2023屆湖南省永州市高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期第二次高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題含答案

永州市2023年高考第二次適應(yīng)性考試試卷

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共150分，考試時(shí)量120分鐘.

2.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效.

3.考試結(jié)束后，只交答題卡.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合'=，2}，/C8訓(xùn)…8={0,1,2},則集合8=（）

A.{"I〉B.{。2}C..2}D.{1}

2.己知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z0-i）=l+2i,則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第四象限B.第三象限

C.第二象限D(zhuǎn).第一象限

V2sin|a+—|>1

3.“a是銳角”是“I4J，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.設(shè)。為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，AD=3AB,則（）

A.CD^3CA-2CBB.CD=3CA+2CB

C.CD^-2CA-3CBD.CD=~2CA+^CB

5.若存在常數(shù)a，,使得函數(shù)/（'）對(duì)定義域內(nèi)的任意》值均有f（x）+f（2"x）=2b,則/（》）關(guān)于點(diǎn)

（"M對(duì)稱，函數(shù)稱為“準(zhǔn)奇函數(shù)”.現(xiàn)有“準(zhǔn)奇函數(shù)”g（x）,對(duì)于VxeR,g（x）+g（-x）=4,則函數(shù)

“x）=sinx+x+2g（x）-l在區(qū)間［-2023,2023］上的最大值與最小值的和為（）

A.4B.6C.7D.8

6.如圖，耳用為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過工的直線交雙曲線于伉。兩點(diǎn)，且用。=358,E為線段。耳的

中點(diǎn)，若對(duì)于線段。耳上的任意點(diǎn)尸，都有PF「PBNEF「EB成立,則雙曲線的離心率是（）

X

/\

A.&B.百C.2D.加

二3〃-7*

2"T,若對(duì)任意的"eN，6-%)('一")<°,則實(shí)數(shù)幾的取值范圍是

7.已知數(shù)列2n-l

()

?更］<518)cdD.

A.(2'5jB.(8'5

8.如圖，在三棱錐Z-8CO中，N4BC=45°,點(diǎn)尸在平面88內(nèi)，過尸作尸02月8于0,當(dāng)與面

M

BCD所成最大角的正弦值是~時(shí)，°。與平面/8C所成角的余弦值是()

/I

(>1

\iP/

D

V10V6V15

A.5B.4C.5D.6

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得2分.

/'(x)=sin2x+--2A/3sinxcosx

9.己知函數(shù).I6J,則(：)

A./(X)的最大值為1

_兀

B.直線是/(*)圖象的一條對(duì)稱軸

C./（X）在區(qū)間I上單調(diào)遞減

,z\信,o]

D.的圖象關(guān)于點(diǎn)（6J對(duì)稱

10.己知°為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線V=4x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,過點(diǎn)尸的直線交拋物線于“，8兩點(diǎn)，下列

說法正確的有（）

A.線段48長(zhǎng)度的最小值為4

B.過點(diǎn)"（°』）與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有兩條

C.直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)。，則直線。8平行x軸

D.可能為直角三角形

11.如圖，棱長(zhǎng)為3的正方體"8s-44GA的頂點(diǎn)A在平面a內(nèi)，其余各頂點(diǎn)均在平面a的同側(cè)，己知

頂點(diǎn)28到平面a的距離分別是1和2.下列說法正確的有（）

Cl

:）伍

D（

/A/

,<a

A.點(diǎn)C到平面a的距離是3

B.點(diǎn)G到平面&的距離是4

2

C.正方體底面NBC。與平面。夾角的余弦值是§

D.45在平面。內(nèi)射影與所成角的余弦值為飛-

—=—=2.86

12.己知InaIn6,c\nc=d\nd=-0.35,a<bfc<d9則有（）

」2

c+d>一

A.a+b<2eB.e

c.ad<1D.bc>\

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.數(shù)據(jù)：2,5,7,9,11,8,7,8,10中的第80百分位數(shù)是.

fx--+2l

14.Ix)的展開式中f的系數(shù)是

!2

15.三個(gè)元件,獨(dú)立正常工作的概率分別是把它們隨意接入如圖所示電路的三個(gè)接線盒

0心/中(一盒接一個(gè)元件)，各種連接方法中，此電路正常工作的最大概率是.

T.

