2023屆湖南省永州市高三年級上冊學(xué)期第二次高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題含答案

永州市2023年高考第二次適應(yīng)性考試試卷

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共150分，考試時(shí)量120分鐘.

2.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效.

3.考試結(jié)束后，只交答題卡.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合'=，2}，/C8訓(xùn)…8={0,1,2},則集合8=（）

A.{"I〉B.{。2}C..2}D.{1}

2.己知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z0-i）=l+2i,則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第四象限B.第三象限

C.第二象限D(zhuǎn).第一象限

V2sin|a+—|>1

3.“a是銳角”是“I4J，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.設(shè)。為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，AD=3AB,則（）

A.CD^3CA-2CBB.CD=3CA+2CB

C.CD^-2CA-3CBD.CD=~2CA+^CB

5.若存在常數(shù)a，,使得函數(shù)/（'）對定義域內(nèi)的任意》值均有f（x）+f（2"x）=2b,則/（》）關(guān)于點(diǎn)

（"M對稱，函數(shù)稱為“準(zhǔn)奇函數(shù)”.現(xiàn)有“準(zhǔn)奇函數(shù)”g（x）,對于VxeR,g（x）+g（-x）=4,則函數(shù)

“x）=sinx+x+2g（x）-l在區(qū)間［-2023,2023］上的最大值與最小值的和為（）

A.4B.6C.7D.8

6.如圖，耳用為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過工的直線交雙曲線于伉。兩點(diǎn)，且用。=358,E為線段。耳的

中點(diǎn)，若對于線段。耳上的任意點(diǎn)尸，都有PF「PBNEF「EB成立,則雙曲線的離心率是（）

X

/\

A.&B.百C.2D.加

二3〃-7*

2"T,若對任意的"eN，6-%)('一")<°,則實(shí)數(shù)幾的取值范圍是

7.已知數(shù)列2n-l

()

?更］<518)cdD.

A.(2'5jB.(8'5

8.如圖，在三棱錐Z-8CO中，N4BC=45°,點(diǎn)尸在平面88內(nèi)，過尸作尸02月8于0,當(dāng)與面

M

BCD所成最大角的正弦值是~時(shí)，°。與平面/8C所成角的余弦值是()

/I

(>1

\iP/

D

V10V6V15

A.5B.4C.5D.6

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分,部分選對的得2分.

/'(x)=sin2x+--2A/3sinxcosx

9.己知函數(shù).I6J,則(：)

A./(X)的最大值為1

_兀

B.直線是/(*)圖象的一條對稱軸

C./（X）在區(qū)間I上單調(diào)遞減

,z\信,o]

D.的圖象關(guān)于點(diǎn)（6J對稱

10.己知°為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線V=4x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,過點(diǎn)尸的直線交拋物線于“，8兩點(diǎn)，下列

說法正確的有（）

A.線段48長度的最小值為4

B.過點(diǎn)"（°』）與拋物線只有一個交點(diǎn)的直線有兩條

C.直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)。，則直線。8平行x軸

D.可能為直角三角形

11.如圖，棱長為3的正方體"8s-44GA的頂點(diǎn)A在平面a內(nèi)，其余各頂點(diǎn)均在平面a的同側(cè)，己知

頂點(diǎn)28到平面a的距離分別是1和2.下列說法正確的有（）

Cl

:）伍

D（

/A/

,<a

A.點(diǎn)C到平面a的距離是3

B.點(diǎn)G到平面&的距離是4

2

C.正方體底面NBC。與平面。夾角的余弦值是§

D.45在平面。內(nèi)射影與所成角的余弦值為飛-

—=—=2.86

12.己知InaIn6,c\nc=d\nd=-0.35,a<bfc<d9則有（）

」2

c+d>一

A.a+b<2eB.e

c.ad<1D.bc>\

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.數(shù)據(jù)：2,5,7,9,11,8,7,8,10中的第80百分位數(shù)是.

fx--+2l

14.Ix)的展開式中f的系數(shù)是

!2

15.三個元件,獨(dú)立正常工作的概率分別是把它們隨意接入如圖所示電路的三個接線盒

0心/中(一盒接一個元件)，各種連接方法中，此電路正常工作的最大概率是.

T.

