2021屆山西省高三一模數(shù)學(xué)（理）試題及答案解析

絕密★啟用前

數(shù)學(xué)考前知識點分類沖刺訓(xùn)練

注意事頊：1、答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2、請將答案

正確填寫在答題卡上

2021屆山西省高三一模數(shù)學(xué)(理)試題

一、單選題

1.已知集合人=卜|X2+X-12<0},集合8={X|-5WX<0},則Af)5=()

A.{x|-5<x<3}B.{x|-5<x<-4}

C.{x|-4<x<0}D.{x|O<x<3}

答案：C

根據(jù)不等式的解法求得集合A,再結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.

解：由不等式f+x—I2=(x+4)(x—3)vO，解得—4vxv3,所以

A={x|-4<]<3},

又由集合3={討一5<%<0},所以AcB={jd-4<xvO}.

故選：C.

2.已知點-亭)是角。的終邊與單位圓的交點，貝!|sin2a=()

A4345n2石

A.--D,~~C.—D.----

5555

答案：A

先用三角函數(shù)的定義得sina=--,cosa=-，再用二倍角公式求出sin2a.

55

解：由三角函數(shù)的定義得sina=_2，5,COSQ=』5，

55

所以sin2a=2sinacosa=2x—x—.

<5J55

故選：A

注：(1)三角函數(shù)值的大小與點尸(x,y)在終邊上的位置無關(guān)，嚴(yán)格代入定義式子就可

以求出對應(yīng)三角函數(shù)值；

(2)當(dāng)角的終邊在直線上時，或終邊上的點帶參數(shù)必要時，要對參數(shù)進(jìn)行討論.

3.高斯函數(shù)也稱取整函數(shù)，記作[月，是指不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如

[6.8]=6,[-4.1]=-5,該函數(shù)被廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計算機(jī)領(lǐng)域.下列關(guān)于

高斯函數(shù)丁=[幻的性質(zhì)敘述錯誤的是()

A.y=[x]值域為zB.y=不是奇函數(shù)

C.y=x-[x]為周期函數(shù)D.y=[x]在月上單調(diào)遞增

答案：D

根據(jù)高斯函數(shù)的定義，結(jié)合值域、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性對選項逐一分析，由此

確定正確選項.

解：由高斯函數(shù)的定義可知其值域為Z,故A正確；

???[0.5]=0,[-0.5]=-1,y=[x]不是奇函數(shù)，故B正確；

易知(x+l)-[x+l]=x-[x],所以y=x-[x]是一個周期為1的周期函數(shù)，故C正確;

當(dāng)0,,x<l時，[幻=0,所以y=[幻在斤上不單調(diào)，故D錯誤.

故選：D

4.某公司計劃招收600名新員工，共報名了2000人，遠(yuǎn)超計劃，故該公司采用筆試的

方法進(jìn)行選拔，并按照筆試成績擇優(yōu)錄取.現(xiàn)采用隨機(jī)抽樣的方法抽取200名報名者的

筆試成績，繪制頻率分布直方圖如下：

則錄取分?jǐn)?shù)線可估計為()

A.70B.73C.75D.77

答案：C

先計算錄取率，再利用頻率直方圖判斷錄取分?jǐn)?shù)線在70~80之間，最后擇高錄取列方

程使計算面積和為0.3,求得錄取分?jǐn)?shù)線即可.

解：根據(jù)題意，錄取率為——X100%=30%,故應(yīng)錄取成績最高的30%的報名者.

2000

根據(jù)頻率直方圖可知，80~100分占總體的比例可估計為20%,7()~10()分占總體的比

例可估計為40%,故錄取分?jǐn)?shù)線在70~80之間.

設(shè)錄取分?jǐn)?shù)線為x,則(80-x)x0.02+0.15+0.05=0.3,解得x=75.

故選：C.

5.在同一直角坐標(biāo)系中，指數(shù)函數(shù)y=,二次函數(shù)丁=辦2—匕氏.的圖象可能是()

答案：B

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的零點確定正確選項.