-----=?!(aw1)

16.對(duì)平面上兩點(diǎn)48,滿足的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼

斯發(fā)現(xiàn)，命名為阿波羅尼斯圓，稱點(diǎn)45是此圓的一對(duì)阿波羅點(diǎn).不在圓上的任意一點(diǎn)都可以與關(guān)于此圓的

另一個(gè)點(diǎn)組成一對(duì)阿波羅點(diǎn)，且這一對(duì)阿波羅點(diǎn)與圓心在同一直線上，其中一點(diǎn)在圓內(nèi)，另一點(diǎn)在圓外，

系數(shù)又只與阿波羅點(diǎn)相對(duì)于圓的位置有關(guān).已知"(L°),8(4,0),0(0,3),與48兩點(diǎn)距離比是3的點(diǎn)

尸的軌跡方程是C：/+V=4,則2忱0+-8|的最小值是；最大值是31PH一2|尸"的最大值是

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知“8C的內(nèi)角4民0的對(duì)邊分別為a,b,c,且向量歷=(2b-a,c)與向量"=(cos4cosC)共線

⑴求C;

先

(2)若C=?，AN8C的面積為2,求a+6的值.

18.已知數(shù)列｛氏｝的前〃項(xiàng)和為，，若囚=2

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

是奇數(shù)

"i"I?"l〃是偶數(shù)

(2)若數(shù)列也｝滿足〔〃一1〃+1'',求數(shù)列也｝的前10項(xiàng)和幾.

19.如圖，在四棱錐中，四邊形N8CO是正方形，￡是8c的中點(diǎn)，

PA=2瓜NABP=60°,AE=技4E_LPA

E

(1)求證：尸/，平面/8CZ)；

(2)若F是線段尸。上的動(dòng)點(diǎn)(不含線段端點(diǎn))，當(dāng)平面"EF與平面尸48的夾角為30。時(shí)，求線段PF的長(zhǎng)度.

X2y272

C：r+J=l（Q>b>0）

的離心率是下一，且過點(diǎn)PQ』).

20.橢圓才匕

⑴求C的方程:

⑵過點(diǎn)P的直線體與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別是48,與V軸分別交于M,N,且M°=ON,PQ-8于點(diǎn)°,

是否存在定點(diǎn)R使得囚加是定值？若存在，求出點(diǎn)尺的坐標(biāo)與的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

21.當(dāng)前，新冠病毒致死率低，但傳染性較強(qiáng).經(jīng)初步統(tǒng)計(jì)，體質(zhì)好的人感染呈顯性(出現(xiàn)感染癥狀)或呈

隱性(無感染癥狀)的概率都是萬，體質(zhì)不好的人(易感人群)感染會(huì)呈顯性，感染后呈顯性與呈隱性的

傳染性相同，且人感染后在相當(dāng)一段時(shí)期內(nèi)不會(huì)二次感染.現(xiàn)有甲乙丙三位專家要當(dāng)面開個(gè)小型研究會(huì)，其

±1

中甲來源地人群的感染率是5,乙來源地人群的感染率是3,丙來源地?zé)o疫情，甲乙兩人體質(zhì)很好，丙屬

于易感人群，參會(huì)前三人都沒有感染癥狀，只確定丙未感染.會(huì)議期間，三人嚴(yán)格執(zhí)行防疫措施，能隔斷

2

與的病毒傳播，且會(huì)議期間不管誰感染，會(huì)議都要如期進(jìn)行，用頻率估計(jì)概率.

(1)求參會(huì)前甲已感染的概率；

(2)若甲參會(huì)前已經(jīng)感染，丙在會(huì)議期間被感染，求丙感染是因?yàn)橐覀魅镜母怕剩?/p>

(3)若參會(huì)前甲己感染，而乙、丙均未感染，設(shè)會(huì)議期間乙、丙兩人中感染的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求隨機(jī)變量

X的分布列與期望.

22.已知函J'戶口八~

⑴討論"x)的單調(diào)性;

⑵若x>0時(shí)，=+2八及一“八加+2-2)0,求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

1.A

【分析】

由已知條件確定集合8中的元素.

【詳解】

已知集合/={1，2},4c8={1},4u3={0,1,2}

...IGS,0G5,2m

則集合8={。」}.

故選：A

2.C

【分析】

利用復(fù)數(shù)的除法，求出復(fù)數(shù)z,從而可求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于的象限.

【詳解】

l+2i_(l+2i)(l+i)_13

復(fù)數(shù)z滿足z(l)=l+2i,則1(l-i)0+i)22,

???復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是I22),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.

故選：C.