-----=?!(aw1)

16.對平面上兩點(diǎn)48,滿足的點(diǎn)P的軌跡是一個圓，這個圓最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼

斯發(fā)現(xiàn)，命名為阿波羅尼斯圓，稱點(diǎn)45是此圓的一對阿波羅點(diǎn).不在圓上的任意一點(diǎn)都可以與關(guān)于此圓的

另一個點(diǎn)組成一對阿波羅點(diǎn)，且這一對阿波羅點(diǎn)與圓心在同一直線上，其中一點(diǎn)在圓內(nèi)，另一點(diǎn)在圓外，

系數(shù)又只與阿波羅點(diǎn)相對于圓的位置有關(guān).已知"(L°),8(4,0),0(0,3),與48兩點(diǎn)距離比是3的點(diǎn)

尸的軌跡方程是C：/+V=4,則2忱0+-8|的最小值是；最大值是31PH一2|尸"的最大值是

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知“8C的內(nèi)角4民0的對邊分別為a,b,c,且向量歷=(2b-a,c)與向量"=(cos4cosC)共線

⑴求C;

先

(2)若C=?，AN8C的面積為2,求a+6的值.

18.已知數(shù)列｛氏｝的前〃項(xiàng)和為，，若囚=2

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

是奇數(shù)

"i"I?"l〃是偶數(shù)

(2)若數(shù)列也｝滿足〔〃一1〃+1'',求數(shù)列也｝的前10項(xiàng)和幾.

19.如圖，在四棱錐中，四邊形N8CO是正方形，￡是8c的中點(diǎn)，

PA=2瓜NABP=60°,AE=技4E_LPA

E

(1)求證：尸/，平面/8CZ)；

(2)若F是線段尸。上的動點(diǎn)(不含線段端點(diǎn))，當(dāng)平面"EF與平面尸48的夾角為30。時(shí)，求線段PF的長度.

X2y272

C：r+J=l（Q>b>0）

的離心率是下一，且過點(diǎn)PQ』).

20.橢圓才匕

⑴求C的方程:

⑵過點(diǎn)P的直線體與C的另一個交點(diǎn)分別是48,與V軸分別交于M,N,且M°=ON,PQ-8于點(diǎn)°,

是否存在定點(diǎn)R使得囚加是定值？若存在，求出點(diǎn)尺的坐標(biāo)與的值；若不存在，請說明理由.

21.當(dāng)前，新冠病毒致死率低，但傳染性較強(qiáng).經(jīng)初步統(tǒng)計(jì)，體質(zhì)好的人感染呈顯性(出現(xiàn)感染癥狀)或呈

隱性(無感染癥狀)的概率都是萬，體質(zhì)不好的人(易感人群)感染會呈顯性，感染后呈顯性與呈隱性的

傳染性相同，且人感染后在相當(dāng)一段時(shí)期內(nèi)不會二次感染.現(xiàn)有甲乙丙三位專家要當(dāng)面開個小型研究會，其

±1

中甲來源地人群的感染率是5,乙來源地人群的感染率是3,丙來源地?zé)o疫情，甲乙兩人體質(zhì)很好，丙屬

于易感人群，參會前三人都沒有感染癥狀，只確定丙未感染.會議期間，三人嚴(yán)格執(zhí)行防疫措施，能隔斷

2

與的病毒傳播，且會議期間不管誰感染，會議都要如期進(jìn)行，用頻率估計(jì)概率.

(1)求參會前甲已感染的概率；

(2)若甲參會前已經(jīng)感染，丙在會議期間被感染，求丙感染是因?yàn)橐覀魅镜母怕剩?/p>

(3)若參會前甲己感染，而乙、丙均未感染，設(shè)會議期間乙、丙兩人中感染的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求隨機(jī)變量

X的分布列與期望.

22.已知函J'戶口八~

⑴討論"x)的單調(diào)性;

⑵若x>0時(shí)，=+2八及一“八加+2-2)0,求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

1.A

【分析】

由已知條件確定集合8中的元素.

【詳解】

已知集合/={1，2},4c8={1},4u3={0,1,2}

...IGS,0G5,2m

則集合8={?！箎.

故選：A

2.C

【分析】

利用復(fù)數(shù)的除法，求出復(fù)數(shù)z,從而可求出對應(yīng)的點(diǎn)位于的象限.

【詳解】

l+2i_(l+2i)(l+i)_13

復(fù)數(shù)z滿足z(l)=l+2i,則1(l-i)0+i)22,

???復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是I22),對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.

故選：C.

