2023屆高中數(shù)學(xué)大題二輪復(fù)習(xí)第23講存在性問(wèn)題探究-解析版

第23講存在性問(wèn)題探究

所謂存在性問(wèn)題是指圓錐曲線(xiàn)中存在某個(gè)量(點(diǎn)、線(xiàn)或參數(shù)等)使得某個(gè)幾何關(guān)系成立，

這種問(wèn)題有兩種?？碱}型：

題型一：存在點(diǎn)P或者參數(shù)，使得某個(gè)量為定值.

解題思路：這類(lèi)問(wèn)題的解題思路是運(yùn)用參數(shù)無(wú)關(guān)性來(lái)消參，即存在某點(diǎn)使得某個(gè)量和所

設(shè)的參數(shù)無(wú)關(guān)，從而得到定值.

題型二：存在點(diǎn)在曲線(xiàn)上.

解題思路：設(shè)出點(diǎn)，帶錐曲線(xiàn)方程，看方程是否有解.

解決存在性問(wèn)題的一些技巧：

(1)特殊值(點(diǎn))法：對(duì)于一些復(fù)雜的題目，可通過(guò)其中的特殊情況，解得所求要素

的必要條件，然后再證明求得的要素也使得其他情況均成立.

(2)假設(shè)法：先假設(shè)存在，推證滿(mǎn)足條件的結(jié)論.若結(jié)論正確，則存在；若結(jié)論不正

確，則不存在.

存在點(diǎn)使向量點(diǎn)積為定值

2

【例1】過(guò)點(diǎn)(1,0)作直線(xiàn)/交C:]+y2=1于P,。兩點(diǎn)，試問(wèn)：在X軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M,

使“尸為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo).若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】(1)當(dāng)直線(xiàn)/不與x軸重合時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)/的方程為：*=妙+1,。仇,必).

聯(lián)立卜[2曠=2,整理得(&2+2)y+2公,-1=0,

x=ky+1

則A=(2k)2-4(3+2)(-1)=8公+8>0,

1

假設(shè)存在定點(diǎn)M(〃?,0),使得MQ為定值,

MP-MQ=(X,(x2-m,y2)=(x,-m)(x2-m)+y]y2=(如+\-rn)(ky2+\-m)

=(公+1)/%+%(1-初)(乂+必)+(1-⑼2=_：：)_2),丁+([—而

K+，K,+L

=^^?+5

產(chǎn)+2

(2%-3也2+2)+(5-癡)5-4〃？2.5-4w

=----------------------；----------------------------F(1-m)~=2m—3+(1—my—；--------=m~—2d—；---------

&2+2k2+2k2+2

5uiiuuur7(5、

當(dāng)且僅當(dāng)5-4%=0,即，〃=—時(shí),MP.MQ=(為定值)，這時(shí)M—,0,

416<4)

(2)當(dāng)直線(xiàn)/與x軸重合時(shí)，此時(shí)尸(-&,0),。(60),

iwiuriniiruuurinxr5uinruur7

MP=(-V2-m,0),MQ=(42-m,0),MPMQ=m2-2,m=-,MPMQ=

416

滿(mǎn)足題意.

(c、uuuuuu7

：.存在定點(diǎn),M—,0使得對(duì)于經(jīng)過(guò)(1,0)點(diǎn)的任意一條直線(xiàn)/均有MPMQ=-一(恒為定

14)16

值).

存在點(diǎn)使斜率的和或積為定值

【例1】設(shè)直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)橢圓C:：+[=1的右焦點(diǎn)F2且與C交于不同的兩點(diǎn),試問(wèn):在x

軸上是否存在點(diǎn)。，使得直線(xiàn)QM與直線(xiàn)QN的斜率的和為定值?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】若存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)QQ,0).

