第八章能量法

第八章能量法1第一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四第八章能量法8.1桿件的變形能8.3虛功原理互等定理8.2克拉貝隆原理卡氏定理8.4

單位力法圖乘法8.6沖擊應(yīng)力動載強度計算8.5

超靜定問題力法正則方程第二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四第八章能量法基于能量守恒原理，外力功在數(shù)值上等于存儲在彈性體內(nèi)的變形能。即U=W8.1桿件的變形能例如，圖示懸臂梁，在自由端受到集中力P作用。外力功：變形能：或在數(shù)值上，U=W第三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四外力功的表達式思考：外力功在P-D曲線上的幾何意義?線彈性小變形下的外力功觀察加載過程，加載路徑與外力功關(guān)系？載荷-位移(P-D)曲線靜加載下的外力功第四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四內(nèi)力功（變形能）的表達式應(yīng)力-應(yīng)變(s-e)曲線思考:材料力學(xué)性能、加載路徑與變形能的關(guān)系？思考:計算彈性比能時，什么時候需要沿加載路徑積分？線彈性材料的彈性比能彈性材料的彈性比能第五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四平面彎曲直梁*以上分析，桿件均為線性彈性材料制成**而且只考慮了彎曲正應(yīng)力產(chǎn)生的變形能*長為L的等直桿，橫截面彎曲剛度為EI。當(dāng)彎矩M=常數(shù)時，桿的變形能為U=W=當(dāng)彎矩M=M(x)時，桿的變形能為第六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四直桿的軸向拉伸與壓縮*以上分析，桿件均為線性彈性材料制成*長為L的線彈性直桿，其截面抗拉壓剛度為EA。當(dāng)軸力N=常數(shù)時，桿的變形能為U=W=當(dāng)軸力N=N(x)時，桿的變形能為第七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四圓軸扭轉(zhuǎn)*以上分析，桿件均為線性彈性材料制成**而且桿件為等截面圓桿（實心、空心、薄壁）*長為L的等截面圓桿，其截面扭轉(zhuǎn)剛度為GIp。當(dāng)扭矩MT=常數(shù)時，桿的變形能為U=W=當(dāng)扭矩MT=MT(x)時，桿的變形能為第八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四基本變形桿件的變形能計算公式變形能=內(nèi)力功=(內(nèi)力2)*桿件長度2*(桿件剛度)變形能=彈性比能*桿件的體積第九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四彎曲切應(yīng)力產(chǎn)生的變形能一般而言，在細(xì)長梁、剛架等構(gòu)件中，彎曲切應(yīng)力產(chǎn)生的變形能可以忽略不計。例題：圖示矩形懸臂梁，在自由端受到集中力P作用，求彎曲切應(yīng)力產(chǎn)生的變形能。解：在梁的長度方向上，Q=P;0<x<L梁的彎曲切應(yīng)力:彎曲切應(yīng)力產(chǎn)生的變形能:第十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四組合變形桿件的變形能*上式適用條件：桿件均為線性彈性材料制成**而且扭轉(zhuǎn)桿件為等截面圓桿（實心、空心、薄壁）*長L的等直桿，承受拉（壓）、彎曲、扭轉(zhuǎn)組合變形。式中，k為彎曲切應(yīng)力產(chǎn)生的變形能的計算因子；[]表示彎曲切應(yīng)力產(chǎn)生的變形能通常忽略不計。對于一般的線彈性體，變形能為，第十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四用能量原理計算桿件的變形桿件承受外載荷P作用，沿P的作用方向上發(fā)生位移D。例題：圖示矩形懸臂梁，在自由端受到集中力P作用，求自由端的垂直位移。解：外力功：變形能：在數(shù)值上，U=W自由端的垂直位移:第十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四討論自由端的垂直位移:設(shè)n=0.25,G=0.4E,并注意到，對細(xì)長梁L>4h,D<1.046875D0，相對誤差≤5%對更多細(xì)長梁L>10h,D<1.0075D0。相對誤差僅為0.75%一般而言，在細(xì)長梁、剛架等構(gòu)件中，彎曲切應(yīng)力產(chǎn)生的變形能可以忽略不計。則第十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四例：圖示由n圈彈簧絲組成的密圈螺旋彈簧，沿彈簧軸線承受壓力F作用。設(shè)彈簧的平均直徑為D，彈簧絲的直徑為d，切變模量為G。試計算彈簧的軸向變形δ。解：沿彈簧絲任一橫截面將彈簧截開，討論其內(nèi)力彈簧的變形主要由扭矩引起，可忽略剪力影響。對密圈彈簧，彈簧絲總長可近似為則由內(nèi)力功計算彈簧應(yīng)變能，有FDFFD/2F而外力在彈簧變形過程做的功等于應(yīng)變能，有可知，該彈簧的彈簧常數(shù)為：第十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四例題如圖所示結(jié)構(gòu)受到載荷P作用。結(jié)構(gòu)中兩桿的長度均為l，橫截面面積均為A。試分別計算桿件材料單軸拉伸的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如圖(a)和(b)所示條件下結(jié)構(gòu)的變形能。解：由靜力平衡，兩桿內(nèi)力