3.A

【分析】

根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求法可證得充分性成立；根據(jù)值域可構(gòu)造不等式求得a的范圍，知必要性不成立,

由此可得結(jié)論.

【詳解】

-)+汨爭

TT兀，兀3l

若。為銳角，則0<6Z<一2,.二aH—4G(一4,一4

后sin(a+：)￡°,血］血sin(a+；

>1

,充分性成立；

V2sinfcr+—1>1sin(a+工］〉

當(dāng)I心時(shí)，l口2,

兀c,兀3?！?Z.—、

—F2kn<H—<--F2kli(k￡Zr)2kn<a<y4-2kn(kGZ)

444'。解得：

當(dāng)人工°時(shí)，々不是銳角，必要性不成立；

x/2sin|<7+—I>1

，“a是銳角”是“I4J，，的充分不必要條件.

故選：A.

4.D

【分析】

運(yùn)用平面向量加法規(guī)則計(jì)算.

【詳解】

,回n,CD=CB+BD=CB+2AB=CB+2(AC+CB}=2AC+3CB-2CA+3CB

依題意作上圖，則17

故選：D.

5.B

【分析】

令()g(),().,根據(jù)“準(zhǔn)奇函數(shù)''的定義可確定機(jī)(無),/(x)都關(guān)于(°，3)對稱，則

由對稱性可得”0)+3的最值之和，進(jìn)而得到“(X)的最值之和.

【詳解】

令?x)=2g(x)-1,貝『(r)+=2g(r)_1+2g(x)_1=6,

,」(x)關(guān)于點(diǎn)(3)中心對稱；

盡m(x)=sinx+x+3貝?(一1)+機(jī)(x)=-sinx—x+3+sinx+x+3=6

關(guān)于點(diǎn)(0,3)中心對稱；

,/〃(x)=(x)-3〃(x)+3=(x)

設(shè)刀(x)在x=X。處取得最大值，則在X=-X。處取得最小值

.?.A(x)+3+A(-x)+3=/n(x)+m(-x)+Z(x)+i(-x)=12

000000f

)+〃(-x0)=6,即〃(x)的最大值與最小值的和為6.

故選：B.

6.D

【分析】

取耳8中點(diǎn)°,根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律和向量線性運(yùn)算可將已知數(shù)量積不等式化為質(zhì)-2E0,由此可確

定怎_L。耳，由三角形中位線性質(zhì)知斗，吟設(shè)忸訃加，結(jié)合雙曲線定義可表示出的，阿在

RLB*和R3DFR中，利用勾股定理可求得離心率.

【詳解】

取耳8中點(diǎn)0,連接

..而國T斯+萬戶伴狗卜★對_肅＞對_;幫

鉉.麗=（［回+而對卜1弦—肅｝麗2_；甫

...麗一甫.4肅則網(wǎng)公說「酈園恒成立，

EQ1DF［又EQHBD.■BDtDF1,

設(shè)忸周=由率=3可得：忸D|=2m,

根據(jù)雙曲線定義可知：卬町T*卜2。=3而-2°,忸耳卜忸周+2°=陽+2a

4

???忸0「+|0用2=|此『即4機(jī)2+（3機(jī)_2q）2=（加+2力

■.\DF\=2a\DF\=4a@閭2+|。用月引：,20a2=4c2

t,2，，f

，C，2（

：.e^=—=5r-

曠,則離心率e=15

故選：D.

7.B

【分析】

求出也的最值，由不等式恒成立，求出實(shí)數(shù)2的取值范圍.

【詳解】

,88

n-1H----->〃-I-----?

當(dāng)%>4間，有2n-\2/7+1,由〃wN,解得〃《2；

88

n-1tH-----<〃H-----.

當(dāng)有2〃-12〃+1,由〃wN,解得〃23,

n—竺更

4一］,%_M，。2>。3,所以可的最小值為

3〃-7377-4

-—---T-Tr->>~—7—

當(dāng)4>〃山，有2"T2",由〃eN,解得“24；

37?-73〃一4

2?-i'

當(dāng)有2",由解得“V3,

L5L1

h=5

b4=—a=一

48,'2,…，所以“，的最大值為48.

