2023高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)11圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì)

專題限時(shí)集訓(xùn)(十一)圓錐曲線的定義、方

程及性質(zhì)

［4組基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底］

79

1.(2021青島一模)已知雙曲線］一方=1(40,b>0)的一條漸近線的傾斜

角為導(dǎo)則該雙曲線的離心率為()

A-2B.|

C.半D.2

丫2尤27T

C［因?yàn)殡p曲線力一啟=1(4>0,b>0)的一條漸近線的傾斜角為所以tan

注=小子邛，所以平，故選c.］

2.明朝的一個(gè)葡萄紋橢圓盤如圖(1)所示，清朝的一個(gè)青花山水樓閣紋飾橢

圓盤如圖⑵所示，北宋的一個(gè)汝窯橢圓盤如圖(3)所示，這三個(gè)橢圓盤的外輪廓

均為橢圓.已知圖⑴、(2)、(3)中橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值分別祟黑*

y/

設(shè)圖(1)、(2)、(3)中橢圓的離心率分別為￡1、62、-3,則()

C.e\>e2>e3D.e2>ei>e3

A［因?yàn)闄E圓的離心率

所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值越大，離心率越大.

因?yàn)轳R「144,if1.24,半司.43,則馬>與>管,所以e>e3>e2.故選A.］

y/y/

3.（2021.北京人大附中模擬）聚光式太陽(yáng)灶（如圖1）廣泛應(yīng)用于我國(guó)西部農(nóng)村

地區(qū).其軸截面圖（如圖2）中，點(diǎn)尸為拋物線的焦點(diǎn)，此處放置燒水壺，按照一

般制作工藝，拋物線的頂點(diǎn)A與焦點(diǎn)F關(guān)于其外沿所在的平面對(duì)稱.已知A、F

兩點(diǎn)間的距離為0.5米，則該太陽(yáng)灶的最大口徑（外沿所在圓的直徑）大約為（）

A.1.2米B.1.4米

C.1.6米D.1.8米

B[建立坐標(biāo)系，使得拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，

由A、/兩點(diǎn)間的距離為0.5米，設(shè)拋物線方程為才=2px,則§=

0.5,所以〃=1,所以y2=2x.

AF中點(diǎn)橫坐標(biāo)為a，即％=不

所以y=±坐，所以弦長(zhǎng)|30=立心1.414,

最大口徑就是18cl的長(zhǎng)，故選B.]

4.已知雙曲線：一*=l（a>0,匕>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Q,尸2,點(diǎn)A在

雙曲線上，且ABLx軸，若△AFE的內(nèi)切圓半徑為（小T）。，則雙曲線的離心

率為（)

A.小B.2

C.小+1D.2小

|AB|十|F|F2|-HB|

[因?yàn)樗詢?nèi)切圓半徑為

A|AFi|-|AF2|=2a,RtZXABB2

=-3-=c—a=N^—l）a,即c=V§a,所以《=/=小.]

5.已知直線/：y=x—1與拋物線V=4x相交于A,B兩點(diǎn),M是的中

點(diǎn)，則點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為（）

7

A.2B.4

C.7D.8

B［由題意可知直線y=x-1過(guò)拋物線）r=4x的焦點(diǎn)

（1,0）,如圖，作4V,BB',都和準(zhǔn)線垂直，并且垂足分別

是4,B',M',

由圖象可知

\MM'\=^\AA'\+\BB'\),

根據(jù)拋物線的定義可知|4V|+出方尸\AB\,

：.\MM'\=kAB\,聯(lián)立"1'

zly—4x,

得W-6x+l=0,

設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(xi,yi),(X2,yi),

X\+X2—6,\AB\—x\+xi+2=Z,

6.（2021.北大附中深圳南山分校一模）已知橢圓￡+*=l（a>0>0）的左、右焦

點(diǎn)分別為Fi,過(guò)尸?的直線交橢圓。于A,3兩點(diǎn)，若茂?而2=0,且出尸2|，

\AB\,IAF2I成等差數(shù)列，則。的離心率為（）

A.乎B.當(dāng)

由橢圓的定義得AABF2的周長(zhǎng)為

\BFX\+\BF2\+\AFi\+\AF2\=2a+2a^4a,

即3d+4d+5d=4a,a=3d.