[x2V

⑴當(dāng)直線(xiàn)/的斜率4存在時(shí)，設(shè)y=k(x-l).聯(lián)立43,

j=A(x-l)

消y得(3+4公8&\+4公—12=0.

z,8k2A12_J2

X

設(shè)M(%,y),N仁,%)，則用+々=,，2^IX2=,.,2

DTqKD?4K

Q

y,-1)(X2一。+攵(々-1)(玉T)2kxiX?—%(1+D(*+x2)4-2kt

QM

k。"X}-tX2-t(Xj-^)(X2-z)X1%2T(F+/)+產(chǎn)

Sk2-24822(1+。

=k.+"=k.8公-24-8F(l+f)+2f(3+4F)=6依-4)

222

4k-12_Sk_t+f24公-12-8%)+產(chǎn)(3+止)4(r-l))t+3(r-4)'

Tb4;tT-3+4p

要使對(duì)任意實(shí)數(shù)k,kQM+kQN為定值，則只有f=4，此時(shí),%“+kQN=0.

(2)當(dāng)直線(xiàn)/與x軸垂直時(shí)，若f=4,也有句+kQN=0.

故在x軸上存在點(diǎn)Q(4,0),使得直線(xiàn)QM與直線(xiàn)QN的斜率的和為定值0.

【例2】過(guò)點(diǎn)￡>(3,0)且斜率不為零的直線(xiàn)交橢圓C:二+丁=1于A(yíng)B兩點(diǎn)，在x軸上是否存

4

在定點(diǎn)。，使得直線(xiàn)AQ,BQ的斜率之積為非零常數(shù)?若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo).若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

[解析】依題意可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=my+3,AQ,y),,%).

聯(lián)立了+…

得(4+加)29+6燈+5=0

x=my+3,

6/n

+="

y\y2A2

，A=36m2_4X5(4+/??)>O-M,

XX=二5

4+nv

3

則x}+x,=m(yx+y2)+6=—^5-,XjX2+3機(jī)(％+y2)+9=^

4+m"4+m

假設(shè)存在定點(diǎn)Q(r,O),使得直線(xiàn)AQ,BQ的斜率之積為非零常數(shù)，則

(玉—t)(W—/)=玉工2—，(，1+/)+廠(chǎng)

36-4〃/242(產(chǎn)-4)〃/+36-241+4/

=---------1-------\-t=----------------------

22

4+/n4+機(jī)24+m

5

?k,k二1一0為-0_________4+療________=___________5__________

AQ222222

BQXj-tx2-t(r-4)/H+36-24Z+4/(r-4)/n+36-24r+4r

4+/

要使Ko山地為非零常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)卜一一4二°，，解得f=±2,

°即[36-2今+4/X0

'=2時(shí)'心2/。=^^=3'=-2時(shí)，

.?.存在兩個(gè)定點(diǎn)Q(2,0)和2,(-2,0)，使直線(xiàn)AQ,BQ的斜率之積為常數(shù).

當(dāng)定點(diǎn)為0(2,0)時(shí)，直線(xiàn)AQ,8Q的斜率之積為常數(shù)m.當(dāng)定，點(diǎn)為。2(-2,0)時(shí)，直線(xiàn)AQ,HQ

的斜率乘積是,.

存在點(diǎn)使角度相等

［例】l設(shè)過(guò)橢圓:三+X=1右焦點(diǎn)F2的動(dòng)直線(xiàn)I與橢圓交于A(yíng),B兩點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否存

84

在與點(diǎn)F2不重合的定點(diǎn)T,使得ZATF2=NBTF?恒成立?若存在，求出定點(diǎn)T的坐標(biāo).若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

［解析】假設(shè)存在與F2不重合的定點(diǎn)T,使得ZATF2=N84恒成立，

設(shè)T（巧.,（））,且％r。2,4（5,凹），3（々,%），則/A=一~—，勉=———

王一*x2-xT

QZATE=/BTF,kTA+kTB=0,即乂+必=o.整理得工=斗必―

王一巧“fx+%

x=my+2

設(shè)直線(xiàn)/：X=J2+2.聯(lián)立《f+丫2消去X,整理得（nr+2)9+4my-4=0.

84

A=(4/n)2-4x(，〃2+2)X(-4)=32/n2+32>0,

-4m-4

玉%+毛y=（加乂+2）%+（皎2+2）?X=2g%+2（x+%）?

-4

^^=2+2回+必）=2“^^+2=2帆*+2=2〃?，+2=4.