所以北的最小值大于4的最大值，即%恒成立，

所以（八%）（"，）<°解得也,<2<%,對任意的”eN*,恒成立，則有功<彳<%,即實(shí)數(shù)

但，埒

力的取值范圍是（85）

故選：B

8.C

【分析】

過0作45的垂面，過作平面8CQ的垂面過。作°G_L8M,設(shè)8〃口所=尸，

結(jié)合面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可證得此點(diǎn)即為0°與面BCD所成角最大時(shí)對應(yīng)的P點(diǎn)，

.,?DDVio

由此得到~4.過戶作由面面垂直性質(zhì)和線面角定義可知，

tanNQBP=cosNEQP=---5----

NEQP即為尸2與平面Z8C所成角，利用tanN0P8可求得結(jié)果

【詳解】

7

過2作48的垂面。比,交平面/3C于EF,即/810E,AB1QFfAB1EF,

過AB作平面BCD的垂面ABM,即平面ABMI平面BCD,

過。作°G18例，垂足為G,如下圖所示，

/i\x

（1一-十丁￡一:1—B

w\I/F

\I><

D

設(shè)8Mn￡F=P,則此點(diǎn)即為0°與面88所成角最大時(shí)對應(yīng)的尸點(diǎn)，理由如下：

,?,尸。恒成立，...尸e平面QEF,

又Pe平面8C。，平面OE^n平面8。。=￡尸，.?.尸eEF；

?.?平面J?平面BCD,平面/BMc平面8c，QGu平面力8”，QG1BM,

■'-QG1?平面8CZ）,

.-.sinZQPB=^-

，P0與面8CO所成角即為N0P8,PQ

T°G為定值，，當(dāng)d。最小時(shí)，sin/0PG最大，即NQPB最大,

,.?EFu平面BCD,QG￡EF,

又ABLEF,AB^\QG=Qu平面”用，...文_L平面力8M,

則當(dāng)P為8”,所交點(diǎn)時(shí)，川,尸°,此時(shí)尸°取得最小值，

../（JDD-

.?.當(dāng)awnEF=P時(shí)，PQ與面88所成角最大，為/。尸巴…11--?。?/p>

過P作尸”10￡,垂足為“，連接2”,

A

A.

/II

cv-I1鏗；：卜二步A

\I

\/."/*，'十4//

Al

\I

D

平面48<^平面力86,，平面48。/平面0勿',

又平面QEF八平面4BC=QE,平面QEF,r.W平面N8C,

NEQP即為P0與平面ABC所成角,

cosZEQP=^

在RtA°PE中，丫

?.?4BC=45°,N8J.QE,.?.△即￡：為等腰直角三角形，即Q8=QE,

tanN08P=*

又QB,tanZ.QBP=cosZ.EQP

'：sinNQPB=tanZQPB=--

?,33尸=嬴^^=春=乎

???ZQBP+NQPB*

3

■Z_EQP=屈

c'os5,即PQ與平面”8C所成角的余弦值為5.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中的線面角的求解問題，解題關(guān)鍵是通過作垂面的方式，確定尸。與面

8。所成角最大時(shí)，尸點(diǎn)的具體位置，由此結(jié)合面面垂直性質(zhì)和線面角的定義來進(jìn)行求解.

9.ABC

【分析】

/（x）=cos|2x+—I

利用兩角和差公式、二倍角和輔助角公式可化簡得到I3九根據(jù)余弦型函數(shù)最值可知A正

確；利用代入檢驗(yàn)法，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)，依次驗(yàn)證BCD正誤即可.

【詳解】

對于A,/（x）mx=LA正確；

7t-7TTC

x=-2x+—=7t..x=-f（Y、

對于B,當(dāng)3時(shí)，33是/GJ的一條對稱軸，B正確；

對于C,當(dāng)V時(shí)，2》+§,（°，兀），此時(shí)/（X）單調(diào)遞減，c正確;

J不是/（X）的對稱中心，D錯誤.

對于D,

故選：ABC.

10.AC

【分析】

設(shè)“8:x=（y+l,與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論：利用拋物線焦點(diǎn)弦長公式可求得

|/用=獷+424,知人正確；分別討論斜率不存在、斜率為零和斜率不為零的情況，結(jié)合拋物線切線的求

y4

OA:y=—x=—xD-1,

法可確定B錯誤；直線須必，由此可得I"人由斜率公式可化簡得到《《=°,知C

正確；由向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算可知7?麗二°，知D錯誤.

