2021屆全國百所名校高考模擬示范卷理科數學（九）【含答案】

2021屆全國百所名校高考模擬示范卷理科數學(九)【含答

案】

一、選擇題：本題共12小題.在每小題給出的四個選項中.只有一項是符合題目要求的.

1.若復數z滿足(1-i)z=l-3i,則|z|=

A.2>/2B.y/5C.—D.—

22

2.已知集合人={?1,2,3},B={x|?lgxV3},則下列結論正確的是

A.AAB=AB.AUB=BC.3mBD.40他3)工0

3.已知函數f(x)為奇函數，且當x>l時，f(x)=10g2(3x-l),則f(-3)=

A.-3B.2C.3D.4

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

5.2019年11月26日，聯(lián)合國教科文組織宣布3月14日為“國際數學日”(呢稱：PiDay),

2020年3月14日是第一個“國際數學日”，圓周率兀是圓的周長與直徑的比值，是一個在數

學及物理學中普遍存在的數學常數.兀有許多奇妙性質，如萊布尼茲恒等式

1+1+1+1+...=S,即日為正整數平方的倒數相加的和.小華設計了如圖所示的程序

1491666

框圖，要求輸出的T值與M非常近似，則①中填入的可以是

S=OJ=1

T=6S

遍出T/

［結束J

A.5=4B.5=5+4C.S=S+-1—D.S=5+―—]

『『(-J("I)?

xI\

6.函數"x)=cosx.sin三——的圖象大致為

ic+1)

7.已知雙曲線E：「-[=1(a>0,b>0)的左、右頂點分別為M、N,若點P(a,b),

cTb

且NMPN=H,則雙曲線E的離心率為

3

歷

A.—B.2&C.2拒D.2夜

3

8.5G網絡是一種先進的高頻傳輸技術，我國的5G技術發(fā)展迅速，已位居世界前列.若某

公司2020年8月初推出了一款5G手機，現調查得到該款5G手機上市時間x和市場占有率

y(單位：％)的幾組相關對應數據.在如圖所示的折線圖中，橫軸1代表2020年8月，2

代表2020年9月……5代表2020年12月，根據數據得出的y關于，x的線性回歸方程為

y=0.042x+a.若用此方程分析并預測該款手機市場占有率的變化趨勢，則最早何時該款

5G手機的市場占有率能超過0.6%(精確到月)

A.2021年8月B.2021年9月C.2021年10月D.2021年11月

9.已知在長方體ABCD-AIBICIDI中，AB=BC=2,BBi=4,點E,F分別是線段BC,BBi

的中點，則異面直線DE與DF所成角的余弦值為

.275Vl5「2+c3夜

A.---BD.---C.---D.---

5555

10.已知函數=1(CO>O)的最小正周期為兀，若m,n￡[-2兀，2兀]，且

f(m)-f(n)=4,則下列結論錯誤的是

A.3的值為2B.f(m)=f(n)=2

C.直線x=N是函數f(x)圖象的一條對稱軸D.m-n的最大值為2兀

12

22

11.已知橢圓C：工+二=1的左、右焦點分別為Fl、F2,經過F2的不垂直x軸的直線1

43

與橢圓C交于P、Q兩點，若/-E?=0,則直線1的方程為

A.y=±y-(x-l)B.y=±乎(x-l)C.y=士苧(x-1)D.y=土乎(x-l)

12.如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，動圓Q的半徑為1,圓心Q在線段BC(含端

點)上運動，P是圓上或內部的動點，設向量4戶=，"4g+〃4萬，(m,nGR),則4m+4n

A.[3,8+0]B.[4-V2,8+V2]C.[3,9]D.14-0,9]

二、填空題：本題共4小題.

13.在二9二幺L(yW)的展開式中，x3y2項的系數為.

y

x+y>2

14.若實數x,y滿足,則z=2y-3x的最小值為.

x<3

15.已知A、B是半徑為3的球0表面上的兩點，且AB=3,過直線AB作相互垂直的兩

個平面a、p,若平面a、p截球。所得的截面圓分別為。Ch和。O2，則0Q2=.

16.如圖所示，三個全等的三角形AABF、ABCD>ACAE拼成一個等邊三角形ABC,JSADEF

為等邊三角形，EF=2AE,設NACE=O,貝ijtan20=.

三、解答題.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.