Y+%M+%乂+丫2T=m

TTl?+2

???存在與工不重合的定，點(diǎn)7,使得4隼=/8有恒成立，且，點(diǎn)T坐標(biāo)為（4,0）

【例2】過(guò)橢圓C:—+/=1的右焦點(diǎn)F作直線(xiàn)/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B，試問(wèn)在x軸

4

上是否存在定點(diǎn)M使得NOM4=/OM8（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo).若不存在,

說(shuō)明理由.

x=my+

【解析】（1）當(dāng)直線(xiàn)/非X軸時(shí),可設(shè)直線(xiàn)/的方程為x=/m，+道,聯(lián)立得L,

—+/=1

整理得（4+nr）V+2-^3my—1=0.

由△=（26a）2+4（4+m2）=16（濟(jì)+1）＞0,

設(shè)4（x”y）,8（*2，%），定點(diǎn)M?，°）且『工玉』二》2，

由韋達(dá)定理可得%+必=-芋勺，%%=-1?

4+〃24+機(jī)

由NOM4=NQMB,可知等價(jià)于A(yíng)M,8M的斜率互為相反數(shù).

??.^Ly+-^y=0=>乂(々一/)+%(占-。=0,即y(6+班2-。+%(6+根,-f)=0,

整理得(百-f)(x+%)+2"?xy,=0.從而可得-(G-r)?+2"?.-----1=0,

4+m~4+m一

即2/n(4-^/)=0,

當(dāng)￡=迪，即加

時(shí),NOMA=NOMB

3

（2）當(dāng)直線(xiàn)/為x軸時(shí),M也符合題意.

綜上，存在x軸上的定點(diǎn)M，滿(mǎn)足NOM4=NaW8.

存在點(diǎn)使等式恒成立

【例11過(guò)橢圓C：￡+y2=l的左焦點(diǎn)尸的直線(xiàn)/交橢圓C于A(yíng)8兩點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，問(wèn)橢

2

LlLfllULIULIU

圓C上是否存在點(diǎn)P,使得OP=OA+08?若存在，求出直線(xiàn)/的方程.若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

X=-1

【解析】（1）當(dāng)直線(xiàn)/的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)/的方程為x=-l,聯(lián)立/，

x=-Ix=-l/

得五，或■拉廁點(diǎn)A-1,

y=TI

J-_T-用小用

uuruun

故。4+。8=(-2,0)此時(shí)橢圓C上不存在這樣的點(diǎn)P.

UUUCllLL

(2)當(dāng)直線(xiàn)/的斜率々=0時(shí),04+08=(-V2,0)+(V2,0)=(0,0),

此時(shí)橢圓C上不存在符合題意的點(diǎn),P.

(3)當(dāng)直線(xiàn)/的斜率Z不為0時(shí)，設(shè)，點(diǎn).小西,斗),8(々,%)，戶(hù)(如九)，

y=攵(工+1)

直線(xiàn)/的方程為y=&(x+l).聯(lián)立.丁2，消去y得(1+2/)/+4公x+2(公一1)=0,

、萬(wàn)+''一

.4k2

故△=8K+8>0,x+x,=------7.

1+2公

LILUmJtiLiu/4公2k

則OP=OA+OB=(玉+x,y,+)?)=(&+x,k(x+x+2))=-

22t21+2公'I+2kz

4公2k又點(diǎn)「在橢圓上'則有卜卷卜(吾力=2,

則點(diǎn)/>

1+2公\+2k2

整理得公=±解得2=±也.

22

LlLUlULILIL11

橢圓上存在點(diǎn)P,使得OP=OA+OB,

此時(shí)直線(xiàn)/的方程為y=±變(x+1).

22

【例2】已知?jiǎng)又本€(xiàn)/過(guò)橢圓C:土+匕=1右焦點(diǎn)尸，且與橢圓。分別交于M,N兩點(diǎn).試問(wèn)大

1612

uuuiUU1I1a、

軸上是否存在定點(diǎn)Q,使得QM.QN=-U2恒成立?若存在求出點(diǎn)。的坐標(biāo).若不存在，說(shuō)明

16

理由.

uuuruiiuria<

【解析】⑴假設(shè)在%軸上存在定點(diǎn)Q(見(jiàn)0)液得QM?QN=——.

16

UUUUUU

⑴當(dāng)直線(xiàn)/的斜率不存在時(shí)，則A/(2,3),N(2,-3),QM=(2-〃2,3),QN=(2-皿-3),

uuiruuur13sSi,

由QMQN=(2-機(jī))2_9=_上，解得〃7=己或加.