【詳解】

由拋物線方程知：“L°）,=

由題意知：直線”8斜率不為零，則可設(shè)"3:x="+l,"（%,必），'（乂2，%），

卜="+1

由[,=4x得：/-4（y-4=0t.,.必+%=4/,y,y2=-4（

二再+々=/（乂+夕2）+2=4廠+2,演々-44-1,

對于A,陽|=*+々+2=4*+4,則當(dāng)f=0,即軸時(shí)，M卻取得最小值4,人正確;

對于B,當(dāng)過加（°」）直線斜率不存在，即為x=0時(shí)，其與拋物線交于點(diǎn)似°）：

當(dāng)過"（0,1）直線斜率為零，即為y=l時(shí)，其與拋物線交于點(diǎn)（J1）：

設(shè)過加（°，1）的拋物線的斜率存在的切線為夕=去+1。*°）,

y2=4無

由,=丘+1得：后丫+（2左一4卜+1=0,.?.△=（2"4）2-442=0,解得：k=l,

???直線P=x+1與拋物線相切；

綜上所述：過點(diǎn)陽（°」）且與拋物線只有一個交點(diǎn)的直線有三條，B錯誤；

OA:y=-x=-^-x=—x（4、

再必D-1,——

對于C,直線4，則（弘人

4必為+4

%+——

.k_一必_必_/%+4

??八DB———?、-u

Z+1x2+\乂（與+1）,則直線08平行于x軸，C正確：

對于D,若為直角三角形，則。

?.-OAOB=xix2+y]y2=\-4=-3^0tON_L05不成立，即“08不能為直角三角形，口錯誤.

故選：AC.

11.ACD

【分析】

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面a的法向量利用點(diǎn)到平面a的距離可構(gòu)

造方程組，解得法向量前，由點(diǎn)到平面距離的向量求法可求得AB正誤；由面面角的向量求法可求得C正

確；首先確定投影對應(yīng)的向量，利用線線角的向量求法可知D正確.

【詳解】

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)閤,y,z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則/（0,0,0）,8（3,0,0）,C（3,3,0）,。（0,3,0）,G（3,3,3）,D,（0,3,3）

.?.赤=（3,0,0）15=（0,3,0）正=（3,3,0）花=（3,3,3）西=（0,3,3）

設(shè)平面a的法向量'”=（蒼％z）,

ABih

同一

3x=2^x2+y2+z2

ADrn<_______

即M=,令y=l,解得：x=2,Z=2/.m=（2,1,2）

則同

AC-tn_9_3

對于A,點(diǎn)C到平面a的距離為M'2"、2一,人正確:

ACXm_15_5

對于B,點(diǎn)G到平面a的距離為M"+'+2-,B錯誤;

對于C,門軸，平面48CO,二平面/5CO的一個法向量”=（°，0，1）,

——I2

cos<m.n>

，",〃>1=|一1IF=~32

H-H,即平面/BCD與平面。夾角的余弦值為3,c正確;

--2-5

t=AB—m=

239.a3）

對于D,48在平面。內(nèi)的投影對應(yīng)的向量3

卜"|6廂

/.|cos<Z,JDj>|

FH阿一3&X岔一*V

M

即在平面a內(nèi)射影與'2所成角的余弦值為5,D正確.

故選：ACD.

12.BCD

【分析】

r(\_X/?\

令,⑴-/">乙g(x)=xlnx,求導(dǎo)可求得了(x)，g(x)的單調(diào)性，利用極值點(diǎn)偏移的求解方法可求得

/(']=一:、/仕)</(°)，/仕]<f(b)f(\

AB正誤；由⑴g⑺，可確定⑷{cj,結(jié)合八x)單調(diào)性可得?口正誤.

【詳解】

令/㈤晦g(x)=x=,

..x_lnx-1

7X)2

,^~lnx,.?.當(dāng)xe(Le)時(shí)，/'(x)<0；當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，/?(x)>0；

'/(x)在0，e)上單調(diào)遞減，在(3+8)上單調(diào)遞增，且f(x)mm=/(e)=e；

若/（"）=/0）=2.86,則i<a<e<b,

令尸（x）=/O/（2e-x）i<x<e

,（、lnx-1In（2e-x）-llnx-ln2（2e-x）+ln2x-ln（2e-x）-ln2x-ln2（2e-x）

則'"ln2x+In2（2e-x）In2xln2（2e-x）

InxIn（2e-x）[ln（2e-x）+Inx]-In2x-ln2（2e-x）InxIn（2e-x）-In（-x2+2ex^-In2x-ln2（2e-x）

In2x-ln2（2e-x）In2x-ln2（2e-x）

...當(dāng)”￡（l,e）時(shí)，一工2+2ex<e2,

/.Inxln（2e-x）ln（-x2+2ex）-ln2x-ln2（2e-x）<21nxln（2e-x）-ln2x-ln2（2e-x）=-[lnx-ln（2e-x）]^