兩桿橫截面上的應(yīng)力(a)線彈性材料的彈性比能(b)非線彈性材料彈性比能第十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四例題由n(n>2)根均勻直桿組成的平面匯交桿系，如圖所示。已知每根桿長li，橫截面面積Ai，桿材料的彈性模量Ei以及桿軸線與X軸正向的夾角ai。當(dāng)A點發(fā)生水平位移u和垂直位移v時，計算結(jié)構(gòu)的變形能。

解：分析第i根桿的變形，由胡克定律可知,第i根桿的變形能，結(jié)構(gòu)的總變形能，結(jié)構(gòu)的自由度桿件的變形桿件的內(nèi)力桿件/結(jié)構(gòu)的變形能第十六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四對于一般的線彈性體，變形能為，小結(jié)長L的等直桿，承受拉（壓）、彎曲、扭轉(zhuǎn)組合變形。1）桿件彈性變形能計算式為*以上分析，桿件均為線性彈性材料制成**而且扭轉(zhuǎn)桿件為等截面圓桿（實心、空心、薄壁）*第十七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四桿件承受外載荷P作用，沿P的作用方向上發(fā)生位移D。2）用功能原理計算桿件的變形一般而言，線彈性桿件i承受外載荷Pi作用，發(fā)生位移Di。3）既可以用桿件系統(tǒng)所受外力，也可以用結(jié)構(gòu)的位移表示桿件系統(tǒng)的變形能。結(jié)構(gòu)的自由度桿件/結(jié)構(gòu)的變形能桿件的變形桿件的內(nèi)力結(jié)構(gòu)所受外力桿件的內(nèi)力桿件的變形力法位移法第十八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四在線彈性范圍內(nèi)，外力按比例加載以及小變形條件下，存儲在彈性體內(nèi)的變形能可以表示為，8.2克拉貝隆原理卡氏定理即，在上述三個條件下，彈性體內(nèi)的變形能與外力加載的次序（加載路徑）無關(guān)。第十九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四P1和P2同時比例加載首先，加載P1，然后施加P2在線彈性范圍內(nèi)，外力按比例加載以及小變形條件下，彈性體內(nèi)的變形能與外力加載的次序無關(guān)。按照克拉貝隆原理，第二十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四線彈性結(jié)構(gòu)的變形能對于任一獨立廣義外力的偏導(dǎo)數(shù)等于相應(yīng)于該力的廣義位移，即卡氏第二定理線彈性結(jié)構(gòu)的變形能對于任一獨立廣義位移的偏導(dǎo)數(shù)等于相應(yīng)于該力的廣義力，即卡氏第一定理設(shè)應(yīng)變能以廣義位移函數(shù)的形式表示，給定一個載荷增量dPi，則應(yīng)變能增量：同時，則外力功增量：由功能原理dU=dW，得：設(shè)應(yīng)變能以廣義力函數(shù)的形式表示，如上述類似地證明，第二十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四例6-1

懸臂梁AB如圖所示，自由端A有一集中橫力P和一力偶矩M0=PL作用，EI是常數(shù)。求梁A端的撓度yA和轉(zhuǎn)角A

解：按內(nèi)力功計算梁的變形能，但不計剪力作的功。梁的彎矩方程為M(x)=-(M0+Px)事實上，查表3-2和運用疊加原理，容易得到與上式一致的結(jié)果。第二十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四8.3虛功原理互等定理在外力作用下處于平衡的梁，任意給它一個虛位移，則外力在虛位移上所作的外力虛功等于梁的內(nèi)力在虛變形上所作的虛變形功（或內(nèi)力虛功），這便是虛功原理。外力虛功=內(nèi)力虛功外力虛功=虛應(yīng)變能第二十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四P(實際載荷)(單位載荷)Dxdx內(nèi)力：變形：變形：內(nèi)力：內(nèi)力虛元功虛應(yīng)變元能外力虛功第二十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四在外力作用下處于平衡的梁，任意給它一個虛位移，則外力在虛位移上所作的外力虛功等于梁的內(nèi)力在虛變形上所作的虛變形功（或內(nèi)力虛功），這便是虛功原理。