3.A

【分析】

根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求法可證得充分性成立；根據(jù)值域可構(gòu)造不等式求得a的范圍，知必要性不成立,

由此可得結(jié)論.

【詳解】

-)+汨爭(zhēng)

TT兀，兀3l

若。為銳角，則0<6Z<一2,.二aH—4G(一4,一4

后sin(a+：)￡°,血］血sin(a+；

>1

,充分性成立；

V2sinfcr+—1>1sin(a+工］〉

當(dāng)I心時(shí)，l口2,

兀c,兀3?！?Z.—、

—F2kn<H—<--F2kli(k￡Zr)2kn<a<y4-2kn(kGZ)

444'。解得：

當(dāng)人工°時(shí)，々不是銳角，必要性不成立；

x/2sin|<7+—I>1

，“a是銳角”是“I4J，，的充分不必要條件.

故選：A.

4.D

【分析】

運(yùn)用平面向量加法規(guī)則計(jì)算.

【詳解】

,回n,CD=CB+BD=CB+2AB=CB+2(AC+CB}=2AC+3CB-2CA+3CB

依題意作上圖，則17

故選：D.

5.B

【分析】

令()g(),().,根據(jù)“準(zhǔn)奇函數(shù)''的定義可確定機(jī)(無),/(x)都關(guān)于(°，3)對(duì)稱，則

由對(duì)稱性可得”0)+3的最值之和，進(jìn)而得到“(X)的最值之和.

【詳解】

令?x)=2g(x)-1,貝『(r)+=2g(r)_1+2g(x)_1=6,

,」(x)關(guān)于點(diǎn)(3)中心對(duì)稱；

盡m(x)=sinx+x+3貝?(一1)+機(jī)(x)=-sinx—x+3+sinx+x+3=6

關(guān)于點(diǎn)(0,3)中心對(duì)稱；

,/〃(x)=(x)-3〃(x)+3=(x)

設(shè)刀(x)在x=X。處取得最大值，則在X=-X。處取得最小值

.?.A(x)+3+A(-x)+3=/n(x)+m(-x)+Z(x)+i(-x)=12

000000f

)+〃(-x0)=6,即〃(x)的最大值與最小值的和為6.

故選：B.

6.D

【分析】

取耳8中點(diǎn)°,根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律和向量線性運(yùn)算可將已知數(shù)量積不等式化為質(zhì)-2E0,由此可確

定怎_L。耳，由三角形中位線性質(zhì)知斗，吟設(shè)忸訃加，結(jié)合雙曲線定義可表示出的，阿在

RLB*和R3DFR中，利用勾股定理可求得離心率.

【詳解】

取耳8中點(diǎn)0,連接

..而國(guó)T斯+萬戶伴狗卜★對(duì)_肅＞對(duì)_;幫

鉉.麗=（［回+而對(duì)卜1弦—肅｝麗2_；甫

...麗一甫.4肅則網(wǎng)公說「酈園恒成立，

EQ1DF［又EQHBD.■BDtDF1,

設(shè)忸周=由率=3可得：忸D|=2m,

根據(jù)雙曲線定義可知：卬町T*卜2。=3而-2°,忸耳卜忸周+2°=陽+2a

4

???忸0「+|0用2=|此『即4機(jī)2+（3機(jī)_2q）2=（加+2力

■.\DF\=2a\DF\=4a@閭2+|。用月引：,20a2=4c2

t,2，，f

，C，2（

：.e^=—=5r-

曠,則離心率e=15

故選：D.

7.B

【分析】

求出也的最值，由不等式恒成立，求出實(shí)數(shù)2的取值范圍.

【詳解】

,88

n-1H----->〃-I-----?

當(dāng)%>4間，有2n-\2/7+1,由〃wN,解得〃《2；

88

n-1tH-----<〃H-----.

當(dāng)有2〃-12〃+1,由〃wN,解得〃23,

n—竺更

4一］,%_M，。2>。3,所以可的最小值為

3〃-7377-4

-—---T-Tr->>~—7—

當(dāng)4>〃山，有2"T2",由〃eN,解得“24；

37?-73〃一4

2?-i'

當(dāng)有2",由解得“V3,

L5L1

h=5

b4=—a=一

48,'2,…，所以“，的最大值為48.