在0，e)上恒成立，二八)在0，e)上單調(diào)遞減，.??尸G)"(e)=0,

即/(x)>/(2e-x),又l<a<e,*e,f(a)>f(2e-a),

.?"(。)=(

，/./(6)>f2e-a)：?

b>e,2e-a>e,/(“)在(,，+8)上單調(diào)遞增，

：?b>2e-a,即a+b>2e,A錯誤;

?.?g'(x)=lnx+l,.當(dāng)“U時(shí)，g'(x)<°；當(dāng)'唱上)時(shí)，g'(x)>°；

(Jo,」化+00)g(xL=g]￡|=T

在l”上單調(diào)遞減，在1eJ上單調(diào)遞增，且leje

0<c<-<rf<l

由。111。=〃1111=一0.35得：e.

G(x)=g(x)-g[—x]0<x<-

設(shè)(e乙e,

G*(x)=lnx+1+ln^--x^+1=ln^—x-x2j+2

當(dāng)0<X<:時(shí)，,G,(X)<0,

.?.G(x)/唱卜的時(shí)弟潴???G(x)>G(j=Og(x)>g信-x]

\，在1,，上單倜遞減，vcy,，即1e人

又°<T,...g(>g(H,又g(>g(d),，g(d)>g(|-c)

,i2in一

.>e,e-C>e,gG)在[e，J上單調(diào)遞增,

22

d>—cc+d>—

e，即e,B正確；

1

斗工=-L

0<C<-<(/<1⑴1Jxlnxg(x)

*/1<a<e<Z>,e,xf

"用=-而=/"2857<2.86=/⑷

1<l<e

：<^<e,l<a<e,/(x)在@e)上單調(diào)遞減,

，乂

1

—>a

d，則?！?lt;1,C正確；

。2.857<2.86=f(b)l>e

g(c)、又c,b>e,/(X)在G，+8)上單調(diào)遞增，

：.-<b

。，則6。>1,D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題，處理極值點(diǎn)偏移問題中的類似于司+々＞"（

/（%）=）（馬））的問題的基本步驟如下：

①求導(dǎo)確定/（X）的單調(diào)性，得到再，%的范圍；

②構(gòu)造函數(shù)F（x）=/（x）-/（"-x）,求導(dǎo)后可得F（x）恒正或恒負(fù)；

③得到/6）與一王）的大小關(guān)系后，將/G）置換為/（々）；

④根據(jù)*2與所處的范圍，結(jié)合/（X）的單調(diào)性，可得到*2與“一片的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.

13.10

【分析】

將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排序，根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法直接求解即可.

【詳解】

將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列為:2,5,7,7,8,8,9,10,11.

；共有9個數(shù)據(jù)，9x80%=7.2,.?.第80百分位數(shù)即為從小到大的第8個數(shù)，

即第80百分位數(shù)為10.

故答案為：1°.

14.40

【分析】

x-i

將X看作一個整體，利用二項(xiàng)式定理可得展開式通項(xiàng)：繼續(xù)應(yīng)用二項(xiàng)式定理可得Ixj的展開式通

項(xiàng)，討論5-"24=2中，丁的取值，代回展開式通項(xiàng)即可.

【詳解】

展開式通項(xiàng)為

展開式通項(xiàng)為

令5-廠一2左=2,則r+2人=3,

.?.當(dāng)r=l,k=1時(shí),對應(yīng)的項(xiàng)為C；X（T）C；X2/=-40/

當(dāng)r=3,%=0時(shí)，對應(yīng)的項(xiàng)為CsxCzxZh=80%.

IxJ展開式中的系數(shù)為80-40=40.

故答案為：40.

4

15.9

【分析】

根據(jù)對立事件概率公式和獨(dú)立事件概率乘法公式依次計(jì)算每種接入方式對應(yīng)的概率，比較概率大小即可得

到結(jié)果.

【詳解】

1(,1n5

若［接入“，分別接入Ec,則該電路正常工作的概率為3I23)18.

