shè)01M2,…4eR，n>3.若p：對生，…4成等比數(shù)列；

q：----卜）（〃￡+■,卜〃；）=（4。2+a2a3卜〃〃一口〃）“，則

A.p是q的充分條件，但不是q的必要條件

B.p是q的必要條件，但不是q的充分條件

C.p是q的充分必要條件

D.p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

【答案】A

【詳解】對命題p：4必,…,4,成等比數(shù)列，則公比q=2(〃N3)且4115t0；

對命題夕，①當(dāng)4=0時，3：+a；4Fa；、)(a；+a；H---=(4%+a2a3-t-------H。〃一4)~

成立；

②當(dāng)41fo時，根據(jù)柯西不等式，等式

(a；+?;4Fa；-)(〃g+a;4---卜%)=(44+a2a3■1---1■〃“一成立，

則曳=生=--=32，所以4,外，…，a”成等比數(shù)列，

勺4,

所以p是g的充分條件，但不是g的必要條件.

【解析】等比數(shù)列的判定，柯西不等式，充分條件與必要條件.

6.關(guān)于函數(shù)f(x)=2其中”,丘R,給出下列四個結(jié)論：

甲：6是該函數(shù)的零點(diǎn)；乙：4是該函數(shù)的零點(diǎn)；

丙：該函數(shù)的零點(diǎn)之積為0；T：方程〃”=|有兩個不等的實(shí)根

若上述四個結(jié)論中有且只有一個結(jié)論錯誤，則該錯誤的結(jié)論是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】B

【分析】由已知函數(shù)的單調(diào)性判斷甲乙中有一個結(jié)論錯誤，假設(shè)甲正確，結(jié)合丙正確求

得a,b的值，得到函數(shù)解析式，再說明丁正確，則答案可求.

【詳解】當(dāng)xe[0,2)時，為增函數(shù)，

當(dāng)xe[2,+8),/(x)=b-x為減函數(shù)，故6和4只有一個是函數(shù)的零點(diǎn)，

即甲乙中有一個結(jié)論錯誤，一個結(jié)論正確，故丙丁均正確.

由兩零點(diǎn)之積為0,則必有一個零點(diǎn)為0,

貝廳⑼=20_a=0=a=l,

①若甲正確，則/⑹=0,即6-6=0,則6=6,

可得的黑2,

6-x,x>2

0<x<2\x>2

由〃x)=3可得：5或5,

22

775

解得：x=log4或X=J方程〃x)=］有兩個不等的實(shí)根,

故丁正確，故甲正確，乙錯誤.

②若乙正確，則"4)=0,即b-4=o,貝！|b=4,

/2X-1,0<X<2

可得/x)=",

4-x,x>2

0<x<2x>2

由〃x)=1可得：5或L5,

22-1=-4-x=—

22

75

解得：x=log2p方程〃x)=］只有一個實(shí)根,

故丁錯誤，不滿足題意.

故甲正確，乙錯誤.

故選：B.

7.設(shè)常數(shù)。使方程sin2x+Geos2x=a在區(qū)間［。,2句上恰有五個解x：(i=L2,3,4,5),則

c25乃13%c14"

B.——C.-----D.——

633

【答案】C

【分析】令/(x)=sin2x+gcos2x=2(sin2x+5,作出函數(shù)在［0,2句上的圖像，判斷

方程sin2x+抬cos2x=a在區(qū)間［0,2可上恰有五個解的條件，解方程.

【詳解】sin2x+外cos2%=2—sin2x+-2-cos2x=2卜in2x+]

作出函數(shù)y=2sin(2x+：|在［0,2句上的圖像:

由圖像可知，sin2x+6cos2x=a在區(qū)間[0,2可上恰有五個解，只有。=百時才能

成立，

由2（sin2x+5）=6,xe[0,2?t]

解得：％=°，毛=兀，%=?,8=2兀

66

3八九7兀-13兀

〉,Xj=0+--^71+—■J*2TT=,

1=1663

故選：C

8.設(shè)xeR,[目表示不超過x的最大整數(shù)，若存在實(shí)數(shù)r,使得上]=1,[r]=2,

口[=〃同時成立，則正整數(shù)〃的最大值是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】根據(jù)取整函數(shù)的定義，分別求出滿足條件上]=1,P]=2,[;]=3,口4]=4,

口[=5的r的范圍，研究它們的交集即可確定〃的最大值.