虛功原理的適用范圍如何？線彈性、小變形條件下即線彈性、小變形條件下的莫爾定理（莫爾積分）第二十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四例設(shè)在任一彈性體上作用有一對等值反向的力P，如圖所示，力的作用點間距為H，求該彈性體的體積變化。解：利用功的互等定理，需要設(shè)計另一個加載情形。假設(shè)彈性體受靜水壓力p（s1=s2=s3=-p)作用的情景（圖b），以H表示在壓力p作用下P力作用點間的相對位移，以V表示在一對力P作用下的體積改變量。根據(jù)功的互等定理，有PH=pV

以下求圖b中的H

討論：外力愈大或兩力相距愈遠(yuǎn)則其體積變化愈大；材料的彈性模量愈大，即材料愈硬，則其體積變化愈?。蝗绻?0.5，其體積變化為零，就成為不可壓縮材料。第二十六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四例6-3圖示簡支梁的中點受到集中力P作用，EI=常數(shù)。求變形前后梁軸線所夾的面積A。解：假設(shè)簡支梁受均布載荷q作用的情景（圖b）。由互等定理，注意到：因為q為常數(shù)，式中，A即為所求之面積。第二十七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四8.4單位力法圖乘法

第二十八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四線彈性、小變形條件下的莫爾定理（莫爾積分）其中最常用于計算梁的變形的莫爾積分對于一段同材料等截面（等剛度）梁，則下面介紹一種由圖形互乘代替積分的方法單位力法第二十九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四圖乘法設(shè)M0(x)=ax+b（一段斜線），積分項即當(dāng)M0圖中為一段斜線時，莫爾積分項等于M圖的面積與M0圖中與M圖形心坐標(biāo)對應(yīng)的函數(shù)值。當(dāng)M圖中為一段斜線時，上述結(jié)論應(yīng)該怎樣？第三十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四常見圖形的形心和面積bb/33b/8bb/4b直角三角形二次拋物線二次拋物線頂點頂點面積=bh/2面積=2bh/3面積=bh/3第三十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四例題圖示梁，求中點C的撓度。解：畫出彎矩圖M(圖b)和M0(圖c).利用彎矩圖的對稱性可簡化計算。第三十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四例題圖示梁，求載荷作用點的撓度。解：畫出彎矩圖M(圖b)和M0(圖c).第三十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四例圖乘法求圖示外伸梁A端轉(zhuǎn)角A

解：1.疊加法作M圖2.作圖3.求解A

ql8C1C2C3w1w3w2MC1MC2MC3第三十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四8.5超靜定結(jié)構(gòu)的基本解法1.確定超靜定次數(shù)，選定靜定基2.作出相當(dāng)系統(tǒng)3.寫出相當(dāng)系統(tǒng)的應(yīng)變能4.根據(jù)多余約束處的位移條件，5.聯(lián)立求解補充方程，得到全部多余約束力6.按靜定結(jié)構(gòu)求其余約束力、內(nèi)力、應(yīng)力和位移應(yīng)用卡氏定理列出補充方程第三十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四例圖示超靜定梁的EI為常量，試求多余約束力。解：一次超靜定1.取靜定基

2.作相當(dāng)系統(tǒng)

4.

求解變形協(xié)調(diào)方程3.列變形協(xié)調(diào)方程第三十六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四5.討論求MA

利用變形能可以求得第三十七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四例題

懸臂梁AB如圖所示，A、B端固支。問題為三次超靜定。除掉A端固支，得到包含未知反力的靜定結(jié)構(gòu)，稱為靜定基。利用疊加原理，分別畫出外載荷（圖b);支反力X1和X2（圖b和圖c)單獨作用圖。式中，分別表示外載荷在靜定基中X1和X2方向上產(chǎn)生的位移。力法正則方程第三十八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四按照歸一化要求，改寫式中，為Xi方向上的總位移；為外載荷(P)在靜定基中在Xi方向上的位移；為未知反力Xj=1在靜定基中作用在Xi方向上的位移；上式稱為力法正則方程，稱為柔度系數(shù)。第三十九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四利用莫爾積分，正則方程中的柔度系數(shù)寫為：對二次靜不定問題要作幾個彎矩圖，用莫爾圖乘法，要作幾次圖乘？三次靜不定問題呢?運用前面的知識，證明柔度系數(shù)具有對稱性

dij=dji第四十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四例題

懸臂梁AB如圖所示，A、B端固支。求支反力。解：畫靜定基（圖a),分別畫彎矩圖b-d;第四十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四代入力法正則方程，得解聯(lián)立方程組得第四十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四例題

內(nèi)力為一次靜不定桁架如圖6-15(a)所示，設(shè)各桿EI相同，求兩種情況下的各桿軸力：(1)在力P的作用下；(2)P=0，但桿5升溫T，已知材料膨脹系數(shù)。解：(1)斷開桿5，加一對約束內(nèi)力X1即得靜定基如圖6-15(b)所示。桿號i桿長Li軸力Ni軸力N0i1aP2aP3a04aP50161第四十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四(2)僅有桿5升溫，正則方程為11X1+1T=0