1f,21)7

若Z接入6,耳心分別接入a，J則該電路正常工作的概率為2I33J18；

2(.21)4

若［接入C,%Z分別接入"力，則該電路正常工作的概率為3I32)9；

425

>>4

9-

1818,此電路正常工作的最大概率為5.

4

故答案為：9.

16.2加5

【分析】

根據(jù)阿波羅尼斯圓定義可確定忸4=2|尸劃，利用三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)4P,0三點(diǎn)共線時(shí)，

21Pz>1+21Pzi=21/。|,即為所求最小值；根據(jù)阿波羅點(diǎn)的定義，可設(shè)點(diǎn)。關(guān)于圓C對應(yīng)的阿波羅尼斯點(diǎn)為

E@也),由阿波羅尼斯圓定義可構(gòu)造方程求得"?點(diǎn)坐標(biāo)和對應(yīng)的T的值，得到引「同=2歸0，利用三角

形三邊關(guān)系可知當(dāng)4瓦P三點(diǎn)共線時(shí)，31PH-3歸同=3|力司，即為所求最大值.

【詳解】

M=1

由題意知：附2,即|心|=2|叫

2陷|+網(wǎng)=2阿|+2|射＞2\AD\（當(dāng)且僅當(dāng)A,P,D三點(diǎn)按順序共線時(shí)取等號），

又|/。|=JF+3。=回,二2|/犯+歸用的最小值為W記；

設(shè)點(diǎn)。關(guān)于圓c對應(yīng)的阿波羅尼斯點(diǎn)為，

矛_2一加_2+機(jī)

則點(diǎn)（。2）,（°，一2）到點(diǎn)。/的距離之比為："TT-371.

,”=3方=,d0,；）

解得：3,3,則13人

2

‘歸同=§儼?,即3忸同=2|尸。

31射-21叫=3陽|-3陽43圈（當(dāng)且僅當(dāng)/,瓦尸三點(diǎn)按順序共線時(shí)取等號）,

又悶3+（§）3,TF-21Pq的最大值是5

故答案為：2屈;5.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用圓的幾何性質(zhì)，求解距離之和與距離之差最值的問題：解題關(guān)鍵是充分理解阿

波羅尼斯圓的定義，將所求距離進(jìn)行等距離的轉(zhuǎn)化，從而將問題轉(zhuǎn)化為三角形三邊關(guān)系問題，從而確定當(dāng)

無法構(gòu)成三角形時(shí)取得對應(yīng)的最值.

C=-

17.（1）3

Q）Q+6=3

【分析】

（1）由向量共線列出等式，用正弦定理和兩角和的正弦公式化簡，可求得角C；

（2）由面積公式解出川的值，再由余弦定理解得6的值.

【詳解】

（1）向量而=（26一°，c）與向量萬=（cos4cosC）共線，有（26_〃）8$0=8。54,由正弦定理得

2sin5cosc-sin4cosc=sinCcosZ,

2sinBcosC=sinAcosC+cos^sinC=sin(Z+C)=sin(7T-3)=sin_8

,,，

由0<6〈兀，sinB>Of...2cosC=l,2,又0<C<兀，,3

C=—sinC=^-cosC=—

(2)由(1)知3,2,2,

SAABC=—absinC=-abx——=

2222,得帥=2,

由余弦定理"=/+"2-2abcosC=(a+bj-3ab

.?.3=G+4-6,解得4+6=3

2,H=1

3?2”2,〃N2

18.(1)

,5762

7io=-nr

⑵11

【分析】

（1）利用凡與S"的關(guān)系可證得數(shù)列｛%｝自第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列，由此可得“22時(shí)的通項(xiàng)公式，驗(yàn)證可

知％=2不滿足該通項(xiàng)，進(jìn)而可得分段數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）采用分組求和的方式，對奇數(shù)項(xiàng)，結(jié)合等比數(shù)列求和方法可求得奇數(shù)項(xiàng)的和；對偶數(shù)項(xiàng)可化筒通項(xiàng)

2+2（-----1

公式為l"T"+U,采用裂項(xiàng)相消可求得偶數(shù)項(xiàng)的和；加和即可得到

【詳解】

（1）當(dāng)〃22且〃wN*時(shí)，=S“—Si=%+]—a”，.?.%+]=2a〃,

又4=S|=%-1=2,,?.%=3,則數(shù)列W自第二項(xiàng)開始為公比為2的等比數(shù)列

2

an=3-2"-（?>2）

.?.4=2不滿足%=32-2」《‘332-2,〃22

（2）當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),b“=a?