【詳解】M=lnfw[l,2）,[r]=2=fw[&,6）,[r]=3n/€[喀妮），

[r4]=f=/e[也,后），[r[=5nre[氏庭）

當(dāng)止[夜,6）時，1卜1,[/]=2,

因?yàn)?,<3。<4,<3,,所以妙<3$<43<3^,即1<<>/3<^/4<-^3<2

當(dāng)fe[%，迎）時，同=1,[『]=2,[r]=3,

因?yàn)?<>=43<34<53<44<36,所以1<血=</4<</5<聽<2,

當(dāng)〃黔，灼時，同=1,[產(chǎn)]=2,[尸]=3,[門=4,

因?yàn)?2=(63)4<(35)"=32。，所以浜<冷,所以若[廣[=5則re[我網(wǎng)，此時

回電啊,故不存在f滿足m=1,[r]=2,[?]=3,[門=4,[?]=5

同時成立，

正整數(shù)〃的最大值為4,

故選:A.

二、多選題

9.已知函數(shù)/(x)=cos2x-2sin('-x>os[^+xj,則()

A.f(x)的最大值為3B.f(x)的最小正周期為7

C./(x)的圖象關(guān)于直線x=J對稱D.f(x)在區(qū)間「一若，父上單調(diào)遞減

O|_OO_

【答案】BC

【分析】首先利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式、輔助角公式化簡/"),再利用正弦函數(shù)的性

質(zhì)逐一檢驗(yàn)四個選項(xiàng)的正誤即可求解.

【詳解】f(x)=cos2x-2sin(5-xjcos^y+x)=cos2x-2cosx.(-sinx)

=cos2x+2cosx?sinx=cos2x+sin2x=&sin(2x+￡)

所以/(x)的最大值為近，故選項(xiàng)A不正確；

/(x)的最小正周期為7=笄=%，故選項(xiàng)B正確；

因?yàn)?xg+f=g+k乃，解得：k=0,所以直線x=?是f(x)的圖象的對稱軸，故選項(xiàng)

842o

C正確；

令1+2k冗<2x+^<芳+Zki(kGZ),解得：^-\-k7t<x<+攵)(左wZ),

77r347i54「347i

所以/(X)在區(qū)間-弁,-丁和-，V單調(diào)遞減，在-上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)D

不正確，

故選：BC.

10.已知實(shí)數(shù)。，b,c滿足。>>>c且a6c<(),則下列不等式關(guān)系一定正確的是()

A.—>YB.~+~-2C.ac2>be2D.a2<<b2<

abab

【答案】AC

【分析】由條件確定〃力,c的正負(fù)，利用比較法判斷A,舉反例判斷B,D,根據(jù)不等式

的性質(zhì)判斷C.

【詳解】由題意得〃>b>O>c或0>a>Z?>c,

因?yàn)?〃),又b-avO,c<0,ab>0,所以上一:>0,

ab\abJabab

所以￡>$,A正確，

取。=2,b=l,c=-l,則a>b>c,abccO,但￡+，<2,B錯誤,

因?yàn)閏2>01所以a>。，C正確，

取a=—l,b=-2,c=—3時，則a>b>c,而c<0,但j=(-l)f>聲=(一2)1D錯

誤.

故選：AC.

II.已知2與B均為單位向量，其夾角為。，則()

A.0<|?+5|<2B.-\<ab<\

c.若|￡+q>i,則D.若乃)，則q—目>]

【答案】ABD

【分析】轉(zhuǎn)化歸+4=水2+石/西-萬卜)②一母？,結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的定義,

分析即可判斷

【詳解】A對，卜+0=14-14-2?-^=24-2COS0G[O,4],

B對，6f/?=COS^G[-l,l],

L一|21「2兀、

C錯，4=2+2cos>1=>cos9>-—^>6E,0,—I,

D對，ee(?,〃)ncosee(-l,g)nD=2-2cos0e(l,4).

故選：ABD

12.連接正方體每個面的中心構(gòu)成一個正八面體.甲隨機(jī)選擇此正八面體的三個頂點(diǎn)構(gòu)

成三角形，乙隨機(jī)選擇此正八面體三個面的中心構(gòu)成三角形，且甲、乙的選擇互不影響，

則()

2

A.甲選擇的三個點(diǎn)構(gòu)成正三角形的概率為二

2

B.甲選擇的三個點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形的概率為不

C.乙選擇的三個點(diǎn)構(gòu)成正三角形的概率為g

D.甲選擇的三個點(diǎn)構(gòu)成的三角形與乙選擇的三個點(diǎn)構(gòu)成的三角形相似的概率為1

35

【答案】ACD

【分析】利用古典概型的概率公式分別求出四個選項(xiàng)中的概率，即可判斷得到答案.