在直角三角形8BF2中，|8B|=a=|8F2l,|FIF2|=2C,則〃+/=(2。2,故

a—y12c.

c、B

即e=7i=2f故選A，1

7.已知雙曲線C：而一Vy=l(m￡R)的一條漸近線方程為4x—3y=0,則

()

A.(小，0)為。的一個(gè)焦點(diǎn)

.4

B.雙曲線C的禺心率為］

C.過(guò)點(diǎn)(5,0)作直線與。交于A,B兩點(diǎn)，則滿足|AB|=15的直線有且只有

兩條

D.設(shè)A,B,“為C上三點(diǎn)且A,8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則MA,M3斜率存在

時(shí)其乘積為竽

幺V2

D［雙曲線C:新一消］=l(〃zGR)的一條漸近線方程為4x—3y=0,

可得嚏=￥，解得〃2=9,

72

則雙曲線的方程為引■一合=1,

y10

可得a=3,Z?=4,c=5,焦點(diǎn)為(±5,0),故A錯(cuò)誤；

c5

雙曲線的離心率為e="=§,故B錯(cuò)誤；

過(guò)右焦點(diǎn)(5,0)作直線與C交于A,B兩點(diǎn)、,

2b232

若A,8均在右支上，可得依用27=學(xué)，

32

而15〉不，可得這樣的直線有兩條；

若A,8分別在雙曲線的左、右支上，可得依明22a=6,

而15>6,可得這樣的直線有兩條，則滿足以用=15的直線共有4條，故C

錯(cuò)誤；

設(shè)A(〃?，ri),B(~m,—ri),M(s,t),

^m2rrs10

可付5—^=1，§_而=1，

兩式相減可得（〃L%+S）=（〃+??F

yiu

,八，十,心,上谷,,幾—t〃+f16

即有MA,MB斜率存在時(shí)其乘積為----^^=石，

m-s?m-rsv

故D正確，故選D.]

8.已知橢圓M：胃十m=1的左、右焦點(diǎn)分別是B,F2,左、右頂點(diǎn)分別

是Ai，A2,點(diǎn)P是橢圓上異于A”A2的任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.|PEi|+|P尸21=5

4

B.直線孫1與直線附2的斜率之積為一5

C.存在點(diǎn)P滿足NFIPF2=90°

D.若△BPF2的面積為4小，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為小

B[由題意。=5,。=2小，c=小，F(xiàn)i（S0）,3（小，0）,4（一5,0）,

4（5,0）,短軸一個(gè)頂點(diǎn)32（0,2小），|尸川+|尸尸2|=2。=10,A錯(cuò)誤；

設(shè)P（x,y）,則言+去=1,尸20（1一?，所以女附32=去*音^=￡^石

=20（l—,）X號(hào)^=一之，B正確；因?yàn)閠anN。歷「2=耨=磊=4<1,所

以0°VNO&F2<45",從而/乃良尸2=2/0&尸2<90°,而P是橢圓上任一點(diǎn)時(shí)，

當(dāng)P是短軸端點(diǎn)時(shí)NBPB最大，因此不存在點(diǎn)P滿足/長(zhǎng)尸尸2=90°,C錯(cuò)誤；

5/\尸尸1尸2=3歷尸2gl=小網(wǎng)=4小，陽(yáng)=4,貝碟+.=1，Xp=±y[5,D錯(cuò)

誤.故選B.]

92

9.已知橢圓衣+：=1上的兩點(diǎn)A,8關(guān)于直線2x—2y—3=0對(duì)稱，則弦

AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為.

2,，[設(shè)點(diǎn)A（xi,yi）,8（X2,yi）,弦AB的中點(diǎn)M（x0,泗），由題意得

生喘3+”二應(yīng)=0,因?yàn)辄c(diǎn)48關(guān)于直線2x—2y—3=0對(duì)稱，所

以左AB=；；_：；=—1,故三一5=0,即x（）=4y（）.又點(diǎn)M（x（）,＞（））在直線2x—2y—3

=0上，所以加=2,為=；,即弦A3的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2,扣

10.直線/過(guò)拋物線C：V=2/uS＞0）的焦點(diǎn)尸（1，0）,且與C交于A,8兩

11

點(diǎn)，則〃=的+（麗=------

21[由題意知§=1,從而p=2,所以拋物線方程為產(chǎn)=4工

法一：（特值法）將x=l代入，解得=刁=2,從而焉+瑞=1?

法二：（直接法）設(shè)4?的方程為y=Z（x-l）,聯(lián)立＜,''整理得

ly-=4x,

一（23+4）-0,

[12F+4

_,X\+X2=-72~

設(shè)A（X1,>1）,8（X2,丁2）,則jk

X\X2=l,

??依尸|十|BF|xi+1x2+l

-1+%2+2尤l+xz+2]

九1+垃+?垃+1幻+及+2?

11?2

法二：（結(jié)企法）由+麗=萬(wàn)=5=11

11.（2021?華中師大一附中模擬）已知橢圓C）：\+g=l（a＞方＞0）的右頂點(diǎn)

為P,右焦點(diǎn)尸與拋物線。2的焦點(diǎn)重合，C2的頂點(diǎn)與G的中心O重合.若G

與C2相交于點(diǎn)A,B,且四邊形OAPB為菱形，則G的離心率為.

I「設(shè)拋物線的方程為

y2=2px(j}>0),，??§=(7,:?p=2c,Ay2=4cx.

a2

由題得瑪，4司，代入橢圓的方程得*+等=1,

所以8ac=3扶=3(。2—/),3，+8ac—3a2=0,

所以3e2+8e—3=0,即(3e—l)(e+3)=0,

因?yàn)镺VeVl,所以e=g.]

