30年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析全集(1988-2017)

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析全集

(1988-2017)

目錄

2017全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析

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1988全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案解析

2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷試題和答案

一、填空題

1.設(shè)/(x)是定義在A上的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有/(x+3>/(x—4)=-1.又當(dāng)0〈x<7時(shí)，

/(X)=log2(9-x),則/(-100)的值為.

2.若實(shí)數(shù)xj滿足/+2cosy=1,則x-cosy的取值范圍是.

3.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，橢圓。的方程為:《+匕=1,/為。的上焦點(diǎn)，4為C的右頂點(diǎn)，P是C

910

上位于第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形04尸尸的面積的最大值為.

4.若一個(gè)三位數(shù)中任意兩個(gè)相鄰數(shù)碼的差不超過1,則稱其為“平穩(wěn)數(shù)”.平穩(wěn)數(shù)的個(gè)數(shù)是

5.正三棱錐尸—Z8C中，/8=1,AP=2,過48的平面a將其體積平分，則棱尸C與平面a所成角的

余弦值為.

6.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)集長={(》)),)=—1,0,1}.在長中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)，則這三點(diǎn)中存在兩點(diǎn)

之間距離為右的概率為..

7.在A48c中，M是邊8c的中點(diǎn)，N是線段8〃的中點(diǎn).若//=弓，A48c的面積為,則而?麗

3

的最小值為.

8.設(shè)兩個(gè)嚴(yán)格遞增的正整數(shù)數(shù)列{%},{，)滿足：ai0=如<2017,對(duì)任意正整數(shù)〃，有a,"=。川+%，

。用=2b,,則為+4的所有可能值為.

二、解答題

9.設(shè)幺〃?為實(shí)數(shù)，不等式,2一乙一可小對(duì)所有xe以㈤成立.證明：b-a<241.

++

10.設(shè)項(xiàng),》2，*3是非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足2+x2+x3=1,求(X]+3X2+5X3)(%]-Y的最小值和最大值.

11.設(shè)復(fù)數(shù)Z1*2滿足Re(zJ>0,Re(z2)>0,且Re(z；)=Re(z；)=2(其中Re(z)表示復(fù)數(shù)z的實(shí)部).

(1)求Re(zR2)的最小值：

(2)求:+2|+卜2+2|-|z,-z2|的最小值.

2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷

二試

一.如圖，在A48c中，AB=AC,/為A48c的內(nèi)心，以工為圓心，為半徑作圓［，以/為圓心，

IB為半徑作圓「2，過點(diǎn)8,/的圓「3與「，「2分別交于點(diǎn)P,Q(不同于點(diǎn)B).設(shè)IP與BQ交于點(diǎn)H.證明:

BRLCR

二.設(shè)數(shù)列｛%｝定義為%=1,"=1,2,…?求滿足?<rW32°"的正整數(shù)??的個(gè)

1%-〃，*>〃，

數(shù).

三.將33x33方格紙中每個(gè)小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個(gè)數(shù)相等.若相鄰連個(gè)小方格的

顏色不同，則稱它們的公共邊為“分隔邊”.試求分隔邊條數(shù)的最小值.

四.設(shè)〃均是大于1的整數(shù)，m>n9是〃個(gè)不超過機(jī)的互不相同的正整數(shù)，且…，%

2

互素.證明:對(duì)任意實(shí)數(shù)x,均存在一個(gè)使得--------H,這里帆表示實(shí)數(shù)y到與

m(m+1)

它最近的整數(shù)的距離.

2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷

一試答案

1.

答案：?

2

解：由條件知，/(X+14)=_"X[R=/(X),所以

/(-100)=/(-100+I4X7)=/(-2)==~

/(5)log,42

答案：[-1,6+1]-

解：由于1-12cosv€lLSJ，故工￡[6\G|.

y-?Y-

由cos」————可知，tCOSV—V-----1.因此當(dāng)工=I時(shí)，

222

Aco*「有最小值[(這時(shí)歹可以取二)：當(dāng)、?一時(shí)，co、「有最大值能I

2

(這時(shí)y可以取亓).由于：(x+l)2-l的值域是[-1,6+1],從而x-cosy的取

值范圍是[-1,V3+1].

答案:平.