【詳解】甲隨機(jī)選擇的情況有C：=20種，乙隨機(jī)選擇的情況有C：=56種，

對于A：甲選擇的三個點(diǎn)構(gòu)成正三角形，只有一種情況：

甲從上下兩個點(diǎn)中選一個，從中間四個點(diǎn)中選相鄰兩個，共有C；C1=8種，

Q9

故甲選擇的三個點(diǎn)構(gòu)成正三角形的概率為三=二，故選項(xiàng)A正確；

對于B：甲選擇的三個點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，有三種情況：

①上下兩點(diǎn)都選，中間四個點(diǎn)中選一個，共有C：=4種；

②上下兩點(diǎn)中選一個，中間四個點(diǎn)中選相對的兩個點(diǎn)，共有C；C；=4種；

③中間四個點(diǎn)中選三個點(diǎn)，共有C：=4種，故共有4+4+4=12種，

所以甲選擇的三個點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形的概率為蕓=：，故選項(xiàng)B錯誤：

對于C：乙選擇的三個點(diǎn)構(gòu)成正三角形，只有一種情況：上面四個面的中心中選一個點(diǎn)

且從下面四個面的中心選相對的兩個點(diǎn)，或下面四個面的中心中選一個點(diǎn)且從上面四個

面的中心選相對的兩個點(diǎn)，共有2x4=8種，所以乙選擇的三個點(diǎn)構(gòu)成正三角形的概率

Q1

為故選項(xiàng)C正確；

567

243

對于D:選擇的三個點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形同上所求，共有8+16=24種,概率為荔=不

567

甲乙相似，則甲乙均為正三角形或均為等腰直角三角形，所以甲選擇的三個點(diǎn)構(gòu)成的三

角形與乙選擇的三個點(diǎn)構(gòu)成的三角形相似的概率2為三1+3=*：3=三11，故D選項(xiàng)正確.

575735

故選：ACD.

三、填空題

13.已知函數(shù)/(外=加+，-2x+2)e,,不論。為何值，曲線y=f(x)均存在一條固

定的切線，則這條切線的方程是.

【答案】y=2

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，求出與。無關(guān)的導(dǎo)數(shù)值，可得切點(diǎn)與斜率，從而可得切線方程.

【詳解】由/。)=加+卜2-2》+2)1,M/，U)=2ar+x2e\

則r(0)=0J(0)=2,

這兩個值均與“無關(guān)，

所以不論。取何值，曲線y=/(x)均存在一條固定的切線，

此時切點(diǎn)為(0,2),

所以切線方程為y=2,

故答案為：y=2

14.已知函數(shù)/(x)=2x3-加+b,若存在a，b,使得〃x)在區(qū)間［0』的最小值為一1

且最大值為1,則符合條件的一組。，8的值為.

【答案】4=4,6=1(答案不唯一)

【分析】求導(dǎo)數(shù)，討論函數(shù)有區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，找到最大值和最小值.

【詳解】f(x)=2x3-ax2+b,f'(x)=6x2-lax=2x(3x-a),不妨令三＞1,/'(x)＜o(jì)在區(qū)

間［0,1］上恒成立，Ax)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減，此時要滿足題意則

［/(0)=/?=1\b=\

O入］，解得.符合條件的一組小b的值為：a=4,b=l

［f(l)=2-a-^b=-1［a=4

故答案為：〃=4,b=\

15.在數(shù)列｛叫中，4=1,%=2,數(shù)列也｝滿足仇=4田+(-1)"%,nwN*?若

邑”+%,=?，nwN*，則數(shù)列｛4｝的前2022項(xiàng)和為.

【答案】5-H門-了

【分析】將數(shù)列｛4｝的前2022項(xiàng)和分解為奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和進(jìn)行求解.

【詳解】由已知得%=。2.+1+"2"，％+1=%”+2—a2"+|，所以82"+力2”+|="2"+2+%1，

即數(shù)列｛qj前2022項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和為：

a2+(%+4)+(/+4。＞一+(生O2o+”2O22)=2+^■+m+.一+^^

4

又由已知得邑=〃2向+%，="2“-”2,1，所以電=%1=%用=-%一1，即奇數(shù)項(xiàng)

為公比為一1的等比數(shù)列,即1“T=（T）"T,即前2022項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和為1；

綜上所述，前2022項(xiàng)和為.