解：指數(shù)函數(shù)y=圖象位于x軸上方，據(jù)此可區(qū)分兩函數(shù)圖象.二次函數(shù)

\aj

1/j\x

y=cv(r-bx=(ax-h)x,有零點一,0.A,B選項中，指數(shù)函數(shù)丁=—|在R上單調(diào)

a\a)

遞增，故:>1,故A錯誤、B正確.C,D選項中，指數(shù)函數(shù)y=在《上單調(diào)遞

b

減，故0<一<1,故C,D錯誤.

a

故選：B

4

6.已知雙曲線的兩條漸近線夾角為。，且tana=5,則其離心率為()

A.在B.2或6C.y/5D.也或石

22

答案：D

a1

根據(jù)正切倍角公式，求得tan—=二，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，分類討論，即可求解.

22

7T

解：由題意雙曲線的兩條漸近線夾角為。，可得

2

ca

2tan74ala

由tana=----------=-,解得tan—=—或tan-=-2(舍去),

l-tan2?3222

2

故選：D.

2232

7.已知a,O,cwR+，且a>4,ab+ac=4,則一+■；——+-------的最小值是()

ab+ca+b+c

A.8B.6C.4D.2

答案：A

根據(jù)題意，化簡一+；—+—；—c。+——，結(jié)合基本不等式，即可求解.

ab+ca+b+c2a+b+c

解：因為a,Z?,ceR「且ab+ac=4,

22322(a+b+c)32a+b+c32

所以一+----+--------=—---------+--------=--------+-------->8,

ab+ca+b+ca(b+c)a+b+c2a+b+c

由Bt"Q=——,可得a+0+c=8,所以。+c=8-a,

2a+b+c

代入ab+ac=4,得解得a=4±2百，

又因為”>4,所以a=4+2G,b+c=4—26.此時“等號”成立，

故所求最小值為8.

故選：A.

注：利用基本不等式求最值時，要注意其滿足的三個條件：“一正、二定、三相等”：

(1)“一正”：就是各項必須為正數(shù)；

(2)“二定”：就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積

的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”：利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等

號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

8.木工師傅將一個長方體形的木塊切去一部分，得到一個新木件，其三視圖如圖所示,

則這個木件的切面與底面所成銳二面角的正切值為()

A.立B.C.逅D.73

233

答案：C

作出切面與底面所成銳二面角的平面角，解直角三角形求得其正切值.

解：如圖，過8作點/所在側(cè)棱的垂線，垂足為其連接OE,易知平面8?！?/長方

體的底面，故二面角A-8。-E即為所求二面角.

由題意可知

ZAOE=ZABE=3Oo,OE=5E=2,4￡=^,AO=A8=逑,8O=20，取

33

BD中點0,則由即=EB,AD=A3可知EO±BD,AO1BD,故ZAOE即為二面

2,

角A—BD-E的平面角，于是=M=—=如即為所求.

OE”D1X2^3

22

故選：c

9.十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集”是數(shù)

學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征.仿照“康托三分集”我們可以構(gòu)造一個

“四分集”，其操作過程如下：將閉區(qū)間［（）」］均分為四段，去掉其中的區(qū)間段

142

記為第一次操作；再將剩下的三個區(qū)間°，；］，［；椅］，］31，分別均分為四段，并各

自去掉第二個區(qū)間段，記為第二次操作；???如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上,

將剩下的各個區(qū)間分別均分為四段，同樣各自去掉第二個區(qū)間段.操作過程不斷地進(jìn)行

下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“四分集”.若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于

19

—,則需要操作的次數(shù)〃的最小值為（參考數(shù)據(jù)：lg2a0.3010,lg3,0.4771）O

A.11B.10C.9D.8

答案：A

利用等比數(shù)列前〃項和公式求得去掉的各區(qū)間長度之和，由此列不等式，解不等式求得

〃的最小值.

解：第一次操作去掉的區(qū)間長度為!；

第二次操作去掉3個長度為4的區(qū)間，長度和為二x3；

第三次操作去掉32個長度為3?的區(qū)間，長度和為上x3?；

第n次操作去掉個長度為二的區(qū)間，長度和為」.

于是進(jìn)行了n次操作后，所有去掉的區(qū)間長度之和為

c11c1C2、

5?=—+fX3+—^x3~+???+3

“44243

由題意知：1—(。...1+電2

二19，化簡得〃…-*10.4,

⑷2021g27g3

又〃為整數(shù)，的最小值為11.