解：易知4(3,0),尸(0,1).設(shè)P的坐標(biāo)是(3cos6,Msin8),0€；0,3，則

?5*療=13?而、in"|!1?3COS"

——(^/iocos^|sin〃)="^^■sin(e+⑺.

22

其中「arcian\".當(dāng)〃一arctanJF5時(shí)，四邊形。4/個(gè)-質(zhì)積的最大值為主公.

1()2

答案：75.

解：考慮平穩(wěn)數(shù)赤.

若8=0,則。=1,c€{0,l},有2個(gè)平穩(wěn)數(shù).

若8=1,則aW{l,2},c€{0,I,2},有2x3=6個(gè)平穩(wěn)數(shù).

^2<5<8,則a,c€仍一1,兒6+1},有7x3x3=63個(gè)平穩(wěn)數(shù).

若力=9，川cW{8,9},有2x2=4個(gè)平穩(wěn)數(shù).

綜上可知，平穩(wěn)數(shù)的個(gè)數(shù)是2+6+63+4=75.

5.

答案工叵

-10

解：設(shè)“&PC的中點(diǎn)分別為K,A4,則易證平面48M就是平面0.由中線

長公式知

AM——(AP+/(,)—PC'——(2TI)—x2—二，

24242

所以KA/=J4W：-'K?=J]-；；=g.

又易知直線尸C在平面Q上的射影是直線MK,而CW=1,KC="，所以

3

M+A/C—KC?4_36

cosZiVA/C

2KM\1C10

故棱PC與平而。所成角的余弦值為二￡.

10

6.

答XT案-：—4.

解：易知K中有9個(gè)點(diǎn)，故在K中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)的力今

方式數(shù)為C；=84種.',

將K中的點(diǎn)按右圖標(biāo)記為4,W，…,4,O，其中有8,1-

對(duì)點(diǎn)之間的距離為由對(duì)稱性，考慮取4,4兩點(diǎn)的情4°14,

況，則剩下的一個(gè)點(diǎn)有7種取法，這樣有7x8=56個(gè)三點(diǎn)小?4，4?

組(不計(jì)每組中三點(diǎn)的次序).對(duì)每個(gè)4(i=L2,…,8),K

中恰有4卬4T兩點(diǎn)與之距離為正(這里下標(biāo)按模8理解)，因而恰有

{.4,4,3,4_s}(i=1,2,…,8)這8個(gè)三點(diǎn)組被計(jì)了兩次.從而滿足條件的三點(diǎn)組個(gè)

數(shù)為56-8=48,進(jìn)而所求概率為竺=2.

847

7.

答案：.I.

—?I.?一.-?I?1-4|?

解：由條件知，/--IAli+.IC../.V--AH-AC,故

2,->44

—-I/1,—(3'1"IIfI—?'

JA/.』V一二.48+."1；十；,4(1一；13.4一AC^4ABAC.

由于C=S*“.=：?’8卜卜。卜后<=￥^卜8卜卜(?|,所以卜年d('—4,進(jìn)

一步可得心70一期T(].coZ-2，從而

——I!—：—7——

AM?.4.V>-2J3AB?ACI4J??JC

J

ABJC)+\.4BAC-\[3]-]■

當(dāng)網(wǎng)=言,|祠=2x71時(shí)，ZU.下的最小值為61.

8.

答案：13,20.

解：由條件可知：q,%,々均為正整數(shù)，且％<&.

由于2017)4—2"?人一512/l,故々e；L2.3j.反復(fù)運(yùn)用｛?｝的遞推關(guān)系知

〃“一心+4-2a,+小一3%+2〔4一5q+34—8&+5a.

—13U4+8凡一21”：一13。、-34。、+2k/,?

因此21a.=a｝Q=b]°=512"=2hx(mod34),

而13x21—34、8+L故有

4-13x21413x2A(-26A(mod34).①

另一方面，注意到4<小,有55q<34。.+21q—512匕，故

sI7

4<--b?②

1551

②分別化為％26(mod34).a<?二，

當(dāng)々一|時(shí)，①,無解.

155

1

當(dāng)件=2時(shí),①,②分別化為52(mod34ka.,——?得到唯一的正整數(shù)

55

-18,此時(shí)叫十勺-20.