故答案為：5-門；儼

22

16.已知橢圓C：算?+多=1（。>）>0）的右焦點(diǎn)為尸（2,0）,經(jīng)過原點(diǎn)。且斜率百的

直線與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，AF的中點(diǎn)為“，8尸的中點(diǎn)為N.若OMLON,則橢

圓C的離心率e的取值范圍是.

【答案】性必1

【分析】設(shè)4（2機(jī)2"，由條件求出M,N的坐標(biāo)，由條件Q0_LON確定機(jī)，”的關(guān)系，

由&26求出m的范圍，結(jié)合點(diǎn)A在橢圓上可求”的范圍，由此可求橢圓C的離心率e的

取值范圍.

【詳解】設(shè)A（2機(jī)2〃）（不妨設(shè)機(jī)>0,〃>0）,則川（加+1,"）,由直線A8過原點(diǎn)和橢

圓的對稱性可得8（-2m,-In）,所以N（-〃?+l,f）,

OMLON^OMON=0^\-m2-n2=0^>^+?2=\

k>A/3=>—>\/3=>n>\/3m=>n2>3m2=>I—m2>3m2nnr<—

m4

所以由點(diǎn)在橢圓上得"+"=1,結(jié)合上述條件可得：曳工+上二=1,

abaa-4

化簡得病二萬①一Y）,即0<-（8-解得4+2退二。2<8,

16164

所以1+64〃<2夜，

所以e=￡=2.

aQI2

（五'

故答案為：.

四、解答題

17.已知數(shù)列｛4｝是公比為4的等比數(shù)列，前"項(xiàng)和為S“，且滿足4+。3=24+1,

S3=3%+1.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

%+1-%，〃為奇數(shù)

(2)若數(shù)列也｝滿足bn=｛3a.〃為偶數(shù)，求數(shù)列也｝的前2〃項(xiàng)和T2?.

4af+1'''

【答案】(1)““=2小

【分析】(1)由題意列出方程組，求得首項(xiàng)和公比，即得答案；

4+1-%，〃為奇數(shù)

(2)根據(jù)么=3《，”為偶數(shù)，可得a的表達(dá)式，結(jié)合等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公

4a；,-5a?+\，n”

式和裂項(xiàng)求和法，即可求得答案.

a.+a-,=2q+\[a,-2(]+\[a=1

【詳解】(1)由題意得<7*0,故0；,，32\..，

S3=3a2+1q(l+q+g-)=3qq+][9=2

即4,=2"，

%+i-a,，"為奇數(shù)

(2)由己知么=?3%得n為奇數(shù)時，a-a?=2"-2"''=2"'.

，〃為偶數(shù)n+l

4"：~5a?+1

、“，3a?3X2"T3X2"-'

當(dāng)〃為偶數(shù)時，4<2,;-5t7?+l=4X22,1~2-5X2"-'+1=(2,-1-l)(4x201-1)

1]

則A=(偽+&+…+邑-1)+(，+仇+…+4”)

=(20+22+...+22,,-2)+f----L-+------1+…------」一]

'7^2'-123-123-125-122,-'-122,,+|-1)

14"+2_____1

-3+22,,+,-1-322n+l-1'

18.在檢測中為減少檢測次數(shù)，我們常采取“"合1檢測法”，即將〃個人的樣本合并檢

測，若為陰性，則該小組所有樣本均未感染病毒；若為陽性，則改需對本組的每個人再

做檢測.現(xiàn)有l(wèi)OkUeN")人，已知其中有2人感染病毒.

(1)若后=5,并采取“10合1檢測法”，求共檢測15次的概率；

(2)設(shè)采取“5合1檢測法”的總檢測次數(shù)為X,采取“10合1檢測法”的總檢測次數(shù)為y,

若僅考慮總檢測次數(shù)的期望值，當(dāng)&為多少時，采取“10合1檢測法”更適宜？請說明理

由.

9

【答案】⑴京

49

⑵當(dāng)1J49時，采取10合1檢測法更適宜；理由見解析

【分析】(1)平均分為5組，共檢測15可知2個感染者分在同一組，計(jì)算所求概率；

(2)分類討論感染者分在同一組和分在不同小組，計(jì)算兩種方案總檢測次數(shù)的期望值,

進(jìn)行比較得出結(jié)論.