故選：A

10.一個圓錐的底面圓周和頂點都在一個球面上，已知圓錐的底面面積與球面面積比值

為亨2，則這個圓錐體積與球體積的比值為()

884T84T8

A.—B.—C.—或—D.—或—

812781812727

答案：D

2

設(shè)圓錐的底面半徑為r,球的半徑為此由圓錐的底面面積與球面面積比值為《，得到

「與"的關(guān)系，計算出圓錐的高，從而求出圓錐體積與球體積的比.

解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,球的半徑為此

?.?圓錐的底面面積與球面面積比值為則r=￡2/?：

947rH293

設(shè)球心到圓錐底面的距離為4則d=,店一產(chǎn)=；R,

42

所以圓錐的高為"=d+R=-R或〃=A—d=-R,

33

設(shè)圓錐體積為K與球體積為％,

4-7rr2h5兀工K4火Q

當(dāng)/i=-R時，圓錐體積與球體積的比為v乜=3_____=3(3J3=_8_,

匕一％公一4^3-27

33

11j20丫2

4-7trh大萬aR4

當(dāng)〃=時，圓錐體積與球體積的比為v匕=3_____=3(3J3J.

匕4^327

33

故選：D

注：求球的內(nèi)接圓錐的體積關(guān)鍵是找球心到圓錐底面的距離，從而可以求出圓錐的底面

半徑和圓錐的高，代公式即可求出圓錐體積.

11.函數(shù)/(x)=a11og〃X—1(?>0,且有兩個零點，則a的取值范圍為O

B.<ee}u(l,+oo)C.{e_e}u(l,+oo)1

A.(l,+8)D.u(l,+oo)

e

答案：B

令/(x)=0,將題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=log|X圖象與函數(shù)y=圖象有兩個交點，結(jié)

合圖象確定正確選項.

1/1Y

解：解x)=0,得|k)g“x|==,即log|X=|-.由題意知函數(shù)y=log】x圖象

a?⑴%

與函數(shù)》=圖象有兩個交點.

當(dāng)。＞1時，y=log1x,y=(')草圖如下，顯然有兩交點.

當(dāng)0＜。＜1時，函數(shù)y=iog|X圖象與函數(shù)y=圖象有兩個交點時，注意到

y-f-,y=log1無互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線＞=x對稱，可知函數(shù)y=圖象

')a

(J=

與直線y=x相切，設(shè)切點橫坐標(biāo)飛,則,解得＜

fiY0.1.

_In_=1

yaJa

綜上，a的取值范圍為?e7}U(l，+s).

故選：B.

，、3m?a,i

12.已知數(shù)列{a,,}中q=1,%=亍，對于〃..3,且〃cN,有.=,_，若

a

7Za『2-n-\

a202\-（〃應(yīng)eN*,且P，4互質(zhì)），則P+4等于。

q

A.8089B.8088C.8087D.8086

答案：D

的兩邊取倒數(shù)，利用等差中項的結(jié)論可得數(shù)列,—為等差數(shù)列,

a?

利用已知條件求出首項和公差，即可得出數(shù)列4的通項公式，求出外⑼，即可得出結(jié)

果.

解：對的兩邊取倒數(shù),

2%一的

12a.221

得一=一^一%

anan-2

11

即——

an

故數(shù)列為等差數(shù)列,

1,

其首項一=1,

4

114

公差為廠

1,4,,、4〃一13

于是％=---,

20218083

所以p+q=3+8083=8086.

故選：D.

a2?凡i1

注：關(guān)鍵點睛：對可CnT"T的兩邊取倒數(shù)，利用等差中項的結(jié)論得到數(shù)列

2%一的

為等差數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題

13.若z=—l+Gi（其中1為虛數(shù)單位），貝Uz3

答案：8

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，準(zhǔn)確計算，即可求解.

解：由復(fù)數(shù)z=-l+Ki，可得z2=(—1+J§i)2=—2—263

進(jìn)而可得z3=(—2—267)(—1+Gi)=8.

故答案為：8

14.觀察下列各式:

3

i+；c；=2-1

3

-T

】+#+、+、+*=25-1

5

照此規(guī)律，當(dāng)〃eN*時，l+!C,+!c；+…+」rC：=________________

23〃+1

答案:

〃+1

根據(jù)給出的等式，找出運(yùn)算結(jié)果的結(jié)構(gòu)形式，利用歸納推理，即可求解.