所以北的最小值大于4的最大值，即%恒成立，

所以（八%）（"，）<°解得也,<2<%,對(duì)任意的”eN*,恒成立，則有功<彳<%,即實(shí)數(shù)

但，埒

力的取值范圍是（85）

故選：B

8.C

【分析】

過0作45的垂面，過作平面8CQ的垂面過。作°G_L8M,設(shè)8〃口所=尸，

結(jié)合面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可證得此點(diǎn)即為0°與面BCD所成角最大時(shí)對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)，

.,?DDVio

由此得到~4.過戶作由面面垂直性質(zhì)和線面角定義可知，

tanNQBP=cosNEQP=---5----

NEQP即為尸2與平面Z8C所成角，利用tanN0P8可求得結(jié)果

【詳解】

7

過2作48的垂面。比,交平面/3C于EF,即/810E,AB1QFfAB1EF,

過AB作平面BCD的垂面ABM,即平面ABMI平面BCD,

過。作°G18例，垂足為G,如下圖所示，

/i\x

（1一-十丁￡一:1—B

w\I/F

\I><

D

設(shè)8Mn￡F=P,則此點(diǎn)即為0°與面88所成角最大時(shí)對(duì)應(yīng)的尸點(diǎn)，理由如下：

,?,尸。恒成立，...尸e平面QEF,

又Pe平面8C。，平面OE^n平面8。。=￡尸，.?.尸eEF；

?.?平面J?平面BCD,平面/BMc平面8c，QGu平面力8”，QG1BM,

■'-QG1?平面8CZ）,

.-.sinZQPB=^-

，P0與面8CO所成角即為N0P8,PQ

T°G為定值，，當(dāng)d。最小時(shí)，sin/0PG最大，即NQPB最大,

,.?EFu平面BCD,QG￡EF,

又ABLEF,AB^\QG=Qu平面”用，...文_L平面力8M,

則當(dāng)P為8”,所交點(diǎn)時(shí)，川,尸°,此時(shí)尸°取得最小值，

../（JDD-

.?.當(dāng)awnEF=P時(shí)，PQ與面88所成角最大，為/。尸巴…11--??；

過P作尸”10￡,垂足為“，連接2”,

A

A.

/II

cv-I1鏗；：卜二步A

\I

\/."/*，'十4//

Al

\I

D

平面48<^平面力86,，平面48。/平面0勿',

又平面QEF八平面4BC=QE,平面QEF,r.W平面N8C,

NEQP即為P0與平面ABC所成角,

cosZEQP=^

在RtA°PE中，丫

?.?4BC=45°,N8J.QE,.?.△即￡：為等腰直角三角形，即Q8=QE,

tanN08P=*

又QB,tanZ.QBP=cosZ.EQP

'：sinNQPB=tanZQPB=--

?,33尸=嬴^^=春=乎

???ZQBP+NQPB*

3

■Z_EQP=屈

c'os5,即PQ與平面”8C所成角的余弦值為5.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中的線面角的求解問題，解題關(guān)鍵是通過作垂面的方式，確定尸。與面

8。所成角最大時(shí)，尸點(diǎn)的具體位置，由此結(jié)合面面垂直性質(zhì)和線面角的定義來進(jìn)行求解.

9.ABC

【分析】

/（x）=cos|2x+—I

利用兩角和差公式、二倍角和輔助角公式可化簡(jiǎn)得到I3九根據(jù)余弦型函數(shù)最值可知A正

確；利用代入檢驗(yàn)法，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)，依次驗(yàn)證BCD正誤即可.

【詳解】

對(duì)于A,/（x）mx=LA正確；

7t-7TTC

x=-2x+—=7t..x=-f（Y、

對(duì)于B,當(dāng)3時(shí)，33是/GJ的一條對(duì)稱軸，B正確；

對(duì)于C,當(dāng)V時(shí)，2》+§,（°，兀），此時(shí)/（X）單調(diào)遞減，c正確;

J不是/（X）的對(duì)稱中心，D錯(cuò)誤.

對(duì)于D,

故選：ABC.

10.AC

【分析】

設(shè)“8:x=（y+l,與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論：利用拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求得

|/用=獷+424,知人正確；分別討論斜率不存在、斜率為零和斜率不為零的情況，結(jié)合拋物線切線的求

y4

OA:y=—x=—xD-1,

法可確定B錯(cuò)誤；直線須必，由此可得I"人由斜率公式可化簡(jiǎn)得到《《=°,知C

正確；由向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算可知7?麗二°，知D錯(cuò)誤.