【詳解】(1)現(xiàn)共有50人，由題意先平均分為5組，檢測5次，因?yàn)楣矙z測15次，所以

兩個感染者必定分在同一組中，所以共檢測15次的概率有兩種算法，第一種是分組分

配思想，第二種是算一組已經(jīng)有一名感染者的情況下，選中另一名感染者，即兩種算法

「8「10「10「10z-^10

(4(),^300^20.j()

結(jié)果為不汴擊7^7^和導(dǎo)，結(jié)果均為4

150140^30120>10^494y

A；

Q

所以％=5,并采取“10合1檢測法”，求共檢測15次的概率為右.

49

(2)當(dāng)感染者在同一組時，X=2k+5,Y=k+\Q,

此時P叱甯=正&尸"落=后

當(dāng)感染者不在同一組時，X=24+1(),丫=4+20,

49

此時P(X)=1-w=i-

Wk-1101

4(4A20

所以或X)=(2A+5)----------+(24+10)?1-------------=2左+10---------------

10"1I10k-lJ10&-1

E(y)=(A:+10)-^-^+(^+20)/190

=左+20—

后)10后一1

由題意￡(y)>E(X)nlO二一l()Ll+8()v0nlK)lK9,

綜上：1W&W9時，采取10合1檢測法更適宜.

19.在.回。中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為〃，b,c,D為邊BC上一點(diǎn),若

ABDB

~AC~~DC,

⑴證明：

(i)AO平分ZBAC;

(ii)AD2^ABAC-DBDC;

(2)若(1+sinB)sinABAC=cosB(l+cosABAC),求空2的最大值.

【答案】(1)(i)證明見解析；(ii)證明見解析

⑵0

【分析】(1)(i)利用正弦定理和*=照，得到sin/C43=sin/aM>,即可得到

AB2+AD2-DB2AC2+AD2-DC2,,,

ZCAD=ZBAD；(ii)利用余弦定理得到---------------=---------------,及由

2ABAD2ACAD

(i)得=分類討論：和=分別證明;

(2)由(1+sin8)sinABAC=cos8(1+cosABAC)利用三角公式判斷出AABC是直角三角

,a+b2

1a+bN日」一.

形，把空轉(zhuǎn)化為If,利用基本不等式求出----的最大值.

-+-

ba

ABDB

【詳解】(1)(i)在三角形相D中，由正弦定理得,即

sinZADB-sinABAD

ABsinZADB

而一sin/BAD

ACDCACsinZADC

在三角形ACD中，由正弦定理得Hn,即——=--------

sinZADCsinNCAODCsin/CAO

ABDB...ABACa”sinZADBsinZADC

因?yàn)椤?——，所ri以——=——所以--------=---------

ACDCDBDCsinZBADsinZCAZ)

因?yàn)榕c/ADC互補(bǔ)，所以sin/A￡>B=sinNAL>C,

所以sinNC4D=sinZfiAD.

因?yàn)锳為三角形內(nèi)角，所以NC4O+NBAO片萬，所以NC4￡>=NBAD,

所以AO平分ZBAC；

(ii)因?yàn)镹C4P=/84￡>,所以,

由余弦定理得空之直二變=任上以生

2ABAD2ACAD

化簡得AD2(AC-AB)=ABAC(AC-AB)+DC2-AB-DB2AC,

由⑴^ABDC^ACDB,

代入上式有：AD\AC-AB)=ABAC{AC-AB)+DCACDB-DBABDC.

當(dāng)ASHAC時,消去AC—A3,得：AD2=ABAC-DBDC,即證.

當(dāng)45=AC時,△ABC為等腰三角形，由三線合一可知，ADLBC,且45=AC.

由勾股定理得:AD1=AB--DB1.

因?yàn)锳5=AC,AB-AC.

所以AD?=48AC-O8OC成立.

綜上所述：AD2=ABAC-DBDC.

⑵由己知得(1+sin3)sinZ.BAC=cos3(1+cosABAC)

-2sinNBACeosABAC=fcos2—-sin2—\2cos2ZgAC

I22；I22)2

B

1-tan

ZBAC5NBAC(兀8)D萬

---------=----------￡=>tan---------=tan--------|nNBAC+B=—,

2B2(42)2

1+tan—17

2

所以AABC是直角三角形，即C2=/+從，

a+bl（a+b）2匚~廠一0

所以丁=v7行-=丁石"，當(dāng)且僅當(dāng)〃=人時取等號,

\b+a

所以史士的最大值為0.

C

20.在一張紙上有一個圓C：1+6『+丁=4,定點(diǎn)M（6,0）,折疊紙片使圓C上某

一點(diǎn)Mi好與點(diǎn)加重合，這樣每次折疊都會留下一條直線折痕P。，設(shè)折痕PQ與直線

MC的交點(diǎn)為T.