②分別化為《7K（mod34）.（/m笆，

當(dāng)々一3時(shí)，①,得到唯一的正整數(shù)

55

%—10,此時(shí)4十々一13.

綜上所述，q+々的所有可能值為13,20.

9.

證明：令/(x)=x2-fac-m,xe[a,b],則f(x)€I,1].于是

2

f(a)=a—ka—m<[f①

f(h)=b2-kh-m<\,②

+a+b2a+h行

i=|-->-i.③

...........4分

由①+②一2x③知，

+f(b)-2/f^|<4,

故8-aW20............16分

10.

解：由柯西不等式

（天+3工2+5M）（馬+半+￡）*（百?百+>

:

=（x.+x2+x3）=1,

當(dāng)玉=1,u=0,與=0時(shí)不等式等號(hào)成立;故欲求的最小值為1.

5分

因?yàn)?/p>

區(qū)+3X2+5巧)區(qū)+/?+,)=!區(qū)+3.X,+5巧)(5*1+?！?工)

4g?(((工+3工+爾+(5工+5爭(zhēng)x,+xj

3

1I，14.丫

=—6x.+—X.+6x,..10分

20t323；

<—(6x,+6x,+6x,)*=—.

20v2”5

當(dāng)天=呆2=0,與=3時(shí)不等式等號(hào)成立，故欲求的最大值為，

20分

11.

解：(1)對(duì)無=1,2,設(shè)〃=x*WR).由條件知

xk=Re(〃)>0,x；一式=Re(z；)=2.

因此

Re(ZjZ2)=Re((Xj+,。(毛+y2i))=x{x2-乂％

=正:+2)5+2)-y\y2>[\yxy2\+2)-y1y2>2.

又當(dāng)4=2?=JI時(shí)，Re(zIz2)=2.這表明，Re(z/2)的最小值為2.

.....................5分

(2)對(duì)*=1,2,將4對(duì)應(yīng)到平面直角坐標(biāo)系x°v中的點(diǎn)E(x*,”)，記且是

/>關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，則/>,g均位于雙曲線C:=2的右支上.

設(shè)耳，鳥分別是C的左、右焦點(diǎn)，易知耳(-2,0),月(2,0).

根據(jù)雙曲線的定義，有忸可=|￡月|+2>/1度￡|=舊胃+20,進(jìn)而得

|4+2|+區(qū)+2卜,-22卜|4+2|+瓜+2卜卜一司

=歸一+|胞|-忸用=小歷+|46|+舊用一|4用2啦,

.....................15分

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K位于線段上(例如，當(dāng)4=Z2=2+JIi時(shí)，巴恰是Pg

的中點(diǎn)).

綜上可知，區(qū)+2|+,+2卜B-z2]的最小值為4忘........20分

2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷

二試答案

證明：連接IC,IQ.PB.PC.

由于點(diǎn)。在圈「：匕故/8=/Q.所以N/5Q=N/Q8.

又8./.P,。四點(diǎn)找圓.所以N1QB=ZJPB.于是NIBQ=NIPB.

故NBPS,IRB.從而也NIRB=NIBP,旦

注意到A8=AC.口/為XBC的內(nèi)心.故/8=/C,所以

/CIP

,=—?

1RIC

于是A/CPs&IRC.故ZIRC=Z/CP..........................20分

又點(diǎn)夕在例G的兌8c上.故N8PC=18(r-;乙4,因此

NBRC=Z1RB+ZIRC=Z1BP+ZJCP

=360-ZB/C-ZBPC

=3?r_(燈+iwr_

<MF

取BRLCR.40分

解：由數(shù)列的定義可知q=L%=2.俗設(shè)對(duì)某個(gè)整數(shù)r22行q=一我們證明

ar,JM=2r+r-l>r+2/-La,.〉=r-，<r+2i.①

對(duì)，歸納證明.

"，/=1時(shí).|tlTa,=rr.由定義?a,“^a,+r=r+r=2r>r+l(

a,,2?a?,-(r+l)?2r-(r*l)?r-l<r-?-2.結(jié)論或工

設(shè)對(duì)某個(gè)I4，<r-l.①成立.則III定義

。心.|=0.?+"+2O=rT+r+2/=2r+，>r+2/+L

*,,.11.1aO,.2?.|-(r+2/+,)=2r**-(r+2/+1)=r-1-l<r+2/+2.