A+.+4+67+4=2+3x2+3x2,+3x2$+3x2,=2+3x婦工512

由⑴得：1-4

b_〃+]+〃_[_(〃+])2+("1)2_2/+2_2+

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，〃n~}"1(〃-1)(〃+1)n

11111111\_

二.優(yōu)+4+亳+4+，io=2x5+2x|1+----+—I-----------1—

33557799H

&=512+2變

101111

19.(1)證明見解析

4

(2)3

【分析】

（1）由余弦定理和勾股定理證明出口，力3,利用直線與平面垂直的判定定理可得結(jié)論；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)尸尸利用平面4E尸與平面48的夾角為30°,用法向量解

出工，可得線段尸尸的長度.

【詳解】

AE2=5=AB2+BE1=AB2+[^\

（1）4BCD是正方形,￡是8C的中點(diǎn)，在RMABE中，I2J4，解得

32,

△P4B中,48=2,尸N=26，/4BP=60°,由余弦定理，PA2=AB2+PB--2AB-PBcosZABP,即

PB2-2PB-8=Q,解得PB=4,

PA2+AB2=PB2,.-.PAIAB,又AELPA,/E，/8u平面/夕⑦，XEc/8=4,二P/J_平面Z8CD.

（2）以A為原點(diǎn)，"，存，而分別為x軸，了軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則有［0,0,0),尸&6,0,0),8(020),￡(0,2,1)2)(0,0,2)

設(shè)方=2而(0</1<1)有方=4萬+而=義626，°，2>(2百，0，。)=@&(1一)，0,2兀).

F(273(1-2),0,2/1)

NE=(0,2,1),"=(26(1-4),0,2。設(shè)平面/E尸的一個法向量4=(x，V，z),

n-AE=2y+z=0(2,

有卜方=2項(xiàng)-》+24z=0,令y=G,則z=_2?x=呂，產(chǎn)I——

平面P/8的一個法向量為玩=(°，°，1),

W色砌二瑞

平面AEF與平面PAB的夾角為30=,

I~~；----7PF=APD=--

PD=<PA-+AD-=4,3,...線段PF的長度為3.

-----1-----=1

20.(1)63

⑵火(LT),|甩=石

【分析】

(1)將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程，與離心率聯(lián)立方程組，求出a,b；

(2)設(shè)立直線/8的方程，根據(jù)條件求出48的方程，求出0點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于N8斜率的表達(dá)式，再消去參數(shù)即

可.

【詳解】

_￡+_1__]fL=L

(1)將點(diǎn)尸坐標(biāo)代入橢圓方程得：/+3=…①，由離心率得下-5,。2=2。2,

^a2=b2+c2,.-.a2=2b2,代入①解得、=6,/=3

----1=1

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：63.

⑵設(shè)"（士,乂）,8&,%）,。仁,%），不妨設(shè)”（。，加），（04〃?＜右），直線工8的方程為了=6+"；

Iy=Ax4-72

聯(lián)立方程lx、2/=6得（1+2公然+4knx+2n2-6=0

2n2-6不否4kn

?F”用記…①?^^一百至

直線，尸的方程為：尸合（I川，直線旅的方程為「二矢（7"

%=-2?上1+1,%=-2?%二+1

令x=0得再一2X2-2,由題意：%+%=0,

..T?%一1「］

"x,-2X2-2,化簡得：乂（》2一2）+%（再-2）-&々+&+、2=0,

2kXX

將必=米|+〃，力=履2+〃代入上式化簡得：（-OI2+（ft-2k+l）（x,+x2）-4?=0,

將①@式代入上式并化簡得：（〃+3）儂+〃-1）=0,即〃+3=0或者2上+”-1=0,

如果〃=1-2左，則的方程為'=去+1-2%=%3-2）+1,為過定點(diǎn)尸的直線，顯然不符合題意，舍;

?二〃二一3,48的方程為＞=自-3,

,y0=kx0-3,yvPQ1AB,PQ^AB=O,即（見一2,為-1）（西一々，必一為）二。，

???A=匕二區(qū)

（%-2）（X|-X2）+&0-1）（乂-%）=。,%1-%2,??“0-2+%（歹0-1）=0

4k+2

XQ=---------丁