【詳解】

由拋物線方程知：“L°）,=

由題意知：直線”8斜率不為零，則可設(shè)"3:x="+l,"（%,必），'（乂2，%），

卜="+1

由[,=4x得：/-4（y-4=0t.,.必+%=4/,y,y2=-4（

二再+々=/（乂+夕2）+2=4廠+2,演々-44-1,

對(duì)于A,陽|=*+々+2=4*+4,則當(dāng)f=0,即軸時(shí)，M卻取得最小值4,人正確;

對(duì)于B,當(dāng)過加（°」）直線斜率不存在，即為x=0時(shí)，其與拋物線交于點(diǎn)似°）：

當(dāng)過"（0,1）直線斜率為零，即為y=l時(shí)，其與拋物線交于點(diǎn)（J1）：

設(shè)過加（°，1）的拋物線的斜率存在的切線為夕=去+1。*°）,

y2=4無

由,=丘+1得：后丫+（2左一4卜+1=0,.?.△=（2"4）2-442=0,解得：k=l,

???直線P=x+1與拋物線相切；

綜上所述：過點(diǎn)陽（°」）且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有三條，B錯(cuò)誤；

OA:y=-x=-^-x=—x（4、

再必D-1,——

對(duì)于C,直線4，則（弘人

4必為+4

%+——

.k_一必_必_/%+4

??八DB———?、-u

Z+1x2+\乂（與+1）,則直線08平行于x軸，C正確：

對(duì)于D,若為直角三角形，則。

?.-OAOB=xix2+y]y2=\-4=-3^0tON_L05不成立，即“08不能為直角三角形，口錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.ACD

【分析】

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面a的法向量利用點(diǎn)到平面a的距離可構(gòu)

造方程組，解得法向量前，由點(diǎn)到平面距離的向量求法可求得AB正誤；由面面角的向量求法可求得C正

確；首先確定投影對(duì)應(yīng)的向量，利用線線角的向量求法可知D正確.

【詳解】

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)閤,y,z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則/（0,0,0）,8（3,0,0）,C（3,3,0）,。（0,3,0）,G（3,3,3）,D,（0,3,3）

.?.赤=（3,0,0）15=（0,3,0）正=（3,3,0）花=（3,3,3）西=（0,3,3）

設(shè)平面a的法向量'”=（蒼％z）,

ABih

同一

3x=2^x2+y2+z2

ADrn<_______

即M=,令y=l,解得：x=2,Z=2/.m=（2,1,2）

則同

AC-tn_9_3

對(duì)于A,點(diǎn)C到平面a的距離為M'2"、2一,人正確:

ACXm_15_5

對(duì)于B,點(diǎn)G到平面a的距離為M"+'+2-,B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,門軸，平面48CO,二平面/5CO的一個(gè)法向量”=（°，0，1）,

——I2

cos<m.n>

，",〃>1=|一1IF=~32

H-H,即平面/BCD與平面。夾角的余弦值為3,c正確;

--2-5

t=AB—m=

239.a3）

對(duì)于D,48在平面。內(nèi)的投影對(duì)應(yīng)的向量3

卜"|6廂

/.|cos<Z,JDj>|

FH阿一3&X岔一*V

M

即在平面a內(nèi)射影與'2所成角的余弦值為5,D正確.

故選：ACD.

12.BCD

【分析】

r(\_X/?\

令,⑴-/">乙g(x)=xlnx,求導(dǎo)可求得了(x)，g(x)的單調(diào)性，利用極值點(diǎn)偏移的求解方法可求得

/(']=一:、/仕)</(°)，/仕]<f(b)f(\

AB正誤；由⑴g⑺，可確定⑷{cj,結(jié)合八x)單調(diào)性可得?口正誤.

【詳解】

令/㈤晦g(x)=x=,

..x_lnx-1

7X)2

,^~lnx,.?.當(dāng)xe(Le)時(shí)，/'(x)<0；當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，/?(x)>0；

'/(x)在0，e)上單調(diào)遞減，在(3+8)上單調(diào)遞增，且f(x)mm=/(e)=e；

若/（"）=/0）=2.86,則i<a<e<b,

令尸（x）=/O/（2e-x）i<x<e

,（、lnx-1In（2e-x）-llnx-ln2（2e-x）+ln2x-ln（2e-x）-ln2x-ln2（2e-x）

則'"ln2x+In2（2e-x）In2xln2（2e-x）

InxIn（2e-x）[ln（2e-x）+Inx]-In2x-ln2（2e-x）InxIn（2e-x）-In（-x2+2ex^-In2x-ln2（2e-x）

In2x-ln2（2e-x）In2x-ln2（2e-x）

...當(dāng)”￡（l,e）時(shí)，一工2+2ex<e2,

/.Inxln（2e-x）ln（-x2+2ex）-ln2x-ln2（2e-x）<21nxln（2e-x）-ln2x-ln2（2e-x）=-[lnx-ln（2e-x）]^