2k一1

解：由已知等式觀察，等式右邊為^_1形式，其中左比等式左側(cè)各組合數(shù)下標(biāo)大1,

k

1+#:+#1「，，2"J

照此規(guī)律，當(dāng)〃￡N"時,+???+----

〃+1

2'用_1

故答案為:

幾十1

15.已知函數(shù)/(X)=(3X-2],則下列關(guān)于/(x)展開式的命題中，所有真命題的序

IX)

號是，

①當(dāng)〃=11時，/(X)展開式共有11項；

②當(dāng)〃=8時，/(A)展開式第3項與第6項的二項式系數(shù)之比為1:2；

③當(dāng)〃=7時，Ax)展開式中，各項系數(shù)之和為一1；

④當(dāng)〃=5時，"X)展開式中，系數(shù)最小的項是-810犬.

答案：②④

利用二項式定理對4個命題逐一分析，由此確定真命題的序號.

解：對于①，易知當(dāng)〃=11時，/(x)展開式共有12項，故①錯誤；

對于②，〃=8時，/(%)展開式第3項與第6項的二項式系數(shù)之比為

8x7

「2「21

三=兵=6甘==故②正確；

C；C；8x7x62

3x2x1

，2丫

15-7

對于③，〃=7時，設(shè)/(%)=3x——=a-jX+?6x+Fizox，令x=l，得

Ixj

/(1)=1=%+%,+???+4，故③錯誤；

對于④，〃=5時，/(x)展開式的通項

5

籌+i=C.(3X)5T[—2]=C[(_l)'-35-，2-%%,其中re{0,1,2,3,4,5},顯然

當(dāng)re{(),2,4}時，系數(shù)為正數(shù)，re{1,3,5}時，7^的系數(shù)為負(fù)數(shù);

-5

當(dāng)r=l時，篤=—810/,r=3時，北=—720%-',廠=5時，Tb——32x,

故系數(shù)最小的項是(=—810V,④正確.

故答案為：②④

16.已知拋物線產(chǎn)=2*(〃>0)的焦點為尸，點〃一5,0,過點尸的直線與此拋

物線交于A5兩點，若|=24,且tanN/W3=2&，貝”=.

答案：6

設(shè)A3的方程為x=〃?y+日，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，

計算得左陷+上“8=0，故^AMF=/BMF,根據(jù)tanZAMB=20求得

tanZAMF;號進(jìn)而求得sin/AfH,從而求得機(jī)，利用|AB|=24列方程，解方

程求得尸的值.

解：設(shè)的方程為》=加)，+與4(/,必),3(%2，%)，

y2=2px

則由，p得y2_2pmy_p2=0,二y+必=2pm,%必=7、

x=my+—

,2

kMA+kM=xI%_xI%一(沖2+P)+%(mp+P)

，VM

'"Br.Pr.￡fnyt+pmy2+p。孫+p)(陽？+#

1222

2,孫為+P(X+%)=2根(一加)+2,叩2=0

(my1+p)(my2+p)(加弘+p)(m%+P)

ZAMF=ZBMF,-.-tanNAMB=?1a“例"=2加,又ZAMF為銳角，

1-tan-ZAMF

:.tanZAMF=——?

2

不妨設(shè)A尸＞B尸，如圖，作A"J_x軸，垂足為〃，過M作直線/J_x軸,

44」/,垂足為4,則

…AHAH

tanZ.AMF=-----——=sinZAFH

MH~AAAF

sinZAFH=—ZAFH=45°,/.m=1，

2

.'.IAB|=Vl+m2|y,一必|=’（1+加2）[（凹+%）2-4%%]=4p=24,故p=6.

故答案為：6

注：直線和圓錐曲線相交所得弦長有關(guān)計算問題，要注意熟練應(yīng)用弦長公式.

17.在口48。中，。力,。分別是角人民。的對邊.若人一c=2,cosC=2且，再從

7

條件①與②中選擇一個作為已知條件，完成以下問題：

(1)求瓦c的值；

(2)求角力的值及口ABC的面積.

條件①：acosB+bcosA=ac;條件②：2匕cosC=2a-----—c.

147

答案：(1)人=6,c=4；(2)A=—,s=65/3?

(1)選用條件①：由正弦定理求得。=2療，利用余弦定理和力-。=2,即可求解；

選用條件②：由正弦定理求得cos3=也，得出sin8=^史，再由cosC=2也，

14147

求得得sinC=應(yīng)，結(jié)合正弦定理，即可求解；

7

(2)由余弦定理求得A的值，結(jié)合面積公式，即可求解.