1T=

l5T是因桿5升溫而引起的相對位移由表中數(shù)據(jù)計算，得到代入正則方程11X1+1P

=0得，其余各桿的內(nèi)力請讀者自行算之。在既受到外載荷作用，又有溫度變化時，如何求解此問題？第四十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四載荷對稱性：載荷關(guān)于結(jié)構(gòu)的對稱軸對稱或反對稱。對稱結(jié)構(gòu)：結(jié)構(gòu)的尺寸、形狀、支承情況和材料性質(zhì)是關(guān)于某一根線對稱的。*利用對稱性條件簡化計算EIEI2EIEIEI2EIEI2EI2EI對稱結(jié)構(gòu)非對稱結(jié)構(gòu)第四十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四利用對稱性簡化計算，要選擇恰當(dāng)?shù)撵o定基。EIEIEIEIEIEIEIX2X2X1X1X3X3X1=1X2=1X3=1M10：M20：M30：*對稱性條件簡化正則方程的計算第四十六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四若載荷也具有對稱性，則計算還可再簡化。MF：X1=1X2=1X3=1M10：M20：M30：對稱結(jié)構(gòu)受對稱載荷時，對稱軸截面上反對稱內(nèi)力等于零。FFFF對稱性條件簡化正則方程的計算第四十七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四若載荷也具有對稱性，則計算還可再簡化。MF：X1=1X2=1X3=1M10：M20：M30：對稱結(jié)構(gòu)受反對稱載荷時，對稱軸截面上對稱內(nèi)力等于零。FFFF對稱性條件簡化正則方程的計算第四十八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四一般載荷的對稱化處理：Fqq

/

2F/2F/2F/2q

/

2q

/

2F/2對稱性條件簡化正則方程的計算利用對稱性將方程組進行解耦第四十九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四8.6沖擊應(yīng)力動載強度計算為了簡化計算，可作下面三個假定：1、忽略彈性體的重量，撞擊物視為剛體，它與彈性體接觸后即連成一體；2、撞擊時應(yīng)力立即就傳播到彈性體的各個部分，且處于平衡狀態(tài)；3、撞擊時只考慮動能和勢能的轉(zhuǎn)化，而無其它形式的內(nèi)能及熱能的耗散。第五十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四動荷系數(shù)Kd式中，Ps

為靜載荷（接觸前動能為零）,Pd

為動載荷；sd、ss

分別為動應(yīng)力和靜態(tài)應(yīng)力；

Dd、Ds分別為（撞擊點）的動位移和靜位移。沖擊過程中體系的響應(yīng)是線性的第五十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四自由落體沖擊的動荷系數(shù)沖擊前能量：沖擊結(jié)束時能量：由能量守恒，注意：第五十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四水平速度沖擊時的動荷系數(shù)沖擊前能量：沖擊結(jié)束時能量：由能量守恒注意第五十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四例6-10圖6-18a與圖6-18b分別表示不同支承方式的鋼梁，承受相同的重物沖擊。已知支承彈簧的剛度k=100N/mm，l=3m，H=50mm，G=1kN，鋼梁的I=3.40107mm4，W=3.09105mm3，E=200GPa，試比較兩者的沖擊應(yīng)力。對于圖(b)

解：對于圖(a)

第五十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四靜態(tài)最大應(yīng)力對于圖(b)

對于圖(a)最大應(yīng)力

由于圖(b)采用了彈簧支座，使系統(tǒng)的剛度減小，因而使動載系數(shù)減小，這是減低沖擊應(yīng)力的有效方法。降低動載系數(shù)Kd還有其他那些有效方法?第五十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四制動沖擊例：鋼吊索的下端懸掛一重物

P=20kN，并以等速度v=1m

/

s下降，當(dāng)?shù)跛鏖L度為l=20m時，滑輪D突然被卡住,求吊索沖擊應(yīng)力。已知吊索E=170GPa,A=414mm2,

滑輪和吊索的重量略去不計。解：制動沖擊問題，沖擊物的能量減少全部轉(zhuǎn)換為被沖擊物的應(yīng)變能沖擊物的能量減少：被沖擊物(吊索)的應(yīng)變能增加：PlD第五十六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四例：鋼吊索的下端懸掛一重物

P=20kN，并以等速度v=1m

/

s下降，當(dāng)?shù)跛鏖L度為l=20m時，滑輪D突然被卡住,求吊索沖擊應(yīng)力。已知吊索E=170GPa,A=414mm2,

滑輪和吊索的重量略去不計。PlD制動沖擊第五十七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四例：鋼吊索的下端懸掛一重物

P=2