⑴求證：||TC|-|力W|為定值，并求出點(diǎn)T的軌跡C方程；

⑵設(shè)A（T，0）,M為曲線C'上一點(diǎn)，N為圓V+y2=l上一點(diǎn)（〃，N均不在x軸上）.直

線A",AN的斜率分別記為勺，右,且心=-；仁，求證：直線MN過定點(diǎn)，并求出此

定點(diǎn)的坐標(biāo).

2

【答案】（1）證明見解析；9-匯=1

4

（2）證明見解析；定點(diǎn)（1,0）

【分析】(1)利用對稱性可知為定值，結(jié)合雙曲線定義可得點(diǎn)T的軌跡C方

程；

(2)直線MN所過定點(diǎn)，則由對稱性得定點(diǎn)在x軸上，設(shè)定點(diǎn)7。,0),三點(diǎn)共線得

{WT=^NT?從而可得定點(diǎn)?

【詳解】⑴由題意得=所以||TCH7Mb||TC|T7M』=2<26=|cM，

2

即T的軌跡是以C,M為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線，即C'：/_二=]；

4

(2)由已知得乙材：y=^(x+l),lAN：y=&(x+l),

卜=4(x+l)

聯(lián)立直線方程與雙曲線方程2尸=(4卜2-2片*-"-4=0,

x~---=1

I4

由韋達(dá)定理得材,所以乙，即加=勺(/+1)=J/，

4—K|4-K|4一勺

所以

聯(lián)立直線方程與圓方程+后卜?+2碇+片-1=°，

^^2].2

由韋達(dá)定理得X/N=12[2，所以/=12，即=%2(/+I)=[,]，

1+攵21+/I+9

因?yàn)槭?=一1小,"，即取,=-1/,，所以N〔算奸+跡16，9—8匕訐)J,

若直線MN所過定點(diǎn)，則由對稱性得定點(diǎn)在X軸上，設(shè)定點(diǎn)T&0),

由三點(diǎn)共線得&附=冊7，

8kl—82]

即[W=-=6+4+(奸-4)?=好-16+(好+16'=f=1,

4-將'16+61

所以直線MN過定點(diǎn)7(1,0).

21.已知底面ABCD為菱形的直四棱柱，被平面用‘G所截幾何體如圖所示，若

7C

AB=DG=2,CF=3,NBAD=—.

3

⑴求點(diǎn)。到平面8FG的距離；

（2）求銳二面角A-EC-3的余弦值.

【答案】（1）叵

5

⑵如

4

【分析】（1）求出相關(guān)線段的長，利用等體積法即%一訴；=匕皿.=匕5?；，求得答案:

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得平面BEC和平面近的法向量，利

用向量的夾角公式即可求得答案.

【詳解】（1）設(shè)ACnBO=。，

由已知底面ABC。為菱形的直四棱柱，被平面4EFG所截幾何體，

AB=2,CF=3,NBAO=1,則△AB。為正三角形，

得C0=5BF=5/4+9=V13,GF=j4+（2-1，=舊,8G="7^=20,

則BF2=GF2+8G2,即BG，GF,故=1x^5x2>/2=V10,

\BDG=-X2X2=2,

由已知知GZ）J_平面ABC￡>,COu平面ABC。,故GDICO,

又BDLCO,GDCBD=D,GD,B￡）u平面BDG，故CO_L平面BDG,

又尸C〃G2GOu平面肛；，F(xiàn)C<Z平面BQG,故尸C〃平面肛;，

即EC點(diǎn)到平面BDG的距離相等；

設(shè)點(diǎn)D到平面BFG的距離為d,則外）-"（；=匕「BOG=K--B/X；>

即“k"G=:cos△吶，即仁黑%呼=需=§

(2)以。為原點(diǎn)，。4所在直線為x軸，。8所在直線為軸，過。平行于C尸的直線為z軸

建立空間直角坐標(biāo)系,

由題意底面A8CD為菱形的直四棱柱，被平面用1G所截兒何體,

可知AE〃G￡AG〃所，即四邊形曲心為平行四邊形,

;.AE=GF=5即7^匹3=&.BE=1，

則A（6,0,0）,5（0,1,0）,C（-x/3,0,0）,E（0,l,l）,

即而=（—2"0,0）,CE=（^,1,1）,BC=（-A-l,0）,

_[n-AC=0

設(shè)面AEC法向量為九二（。也c）,則《一

n-CE