(一)必考題.

是等差數列，且，

17.己知數列｛a0｝的前n項和為S”若數列q=gS2=1.

(1)求Sn；

S、

(2)若G="二'〃為奇數，設數列｛Cn｝的前n項和為T”且*“=衛(wèi)，求n的值.

2,〃為偶數40

18.如圖，已知AB為兩個半圓ACB和ADB的直徑，兩個半圓所在的平面相互垂直，點0

為圓心，AO=1,NCOB=60。，點P是弧AC上的動點，點D是下半圓弧的中點.

I)

(1)當PC=1時，求證：AB〃平面PCD.

(2)當三棱錐P-COD的體積最大時，求直線0P與平面PCD所成角的正弦值.

19.某機器生產商對超過質保期的機器推出兩種延保兩年的維修方案.

方案一：交納延保金6000元，在延保的兩年內可免費維修2次，超過2次每次收取維修費

1000元；

方案二：交納延保金7000元，在延保的兩年內可免費維修4次，超過4次每次收取維修費

a元.

某工廠有兩臺這種機器超過了質保期，現需決策購買哪種延保兩年的維修方案，為此搜集并

整理了這種機器超過質保期后延保兩年內維修的次數，統(tǒng)計得下表：

維修次數123

機器臺數503020

用以上100臺機器維修次數的頻率代替一臺機器維修次數發(fā)生的概率，記X表示這兩臺機

器超過質保期后延保兩年內共需維修的次數.

(1)求X的分布列；

(2)以所需延保金與維修費用之和的期望值為決策依據,該工廠選擇哪種延保方案更合算？

20.已知函數f(x)==+l.

(1)求f(x)的最大值；

(2)當XoG(-00,1)時、證明：f(x)<f(Xo)(x-Xo)+f(xo).

21.已知直線1：y=kx+4交拋物線M：x?=4y于兩點A,B,分別以A,B為切點作拋物

線M的切線，兩切線交于點P,點O為坐標原點，連接OA,OB,OP.

(1)證明：點P在直線y=-4上.

(2)當k￡［l,4］時，記Si，S2分別為^AOP,ABOP的面積，求S1+S2的最小值.

(-)選考題：請考生在第22、23兩題中任選一題作答.如果多做.則按所做的第一題計

分.

22.［選修4—4：坐標系與參數方程］

如圖，在以點O為極點，Ox軸為極軸的極坐標系中，圓Ci，C2,C3的方程分別為p=6sin。，

p=6sin(e+g),0=6sin(e-g).

(1)若C”C2相交于異于極點的點M,且過點M的直線1垂直于直線OM,求直線1的極

坐標方程；

(2)若直線：9=a(p￡R)與C”C3分別相交于異于極點的A,B兩點，求|AB|的取值范

圍.

23.［選修4一5：不等式選講］

已知a>0,b>0,a+b=2.

(1)求工+」的最小值；

a+\b

(2)證明：i+l+A>8.

abab

參考答案

1.B本題考查復數的運算和模.???z=U=(l_3i)(l+i)=2_i,.?.|W|=|z|=否.

1-i+

2.D本題考查元素、集合之間的關系.：AnB={-l,2},AUB={x|-l<x<3},AA.B

項不正確；不是QB的子集，；.C項不正確；?.,An@B)={3},；.D項正確.

3.A本題考查函數的奇偶性函數f(x)為奇函數，，f(-3)=-f(3)=-log28=-3.

III10

4.C本題考查比較大小.>［*)=〃，月.a=(16=1,，0<b

<a<l,Vc=log37i>1,Ac>a>b.

5.B本題考查程序框圖.依題意，①中輸出的

T=6S=6xf-L+-L+4+-r+---+—選項B滿足.

U223242202口

6.C本題考查函數的圖象.Y"x)=cosx?sin

?(1一吟?

/(-x)=cos(-%)-sincosx-sin-------=-cosx-sin-----=---/(A).