解：⑴選用條件①：因為acosB+8cosA=，^ac，

14

由正弦定理得sinAcosB+sin8cosA。sinC>可得sinC=^^asinC>

1414

又因為Ce(O,萬)，所以sinC*O,可得a=2幣,

又由cosC=2E，由余弦定理得上比二u=2也

7lab7

將h-c=2代入上式，解得b=6,c=4.

選用條件②：因為2bcosC=2Q—，

7

由正弦定理得2sinBcosC=2sinA--sinC=2sin(8+C)--sinC

77

=2(sinBcosC+cosBsinC)—sinC

即2cosfisinC--sinC=0，

7

又因為Ce(0,7),所以sinC/O,可得cosB=E，則sinB=之叵，

1414

又由cosC=7.,可得sinC=Jl-cos°C

77

b/?_sinB_3

由正弦定理

sinBsinCcsinC2

又由b—c=2,可得。=6,C=4?

(2)由余弦定理得cosA="+c2_a-=1,

2bc2

71

因為0<A<",所以A=一.

3

所以HABC的面積為S=—Z>csinA=—X6X4X^-=6A/3.

222

注：對于解三角形問題的常見解題策略：

對于解三角形問題，通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”

尋求邊的關(guān)系，利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，同時注意三角形內(nèi)角

和定理，三角形面積公式在解題中的應(yīng)用.

18.在四棱錐P-A6CD中，四邊形A6C。為平行四邊形，△AP8為等腰直角三角形,

PA=PB,AD=s[i，AB=2,PD人AB,PC=后.

p

（1）求證：BD1AD；

（2）求直線BO與面PAO所成角的正弦值.

答案：（1）證明見解析；（2）叵.

7

（1）設(shè)A8的中點為6,連接PE與。E,利用已知條件得到PE_LAB,再利用線面

垂直的判定定理得到AB_L平面尸中，得到BD=AD=6,即可得出

結(jié)論；（2）由（1）知，AB1PD,利用已知條件得到P。，NPDE=60。,以。為

原點，所在直線為SV軸，以方反比的方向分別為x軸，y軸的正方向，過

。在△POE所在平面內(nèi)作OE的垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.寫出點坐標(biāo)，利用空

間向量求解線面角即可.

解：解：（1）設(shè)A3的中點為七連接PE與DE,

因為△PAB是等腰三角形，PA=PB,

所以PEL,

又因為AB上PD,PDcPE=P,

所以AB,平面阻）,

所以ABLOE,

.-.BD=AD=y/2,-.-AB=2,

所以△ABO是等腰直角三角形，

則AD1BD.

(2)由(1)可知A5J?平面P￡D,

故ABJ.PO,

平面PED±平面ABD，

又因為PC=不，

CD//AB,:.CD±PD,

：.PD=y/PC2-CD2=b

易知PE=OE=1,

所以NPDE=60°.

如圖，以。為原點，。瓦。。所在直線為x，y軸，

以方反反的方向分別為x軸，y軸的正方向，

過〃在△尸OE所在平面內(nèi)作DE的垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則。(0,0,0),P,A(l,-l,0),B(l,l,0).

[22,

得￡>5=(1,1,0),OP=,ZM=(l,-l,0),

設(shè)平面PAD的法向量為=(x,y,z),

x—y=0

取方=(6,6,—1),

K瓦為V42

所以……配丁

因此直線BD與平面PM)所成角的正弦值為匹.

7

注：方法點睛：

求空間角的常用方法：

(1)定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間

角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；

(2)向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計算向量夾角(直線方向向量與直線

方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量)余弦值，即可求出

結(jié)果.

19.已知6只小白鼠中有且僅有2只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的小

白鼠.血液化驗呈陽性即為患病，陰性為不患病，現(xiàn)將6只小白鼠隨機(jī)排序并化驗血液,

每次測1只，且得到前一只小白鼠的血液化驗結(jié)果之后才化驗下一只小白鼠的血液，直

到能確定哪兩只小白鼠患病為止，并用乃表示化驗總次數(shù).

(1)在第一只小白鼠驗血結(jié)果為陽性的條件下，求X=3的概率；

(2)求才的分布列與數(shù)學(xué)期望.