在0，e)上恒成立，二八)在0，e)上單調(diào)遞減，.??尸G)"(e)=0,

即/(x)>/(2e-x),又l<a<e,*e,f(a)>f(2e-a),

.?"(。)=(

，/./(6)>f2e-a)：?

b>e,2e-a>e,/(“)在(,，+8)上單調(diào)遞增，

：?b>2e-a,即a+b>2e,A錯(cuò)誤;

?.?g'(x)=lnx+l,.當(dāng)“U時(shí)，g'(x)<°；當(dāng)'唱上)時(shí)，g'(x)>°；

(Jo,」化+00)g(xL=g]￡|=T

在l”上單調(diào)遞減，在1eJ上單調(diào)遞增，且leje

0<c<-<rf<l

由。111。=〃1111=一0.35得：e.

G(x)=g(x)-g[—x]0<x<-

設(shè)(e乙e,

G*(x)=lnx+1+ln^--x^+1=ln^—x-x2j+2

當(dāng)0<X<:時(shí)，,G,(X)<0,

.?.G(x)/唱卜的時(shí)弟潴???G(x)>G(j=Og(x)>g信-x]

\，在1,，上單倜遞減，vcy,，即1e人

又°<T,...g(>g(H,又g(>g(d),，g(d)>g(|-c)

,i2in一

.>e,e-C>e,gG)在[e，J上單調(diào)遞增,

22

d>—cc+d>—

e，即e,B正確；

1

斗工=-L

0<C<-<(/<1⑴1Jxlnxg(x)

*/1<a<e<Z>,e,xf

"用=-而=/"2857<2.86=/⑷

1<l<e

：<^<e,l<a<e,/(x)在@e)上單調(diào)遞減,

，乂

1

—>a

d，則。〃<1,C正確；

。2.857<2.86=f(b)l>e

g(c)、又c,b>e,/(X)在G，+8)上單調(diào)遞增，

：.-<b

。，則6。>1,D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題，處理極值點(diǎn)偏移問題中的類似于司+々＞"（

/（%）=）（馬））的問題的基本步驟如下：

①求導(dǎo)確定/（X）的單調(diào)性，得到再，%的范圍；

②構(gòu)造函數(shù)F（x）=/（x）-/（"-x）,求導(dǎo)后可得F（x）恒正或恒負(fù)；

③得到/6）與一王）的大小關(guān)系后，將/G）置換為/（々）；

④根據(jù)*2與所處的范圍，結(jié)合/（X）的單調(diào)性，可得到*2與“一片的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.

13.10

【分析】

將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排序，根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法直接求解即可.

【詳解】

將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列為:2,5,7,7,8,8,9,10,11.

；共有9個(gè)數(shù)據(jù)，9x80%=7.2,.?.第80百分位數(shù)即為從小到大的第8個(gè)數(shù)，

即第80百分位數(shù)為10.

故答案為：1°.

14.40

【分析】

x-i

將X看作一個(gè)整體，利用二項(xiàng)式定理可得展開式通項(xiàng)：繼續(xù)應(yīng)用二項(xiàng)式定理可得Ixj的展開式通

項(xiàng)，討論5-"24=2中，丁的取值，代回展開式通項(xiàng)即可.

【詳解】

展開式通項(xiàng)為

展開式通項(xiàng)為

令5-廠一2左=2,則r+2人=3,

.?.當(dāng)r=l,k=1時(shí),對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為C；X（T）C；X2/=-40/

當(dāng)r=3,%=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為CsxCzxZh=80%.

IxJ展開式中的系數(shù)為80-40=40.

故答案為：40.

4

15.9

【分析】

根據(jù)對(duì)立事件概率公式和獨(dú)立事件概率乘法公式依次計(jì)算每種接入方式對(duì)應(yīng)的概率，比較概率大小即可得

到結(jié)果.

【詳解】

1(,1n5

若［接入“，分別接入Ec,則該電路正常工作的概率為3I23)18.