1644

UUUUUU

(2)當(dāng)直線(xiàn)/的脾率為0時(shí)，則M(T,0),N(4,0),QM=(-4-〃z,0),QV=(4一機(jī),0),

uun*miffiI%1111

由QM?QN=m2-16=----，解得m=----或〃z=—.

1644

由⑴(2)可得機(jī)=’,即點(diǎn)。的坐標(biāo)為,0)

11uuiruu國(guó)

⑵當(dāng)機(jī)二U時(shí),QM.QN=--恒成立.

416

當(dāng)直線(xiàn)/的斜率不存在或斜率為0時(shí)，由(1)知結(jié)論成立.

當(dāng)直線(xiàn)/的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其方程為y=k(x-2)(kx0),M(%,)，J,N(&,力).

直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立得(3+4公產(chǎn)-16公x+16(公—3)=0.

直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)，一定與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且不I.

4K+J4/C+J

22

y}y2=k^xx-2)-A：(x,-2)=^x,x2-2k?(%+x2)+4X:

陽(yáng)狀riiviiiI、⑵

..(2A/-<27V=Ix!--,y,l-lx,--(y2I=xix2--[x{+x2)+—+y{y2+Ak

16仔-3)16k2121，門(mén)135

=(1+公卜2Tx

4k2+34r+31616

,1.1.、uuurmwrns

綜上所述，在X軸上存在點(diǎn)Q上,0,使得QM-QN=-恒成立.

144)16

2)

I例3］已知橢圓y+^=l，過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線(xiàn)I交橢圓于例,N兩點(diǎn),若直線(xiàn)I的斜率存在,

UUUUUU1

在線(xiàn)段Oh上是否存在點(diǎn)P(G,0)，使得|PM|=|PN|,若存在，求出a的范圍.若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

［解析】當(dāng)直線(xiàn)I的斜率存在時(shí)，設(shè)M(x,,y)N(&,%)，直線(xiàn)I的方程為y=&(x-1)，①

22

又橢圓的方程為r土+匕V=1,②

54

由①②可得(5公+4產(chǎn)-10公x+5氏-20=0,

10公5k2-20，%+丫2=%(百+&)-2女=^1^.

%+當(dāng)y+刈)'5k2一4&

設(shè)MN的中點(diǎn)為Q|，即。

2，-)*2+45公+4

UUUUUIU

假設(shè)存在點(diǎn)P(〃,0)，使得IPM\=\PNI,

k2

即P在MN的中垂線(xiàn)上，則k,.-k=-1,解得a=

QMN5k2+4

當(dāng)力=0時(shí),MN為橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，則，點(diǎn)P與原點(diǎn)重合.當(dāng)丘0時(shí),

綜上所述,存在點(diǎn)P且ae0,1j.

［例4］過(guò)點(diǎn)0(5,-2)作直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)E：V=4x交于不同的兩點(diǎn)B,C,設(shè)3c的中點(diǎn)為。,

問(wèn)曲線(xiàn)E上是否存在一點(diǎn)A,使得|AQ|=；18cl恒成立?如果存在,求出點(diǎn)A的坐標(biāo).如果不

存在，說(shuō)明理由.

【解析】由題意B,C兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)V=4x上，設(shè)點(diǎn)8冷沙點(diǎn)(7件巴.

\廣—/|y

設(shè)直線(xiàn)/的方程為x=m(y+2)+5.聯(lián)立廠(chǎng)一得V_4股-8加-20=0,

x=w(y+2)+5

y+必=4m,xy2=—8/n—20.

設(shè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)A存在，設(shè)%.

juiluu

若拋物線(xiàn)上的點(diǎn)A滿(mǎn)足|A。|=—|BC|,則點(diǎn)4在以8c為直徑的圓上.即BACA=0.

?巡,亂住4，為r)(￥耳為-％卜與^中+也-%)

=(…J?5f)(巖?中++(為-6(為-必)?小魄-8…

=2(%-乂>(%-%>(%+4〃?+2)(%-2)

1O

UUUL1

由題意即是BA-C4=0恒成立，可得%=2.；.A(l,2),

，拋物線(xiàn)r=4x上存在點(diǎn),A(l,2)滿(mǎn)足IA。1=51BCI.