：.f(x)為xCR的奇函數，由此排除A、B選項；

1=—?57.3°,，cosl>0,XVl>-^->0,/.sinf—|>0,

11e+\+

/(l)=cosl-sin^-—>0,故排除D選項,

7.A本題考查雙曲線的離心率,點P(a,b)在漸近線y=上，；.PN，x軸,

a

???在直角三角形PNM中，/MPN=三,

3

/c

：.\MN\=>j3\PN\9即2a=麻，-=

aV3

8.C本題考查線性回歸方程的應用.：t=gx(l+2+3+4+5)=3,

一1

y=-x(O.O2+O.O5+0.1+0.15+0.18)=0.1,

.,.點(3,0,1)在直線y=0.042x+a上，

.*.0.1=0.042x3+“，a=-0.026,，y=0.042x-0.026,

令y=0.042x-0.026>0.6,得立15,

。橫軸1代表2020年8月，，橫軸15代表2021年10月.

9.B本題考查兩條異面直線所成的角.取BiG的中點M,連接FM,D,M,由長方體性

質得DE〃D|M,因此NFDiM為異面直線DE與DF所成的角，又D、M=4,MF=>/5,

DF=2G,所以cos/FpM=.12+^5=巫.

2x2v3xV55

10.D本題考查三角函數的性質.?.?/(x)=cos[3x-ej+l,f(X)的最小正周期為兀，

—=即3=2,f(x)=cos(2x-e)+l,...A項正確；

V0<cosf2x-^+l<2,/.f(x)的值域為[0,2],Vf(m)-f(n)=4,；.f(m)=f(n)

=2,，B項正確；

由題意知m與n是方程f(x)=2的根，即cos(2x-"=l的根.二2xJ=2E,kez,

解得產E+工，kGZ,xG[-27t,2兀],；.C項正確；

12

而Xm1KXmi”=_空^,.,.m-n的最大值為巨^_(_紀勺=3兀，；.D項錯誤.

m1K12m,"1212(12)

11.C本題考查橢圓問題.由題意可得Fi(-1,0),F2(1,0),設直線I的方程為y=k

(x-1)(k#)),

三+2=1

由《43，得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,

y=fc(x-l)

U2Ak2-17

設P(xi,yi),Q(X2,y2),貝無2=-----T，占，為=-------?

勺-3+4/1-3+4/

,?,肝廂=0,

(xi+1)(X2+I)+yiy2=0,(xi+1)(X2+I)+k(xi-1)k(X2-1)=0,

(1+k2)X1X2+(1-k2)(xi+x2)+(1+k2)=0,

；.(]+/儼-二12+]/…8仁,即7k2-9=0,解得％=土地，

,\3+4/)'>3+4^7

直線1的方程為y=±乎('-1).

12.B本題考查平面向量的應用.建立直角坐標系，如圖，則A月=(4,0),A￡>=(0,4),

AP=mAB+nAD=(4機,4〃)

設Q(4,t)(te[0,4]).點P在圓(x-4)2+(y-t)2=1±,設P(4+cos0,t+sin0),

J4+cos0=4m

/.4m+4/?=4+cose+Z+sine=4+/+V5sin[e+?

[t+sin8=4n

，當t=0,6=2時，(4/71+4n).=4-/；

4\/mm

.?.當t=4,6=四時，(4/n+4n)=8+及.

4\/max

/.4m+4n的取值范圍為14-0,8+0].

13.-32本題考查二項式定理.因為展開式中含x3y2的項為q.(_2)3O=-32x3y2,

所以展開式中x3y2項的系數為-32.

14.-11本題考查線性規(guī)劃.由約束條件作出圖象，如圖.由z=2y-3x,得y=|x+],

作直線1：y=-x,將直線1平移，直線經過M點時在y軸上的截距最小，此時z取得最小

值.

-1)?代入Z=2y-3x,可得Zmin=-ll.

將題中點、線、面放置到長方體ABCD-AIBICIDI中，如

2

圖所示.

：AB=0A=0B=3,，ACi=BDi=6,設BC=a,CCi=h,

\la2+h2+32=6,得a?+1)2=27,

002=Joo：+oo；=

7

16.—本題考查解三角形和三角運算.設AE=k(k>0),則EF=2k,由于NACE=9,

23

JaAABF,ABCD>4CAE全等，/.ZFAB=0,CD=k,DE=2k,

又???△ABC為等邊三角形，NC4E=￥—6,

3

?AECE日nk3k

.?----------=-----------,即------=----7------------

sinNACEsinZCAEsin，.TI八

sin(——0

13

3sin0=—cos0--sin0,???tf，anu——,

227

2tan62XT_7>/3

tan26=

1-tan20I3一萬

1--------

49

17.解：本題考查數列問題.