1f,21)7

若Z接入6,耳心分別接入a，J則該電路正常工作的概率為2I33J18；

2(.21)4

若［接入C,%Z分別接入"力，則該電路正常工作的概率為3I32)9；

425

>>4

9-

1818,此電路正常工作的最大概率為5.

4

故答案為：9.

16.2加5

【分析】

根據(jù)阿波羅尼斯圓定義可確定忸4=2|尸劃，利用三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)4P,0三點(diǎn)共線時(shí)，

21Pz>1+21Pzi=21/。|,即為所求最小值；根據(jù)阿波羅點(diǎn)的定義，可設(shè)點(diǎn)。關(guān)于圓C對(duì)應(yīng)的阿波羅尼斯點(diǎn)為

E@也),由阿波羅尼斯圓定義可構(gòu)造方程求得"?點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)的T的值，得到引「同=2歸0，利用三角

形三邊關(guān)系可知當(dāng)4瓦P三點(diǎn)共線時(shí)，31PH-3歸同=3|力司，即為所求最大值.

【詳解】

M=1

由題意知：附2,即|心|=2|叫

2陷|+網(wǎng)=2阿|+2|射＞2\AD\（當(dāng)且僅當(dāng)A,P,D三點(diǎn)按順序共線時(shí)取等號(hào)），

又|/。|=JF+3。=回,二2|/犯+歸用的最小值為W記；

設(shè)點(diǎn)。關(guān)于圓c對(duì)應(yīng)的阿波羅尼斯點(diǎn)為，

矛_2一加_2+機(jī)

則點(diǎn)（。2）,（°，一2）到點(diǎn)。/的距離之比為："TT-371.

,”=3方=,d0,；）

解得：3,3,則13人

2

‘歸同=§儼?,即3忸同=2|尸。

31射-21叫=3陽|-3陽43圈（當(dāng)且僅當(dāng)/,瓦尸三點(diǎn)按順序共線時(shí)取等號(hào)）,

又悶3+（§）3,TF-21Pq的最大值是5

故答案為：2屈;5.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用圓的幾何性質(zhì)，求解距離之和與距離之差最值的問題：解題關(guān)鍵是充分理解阿

波羅尼斯圓的定義，將所求距離進(jìn)行等距離的轉(zhuǎn)化，從而將問題轉(zhuǎn)化為三角形三邊關(guān)系問題，從而確定當(dāng)

無法構(gòu)成三角形時(shí)取得對(duì)應(yīng)的最值.

C=-

17.（1）3

Q）Q+6=3

【分析】

（1）由向量共線列出等式，用正弦定理和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，可求得角C；

（2）由面積公式解出川的值，再由余弦定理解得6的值.

【詳解】

（1）向量而=（26一°，c）與向量萬=（cos4cosC）共線，有（26_〃）8$0=8。54,由正弦定理得

2sin5cosc-sin4cosc=sinCcosZ,

2sinBcosC=sinAcosC+cos^sinC=sin(Z+C)=sin(7T-3)=sin_8

,,，

由0<6〈兀，sinB>Of...2cosC=l,2,又0<C<兀，,3

C=—sinC=^-cosC=—

(2)由(1)知3,2,2,

SAABC=—absinC=-abx——=

2222,得帥=2,

由余弦定理"=/+"2-2abcosC=(a+bj-3ab

.?.3=G+4-6,解得4+6=3

2,H=1

3?2”2,〃N2

18.(1)

,5762

7io=-nr

⑵11

【分析】

（1）利用凡與S"的關(guān)系可證得數(shù)列｛%｝自第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列，由此可得“22時(shí)的通項(xiàng)公式，驗(yàn)證可

知％=2不滿足該通項(xiàng)，進(jìn)而可得分段數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）采用分組求和的方式，對(duì)奇數(shù)項(xiàng)，結(jié)合等比數(shù)列求和方法可求得奇數(shù)項(xiàng)的和；對(duì)偶數(shù)項(xiàng)可化筒通項(xiàng)

2+2（-----1

公式為l"T"+U,采用裂項(xiàng)相消可求得偶數(shù)項(xiàng)的和；加和即可得到

【詳解】

（1）當(dāng)〃22且〃wN*時(shí)，=S“—Si=%+]—a”，.?.%+]=2a〃,

又4=S|=%-1=2,,?.%=3,則數(shù)列W自第二項(xiàng)開始為公比為2的等比數(shù)列

2

an=3-2"-（?>2）

.?.4=2不滿足%=32-2」《‘332-2,〃22

（2）當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),b“=a?