164

答案：(1)-；(2)分布列見解析，期望E(X)=^.

(1)4="第/次驗血結(jié)果呈陽性"，ie{l,2,3,4,5,6},表示4的對立事件，根據(jù)

條件概率的計算公式，即可求解；

(2)根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量1的可能取值，結(jié)合獨立事件的概率計算公式，求得相

應(yīng)的概率，得出隨機(jī)變量的分布列，利用公式求得期望.

解：(1)4="第，次驗血結(jié)果呈陽性"，ie{l,2,3,4,5,6},表示4的對立事件.

若A發(fā)生，則需從2只患病小白鼠中選擇1只排在第一位，其他位置可隨意排，

故符合條件的排列順序共有父種，

若A與X=3同時發(fā)生，則2只患病小白鼠一定排在第一、第三兩個位置,

其他位置可隨意排不患病的小白鼠，對應(yīng)的排列順序共有種.

所以概率為尸（x=34）=與胃=笨='

（2）隨機(jī)變量X的可能取值為2,3,4,5,

A2A41

可得

A1〉

P（X=3）=P（444）+P（AAA3）=2X第=4，

4613

________________________A2A4A

p（x=4）="伍4/4）+尸（私竊）+2（4兄無4）+尸（窩7而）=4*卡=三

A（、13

Q

故p(X=5)=l—P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=—

故才的分布列是

X2345

1248

P

15V515I?

124864

數(shù)學(xué)期望E（X）=2x——+3x—+4x—+5x——=——.

1515151515

注：求隨機(jī)變量X的期望與方差的方法及步驟：

1、理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X可能的全部值：

2、求X取每個值對應(yīng)的概率，寫出隨機(jī)變量的分布列；

3、由期望和方差的計算公式，求得數(shù)學(xué)期望￡（X）,D（X）；

4、若隨機(jī)變量X的分布列為特殊分布列（如：兩點分布、二項分布、超幾何分布），

可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.

22

20.已知橢圓Q與G：?+^=1的離心率相同，過G的右焦點且垂直于X軸的直線

被橢圓c2截得的線段長為3亞.

（1）求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線/：y=J§x+加與橢圓G、的交點從上到下依次為。、A、B、D,

且|AC|=g,求加的值.

答案：（1）三+匕=1；（2）m=±5

22

（1）設(shè)橢圓。2的方程為3■+方=1（。＞8＞0），焦距為2c，根據(jù)已知條件可得出關(guān)

于a、6、C的方程組，解出a、力的值，由此可得出橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)A（x，y）、網(wǎng)冷％）、。（王，%）、。（王，乂），將直線/的方程分別與橢圓G、

G聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，分析得出恒。=應(yīng)用回，可得出關(guān)于實數(shù)機(jī)的等式，進(jìn)

而可解得實數(shù)機(jī)的值.

22

解：（1）設(shè)橢圓。2的方程為=+a=1（“＞。＞0）,焦距為2c,

22?2

將X=C代入G的方程可得;+4=1,解得y=±工.

a~b~a

C_1

a2

a=272/2

由題意得《---=3^2,解得,L，因此C2的方程為L+匕

a[b=yfe_86

c2=a2+b2

/與G、。2相交，只需當(dāng)/I=I時，

A,=64x3m2-60(4m2-12)=48(15-m2)>0,

解得—V15<m<V15"

當(dāng)力=2時，A,=64x3m2-60(4zn2-24)=48(3()-病)>0,

由韋達(dá)定理可得X+X2=X3+X4=—W^，所以，AB與CD的中點相同，

所以，“|=四普，

即

1J48(3O-病)也8(15-/)

一-------

|AC|=-X2X(|X3-X4|-|XI-X2|)=RX~~--------

22

4A/3^30-m-V15-m)4

=15=5

整理可得加2=3,解得加=±也，滿足條件.

注：方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

(1)設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為(西，芳)、(X2，%)；

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于％(或y)的一元二次方程，必要時計算/；

(3)列出韋達(dá)定理；

(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為％+々、X&的形式；

(5)代入韋達(dá)定理求解.

12

21.已知函數(shù)/(x)=xlnx——kx-x,g(x)=\nx-kx.