(1)???S|=4=LA--—=3-2=1,：.-———=1(n>2),

2S?S、SnSi

是以1=2為首項，以1為公差的等差數列.

---=2+(〃-=〃+S=---

S〃')拉+1

1

〃為奇數，〃為奇數

(2)VCn=-(n+1)(n+3)2(〃+1〃+3

2,〃為偶數2/為偶數

???瑪111111]

----------------------1-...-J-------------------+2n=-———+2”.

2446In2n+244〃+4

.11c7299,。M知_n

??-----------------F2n=-----=-----F18,解d寸n——9.

44/7+44040

18.解：本題考查線面平行和線面角.

(1)VOC=OP=CP=1,.?.△OCP為正三角形，.,.ZOCP=60°,

又；NCOB=60。，；.AB〃PC,：ABa平面PCD,...AB〃平面PCD.

(2)?兩個半圓所在的平面相互垂直，DO_LAB,...DO,平面COP,

：VP-COD=VD-COP，二當CO±OP時，三棱錐P-COD的體積最大.

VOP,OD,OC兩兩垂直,

...以OP,OD,OC分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則P(1,0,0),D(0,1,0),

C(0,0,1),定=(-1,0,1),DP=(l,-l,0),而=(1,0,0),

令平面DPC的法向量為3=(x,y,z),則=1r+z=°,取>=(1,11),

DPn=0l-v-y=0

設直線OP與平面PCD所成的角為9.

sin。=匕”=@,即直線OP與平面PCD所成角的正弦值為3.

\n\\OP\33

19.解：本題考查概率統(tǒng)計.

(1)X所有可能的取值為2,3,4,5,6,

111177

p(X=2)=-x-=-,P(X=3)=-x—x2=—,

'72241721010

“V人11c3329八31c3

'72510101001710525

P(X=6)=(x：=^

X的分布列為

X23456

132931

P

4ToToo2525

(2)選擇延保方案一，所需費用Yi元的分布列為

Yi600070008000900010000

32931

P

410Too2525

]32931

=-x6000+—x7000+—x8000+—x9000+—x10000=7400(元).

4101002525

選擇延保方案二，所需費用丫2元的分布列為

Y270007000+a7000+2a

2131

p

252525

￡(｝；)=—x7000+y-x(7000+a)+^-x(7000+2a)=7000+-(元).

,?tE(K)-E化)=400-],

...E(X)-E(匕)=400—]>0,即0<a<2000時，選擇方案二；

當￡(匕)一￡(匕)=400-1=0,即a=2000時，選擇方案一、方案二均可;

當E(K)—E(K)=400-1<0,即a>2000時，選擇方案一.

20.解：本題考查導數的性質.

(1)???函數f(x)的定義域為R,尸(力=寧，

...當Xd(-00,1)時，f(X)>0,：.f(X)在(-00,1)上單調遞增；

當xd(1,+oo)時，f(x)<0,Af(x)在(1,+a>)上單調遞減.

當x=l時，f(x)取得最大值，最大值為

(2)令g(x)=f(x)-f(xo)(x-xo)-f(xo),

則g[x)=/。)-/伍)=7-9」

設=(1一,則=一"(1一%).

*/xo(-00,1),/.(p*(x)<0,.*.(p(x)在R上單調遞減，又(p(xo)=0,

?■?當xVxo時，(p(x)>0；當x>xo時、(p(x)<0.

故當xVxo時，g'(x)>0；當x>xo時，g'(x)V0,

???g(x)在區(qū)間(-oo,xo)上單調遞增，在區(qū)間(xo，+oo)上單調遞減，

Ag(x)<g(xo)=0,.Af(x)<f(xo)(x-xo)+f(xo).

21.解：本題考查拋物線問題.

(1)設A(xi,yi),B(X2,y2),P(xo,yo),則x1=4y2,

[y=fcr+4),

\,^>x~-4Ax-16=0,.?.xi+x2=4k,XIX2=-16.

[x2=4y

由y=；f,求導得歹=L,切線PA：即)丁色一子，

同理可得切線PB:丫=三》一三，

24

聯(lián)立切線PA,PB方程，可得/=專1=2左，%=竽=-4,即P(2k,-4),

.?.點P在直線y=-4上.

2