A+.+4+67+4=2+3x2+3x2,+3x2$+3x2,=2+3x婦工512

由⑴得：1-4

b_〃+]+〃_[_(〃+])2+("1)2_2/+2_2+

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，〃n~}"1(〃-1)(〃+1)n

11111111\_

二.優(yōu)+4+亳+4+，io=2x5+2x|1+----+—I-----------1—

33557799H

&=512+2變

101111

19.(1)證明見解析

4

(2)3

【分析】

（1）由余弦定理和勾股定理證明出口，力3,利用直線與平面垂直的判定定理可得結(jié)論；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)尸尸利用平面4E尸與平面48的夾角為30°,用法向量解

出工，可得線段尸尸的長(zhǎng)度.

【詳解】

AE2=5=AB2+BE1=AB2+[^\

（1）4BCD是正方形,￡是8C的中點(diǎn)，在RMABE中，I2J4，解得

32,

△P4B中,48=2,尸N=26，/4BP=60°,由余弦定理，PA2=AB2+PB--2AB-PBcosZABP,即

PB2-2PB-8=Q,解得PB=4,

PA2+AB2=PB2,.-.PAIAB,又AELPA,/E，/8u平面/夕⑦，XEc/8=4,二P/J_平面Z8CD.

（2）以A為原點(diǎn)，"，存，而分別為x軸，了軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則有［0,0,0),尸&6,0,0),8(020),￡(0,2,1)2)(0,0,2)

設(shè)方=2而(0</1<1)有方=4萬+而=義626，°，2>(2百，0，。)=@&(1一)，0,2兀).

F(273(1-2),0,2/1)

NE=(0,2,1),"=(26(1-4),0,2。設(shè)平面/E尸的一個(gè)法向量4=(x，V，z),

n-AE=2y+z=0(2,

有卜方=2項(xiàng)-》+24z=0,令y=G,則z=_2?x=呂，產(chǎn)I——

平面P/8的一個(gè)法向量為玩=(°，°，1),

W色砌二瑞

平面AEF與平面PAB的夾角為30=,

I~~；----7PF=APD=--

PD=<PA-+AD-=4,3,...線段PF的長(zhǎng)度為3.

-----1-----=1

20.(1)63

⑵火(LT),|甩=石

【分析】

(1)將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程，與離心率聯(lián)立方程組，求出a,b；

(2)設(shè)立直線/8的方程，根據(jù)條件求出48的方程，求出0點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于N8斜率的表達(dá)式，再消去參數(shù)即

可.

【詳解】

_￡+_1__]fL=L

(1)將點(diǎn)尸坐標(biāo)代入橢圓方程得：/+3=…①，由離心率得下-5,。2=2。2,

^a2=b2+c2,.-.a2=2b2,代入①解得、=6,/=3

----1=1

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：63.

⑵設(shè)"（士,乂）,8&,%）,。仁,%），不妨設(shè)”（。，加），（04〃?＜右），直線工8的方程為了=6+"；

Iy=Ax4-72

聯(lián)立方程lx、2/=6得（1+2公然+4knx+2n2-6=0

2n2-6不否4kn

?F”用記…①?^^一百至

直線，尸的方程為：尸合（I川，直線旅的方程為「二矢（7"

%=-2?上1+1,%=-2?%二+1

令x=0得再一2X2-2,由題意：%+%=0,

..T?%一1「］

"x,-2X2-2,化簡(jiǎn)得：乂（》2一2）+%（再-2）-&々+&+、2=0,

2kXX

將必=米|+〃，力=履2+〃代入上式化簡(jiǎn)得：（-OI2+（ft-2k+l）（x,+x2）-4?=0,

將①@式代入上式并化簡(jiǎn)得：（〃+3）儂+〃-1）=0,即〃+3=0或者2上+”-1=0,

如果〃=1-2左，則的方程為'=去+1-2%=%3-2）+1,為過定點(diǎn)尸的直線，顯然不符合題意，舍;

?二〃二一3,48的方程為＞=自-3,

,y0=kx0-3,yvPQ1AB,PQ^AB=O,即（見一2,為-1）（西一々，必一為）二。，

???A=匕二區(qū)

（%-2）（X|-X2）+&0-1）（乂-%）=。,%1-%2,??“0-2+%（歹0-1）=0

4k+2

XQ=---------丁