(1)當(dāng))=1時,求g(x)的最大值;

(2)當(dāng)0<女<1時，

e

Qi)判斷函數(shù)g(x)的零點個數(shù)；

「f(x.}/(x)

(4)求證：f(X)有兩個極值點人"2,且上工乜+工二92〉-，

x}x2

答案：(1)-1；(2)①兩個；②證明見解析.

求導(dǎo)，當(dāng)女>0時，利用導(dǎo)函數(shù)分析原函數(shù)的單調(diào)性；(1)當(dāng)攵=1時，利用單調(diào)性求最

值即可；(2)(1.)利用單調(diào)性以及零點存在性定理可判斷函數(shù)g(x)的零點個數(shù)；(77)

lnx—^x=g(x),由(/)知g(x)有兩個零點，設(shè)為占,當(dāng)，且。<玉<，<々，通過g*)

K

的單調(diào)性，分析/(X)的單調(diào)性，可得為為了(X)的兩個極值點，代入函數(shù)可得

")+2=3吧—2,用分析法證明如神已一2>-1,整理令

x,x222

，=上>1,記〃(f)=lnf—2"二D,求導(dǎo)，得到〃。)>〃(1)=0即可.

玉t+\

解：解：g(x)定義域為(0,+℃),g'(x)=!一左=、一”.

XX

當(dāng)&>0時,令g'(x)>0,

得0<xv—,

k

令g'(x)<。，得x>?，

k

故g(x)在(0,：)上單調(diào)遞增，在+00)上單調(diào)遞減.

(1)當(dāng)左=1時，g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(x)gx=g6=-L

(2)(7)???g(X)在(o,：)上單調(diào)遞增，在+8)上單調(diào)遞減，

??.g(x)至多有兩個零點.

g(=In1-1>0,k<0,g(x)在11上有?一個零點.

\k)kyk)

由(1)可證Inx—兀，-l<0,lnx<x,

從而g(14F)、=lnF4-%4=21n%2-74<2x工2一4二=°,

(1、

又??,<?7>°，

g(x)在上有一個零點.

綜上，函數(shù)g(x)有兩個零點.

(ii)F(x)的定義域為(0,田),/'(幻=lnx+l一履一1=lnx-/sr=g(x).

由(7)知g(x)有兩個零點,

設(shè)為玉,當(dāng)，且0<%]<—<x,,

k

且In%=云],Inx2=kx2.

又；g(x)在(0,：)上單調(diào)遞增，在(：，+°°)上單調(diào)遞減?

k

.?.當(dāng)0cxeX],或x>當(dāng)時,

g(x)<0；

當(dāng)玉<x<%2時，g(x)>0.

???/(x)在(0,%)上單調(diào)遞減，在(玉,々)上單調(diào)遞增，在(％,+<?)上單調(diào)遞減,

故王,X2為“X)的兩個極值點.

n^=lnx-4—1

%2

/(%)1

同理-----2=—In%2—1.

x22

欲證止}+3=見但些一2〉一1,

%馬2

即證In%+lnx2>2.

,.Tn芭=例,In馬=在，

In赴+In%=k(x2+x1)

Inx2-lnx1=k(x2-x^y

逗+1

Inx2-In%,x2—x}x2

令

即證---In/>2,

即證Inf—2(tT)>00.

t+\

4(IP

記入(f)=lnf—處』>0,

/+1tQ+l)-fQ+1)-

???帕）在（l,yo）上單調(diào)遞增,

故h(t)>h(V)=0,

命題得證.

注：方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/（X）的單調(diào)性和極值的步驟:

①寫定義域，對函數(shù)f（X）求導(dǎo)//（x）;②在定義域內(nèi)，解不等式/'（X）＞0和/'（X）＜0；

③寫出單調(diào)區(qū)間，并判斷極值點.

4

x=——+rcosa

3

22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線］的參數(shù)方程為〈；(t為參數(shù)，二

y=——+，sina

3

為直線1的傾斜角），以原點。為極點、X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的

4

極坐標(biāo)方程為P92=-----—.

3-cos2^

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程;

（2）若點P1—?一直線I與曲線C相交于AB兩點，且麗=2而，求直線I

的方程.

答案：（1）y+y2=1；（2）x-y-l=0或69x-15y+57=0.

（1）利用極坐標(biāo)轉(zhuǎn)直角坐標(biāo)的公式求得曲線，的直角坐標(biāo)方程.

（2）聯(lián)立直線/的