【例】是否存在斜率為2的直線(xiàn)，使得當(dāng)直線(xiàn)/與橢圓C:1+丁=1有兩個(gè)不同交點(diǎn)M,N時(shí),

SUUUUUU

能在直線(xiàn)y=：上找到一點(diǎn)P,在橢圓C上找到一點(diǎn)Q,滿(mǎn)足PM=NQ?若存在，求出直線(xiàn)/的

方程.若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】設(shè)直線(xiàn)/的方程為y=2x+f,設(shè)M(4,%),N(w，%)，,Q(S，”),MN的中點(diǎn)

為。(%,%),聯(lián)立［消去x得99_2療+/_8=0,

/.yl+%=?且A=4產(chǎn)-36(r-8)＞0,故%=且-3vfv3.

UUUUUU

由尸M=NQ,知四邊形PMQN為平行四邊形.而點(diǎn),D為線(xiàn)段MN的中點(diǎn)，因此點(diǎn),D為線(xiàn)段

5

弓+%2/-15

電的中點(diǎn),.?.%=?=，t可得以=勺拒，

又-3vr＜3，可得-：7＜%vT，因此點(diǎn),Q不在橢圓上，故不存在滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)/.

存在性使線(xiàn)段關(guān)系式為定值

【例1】橢圓￡:=+E=13＞匕＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)到直線(xiàn)x-3y=0的距離為巫，離心率為

arbL5

亭,拋物線(xiàn)6:/=2用(0＞0)的焦點(diǎn)與橢圓￡的焦點(diǎn)重合,斜率為左的直線(xiàn)/過(guò)6的焦點(diǎn)

與E交于A(yíng)8,與G交于C,O.

(1)求橢圓￡及拋物線(xiàn)G的方程.

(2)是否存在常數(shù)2,使得總+品為常數(shù)?若存在，求出入的值.若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】⑴設(shè)橢圓E,拋物線(xiàn)G的公共焦點(diǎn)為F(c,O).d_,=>c=2.

rVio

橢圓E:《+y2=l;.y2=8x.

⑵設(shè)直線(xiàn)/：丫=/（%-2）,4（再,％）,8（々,%）］（*3，%）,￡＞（匕,以）.

聯(lián)立n（5二4-lJx2一2（）公龍+2（后一5=0,

20公20公-5

/.X]+蒼=----,西其>=-----丁.

121+5公T,21+5公

2石伊+i）

/.|AB|=J1+攵2+&y_4X]X,=

1+53

聯(lián)立

4攵2+88（公+1）

/.毛+%=——'?*CD是焦點(diǎn)弦,；.|C。|=七+%+4=''2.

KK

.1/-1+5/-2_4+20-2+&724+（20+&）42

',|AB|+|CD|-2>/5（^2+1）+S（k2+1）-8石儼+1）-8石（公+1）'

若,+上為常,數(shù)，則20+百2=4,，4=一處

\AB\\CD\5

【例2】在平面直角坐標(biāo)系x°y中，橢圓C:0+《=1（“>%>O）的離心率為逆?，直線(xiàn)/與x軸

a~b3

交于點(diǎn)E,與橢圓C交于A(yíng)3兩點(diǎn),當(dāng)直線(xiàn)I垂直于x軸且點(diǎn)E為橢圓C的右焦點(diǎn)時(shí)，弦AB的

長(zhǎng)為還.

3

（1）求橢圓C的方程.

（2）是否存在點(diǎn)E,使得"F+J7T為定值?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出該定值.若不存

\EA2\\EB2\

在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】⑴依題意可得e=￡=如,.?々:b:c=g：l:及.

a3

當(dāng)/與x軸垂直且E為橢圓右焦點(diǎn)時(shí)AB|為通徑.

.[A31="-=各生,a=>/6,h=>/2.橢圓C的方程為土+上=1.

a362

⑵假設(shè)存在點(diǎn)及設(shè)點(diǎn)E（xo,O）.

①若直線(xiàn)”與x軸重合，則A（-癡,0）,B（瓜0）

.?小+閩,3小一年.春+