12.已知雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3),且該雙曲線的其中一條漸近線的方程為y=

小x,Fi，F(xiàn)2分別為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則雙曲線C的方程為;若

P為該雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)A(6,8),則當(dāng)|鞏|十『尸2|取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)

為.

X2-1(1+乎，3+挈][由題意，可設(shè)雙曲線C的方程為丁一3f

=k,將(2,3)代入,

得32-3X22=女，得％=—3,故雙曲線。的方程為幺一丁=1,作出雙曲線

C如圖所示，連接PFi,AFi.

由雙曲線的定義，得|PB|-|PB|=2,所以|P6|=|PB|-2,'Jl']\PA\+\PF2\=\PA\

十|Pri|-221ABi—2,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,Q三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.

由A(6,8),Fi(-2,0),得直線AFi的方程為y=x+2,

y=x+2,

由,.y2得2X2-4X-7=0,解得x=l

忙一3=1，

因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線的右支上，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1+羋，3+啕.]

[B組綜合中考查關(guān)鍵能力]

13.已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(一1,0),(1,0),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一1,1).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線/過(guò)點(diǎn)(0,1),且與C相交于A,B兩點(diǎn)，線段A8的中點(diǎn)為。(異于坐

標(biāo)原點(diǎn)。)，延長(zhǎng)0。，與C交于點(diǎn)E,若四邊形O8E4為平行四邊形，求直線/

的方程.

［解］(1)由題知，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

=l(a>b>0),

由橢圓的定義得

(-1+1)2+(|-0(―1—l)2+(j-0

所以。=2,又因?yàn)閏=l,

所以乂=/—，=3.

因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為點(diǎn)+g=1.

(2)設(shè)A(xi,yi),8(x2,刃)，直線/的方程為了="+1,

，=丘+1

,得(4左z+BW+gfcc—gnO,

所以/=48(43+2)>0,九1+*2=一五普W，

yi+>2=4汨+*2)+2=4乒6|_3?

因?yàn)樗倪呅蜲BEA為平行四邊形，

所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(一瑞p號(hào))

所「以舟^『一(~瑞3『-1,

解得廬="即％=土;，

故直線/的方程為y=%+1或y=—5+1.

［C組創(chuàng)新中考查理性思維］

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓尸：(%—1)2+V=1外的點(diǎn)P在y軸的右

側(cè)運(yùn)動(dòng)，且P到圓戶上的點(diǎn)的最小距離等于它到y(tǒng)軸的距離，記P的軌跡為E.

(1)求E的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸的直線交E于48兩點(diǎn)，以A8為直徑的圓。與平行于y軸的直

線相切于點(diǎn)M,線段DM交E于點(diǎn)N,證明：AAMB的面積是△AMN的面積的

四*倍.>---

［解］法一：⑴設(shè)P(x,y),依題意x>0,尸(1,0).因?yàn)镻

在圓廠外，所以P到圓F上的點(diǎn)的最小距離為

依題意得|PF|—l=x,即./_1)2+y一］=%,化簡(jiǎn)得E

的方程為y2=4x(x>0).

(2)證明：設(shè)N(x(),泗)，4(xi,yi),5(x2,”),

則中,里.

依題意可設(shè)直線AB的方程為y=Mx—l)(ZW0),

\y=k(x—l),

2

由<9得Sx—(2Z?+4)x+3=0.

lr=4x,

2F+4

因?yàn)?=(23+4)2-4六=16F+16>0,所以%1+7=d，

4flc+22、43+4

則有6+了2=齊故。］一^一，/，由拋物線的定義知|A5|=XI+%2+2=

2斤+2

設(shè)y'M),依題意得加=.所以|MD|=一后一

又因?yàn)橄?。|=野^,所以岸2—XM=,解得血=—1,所以1,春.

因?yàn)?X(),力在拋物線上，所以x()=￥即

d+i

—12l=7p-Ly|-y2|,

故SAAMB=4S"MN.

法二：(1)設(shè)P(x,y),依題意x>0.因?yàn)镻在圓尸外，所|F

以尸到圓尸上的點(diǎn)的最小距離為上內(nèi)一1.

依題意得，點(diǎn)P到圓心口(1,0)的距離|尸尸|等于P到直線x%，

=-1的距離，1|、

所以尸在以RLO)為焦點(diǎn)，x=~\為準(zhǔn)線的拋物線上.所以E的方程為9

=4x(x>0).

(2)證明：設(shè)4(xi,.),8(x2,72),

因?yàn)橹本€A8過(guò)點(diǎn)打1,0),依題意可設(shè)其方程為尤=打+1QW0).

\x=ty+\,

由J,\得9_4)_4=0,

因?yàn)?=16