即結(jié)論對(duì)，+1也成立.由數(shù)學(xué)打納法知.①對(duì)所仃，=1.2.….r-I成立,特別當(dāng)

/=/■一]時(shí).有a“_?=|.從而。4]=。“?+(3/>-2)="-1.

若將所有漏足a,=r的正整數(shù)r從示到大記為小、….則由上面的結(jié)論可知

1i?l.?j■2.?3#j-I?k=2.3.-...........................20分

由此可知,r-3r1(4r-|.../wlh從而

??y，，

IJ-'-i

-3r1—?

產(chǎn)741產(chǎn)0J.I

由于勺“=二^=&2,在12….產(chǎn)'中滿足a,=r的數(shù)r

共白2018個(gè).為不小”,勺《?..............駝分

由①可知.對(duì)每個(gè).工…,2017?一Z…-2中愴有一半滿足

a,<r.由于6,+1=彩土1+1與3刈'均為奇數(shù),而在&,+1.….3刈'中.奇數(shù)

均滿足q>r.偶數(shù)均滿足a,<r.其中的偶數(shù)比奇數(shù)少I個(gè).囚此滿足a,<rg320”

的正整數(shù)r的個(gè)數(shù)為

：(產(chǎn)一2018-1)=.........................40分

解：記分隔邊的條數(shù)為苒先，將方格紙按如圖分成三個(gè)區(qū)域.分別染成三

種顏色,粗線上均為分隔邊,此時(shí)共有56條分隔邊,即L=56...............10分

1?

n

下面證明￡.256.將方格紙的行從上至卜依次記為4A.….A,.列從左至右

依次記為4.8：.….8“.行A中方格出現(xiàn)的候色數(shù)記為MA），列優(yōu)中方格出現(xiàn)的顏

色個(gè)散記為MBJ.三片旗色分別記為q.j.c,.對(duì)尸腫用i色＜?,.設(shè)Me,）是含有j

色方格的行故與列數(shù)之和.記

I.若A行含行一色方格.

6d

臺(tái)明.

類似地定義演8,.cj.于是

“11Q

Z(MA)+”(8J)=ZZ(6(A,c,)+6(8”,))

1V，

=ZZ(6(A,c,)+6(8,.c,))=Z"(cJ,

由r*r7色的方格有:33,=363個(gè).設(shè)含有c,色方格的行行at.列Tf8個(gè).

則c,色的方格一定在這a打和b舛的交叉方格中.Kitab^363.從而

n(c,)=a+b214abN2J363>38.

故n(c,)239.j=1.2.3.①

20分

由于在行A中仃”（A）種便色的方格,因此至少有“（A）-I條分隔邊.同理在列

8,中.至少有MS,）-1條分隔邊.f是

n11

LN￡（mA）T）+Z（”（BjT）

D

=E（it（A）+”（同?-66②

I

￥

=Zft（c,）-66.③

-1

......................30分

卜面分角腫情影討論.

情膨1：有方或一再全部方格同色.不妨設(shè)自行全為6色,從而方格抵的

33列中均含有q色的方格,由廣,色方格有363個(gè).故至少有“行中去有q色方

格.r是

n(ct)>ll+33=44.

由①.③及④即得

+〃(q)+n(Cj)-66244+39+39-66=56.

........................40分

情形2：沒有?行也沒仃列的全靖方格同色.則對(duì)任意1W33.均有

n(A)N2.MB)之2.從而由②知

J3

Z.2Z("(A)+n(8,))-66233x466=66>56.

綜上所述,分隔￡條數(shù)的最小值等于56.............................50分

證明：首先證明以下兩個(gè)結(jié)論.

結(jié)論1：〃在整數(shù)….c.?滿足GQ+c必+…+CM=1,并HjqKwi.

1W”.

用于(q.4,….a.)=l.由裴蜀定年.存在整數(shù)de?,…?，.?滿足

G44-c/ij+…+c.a.=I.①

卜面證明.亞過調(diào)整.存定一組….c.滿足①,且絕對(duì)值均不超過m.記

St(c”c.….c.)=工。NO.S：(qg.…|ct^0.

?^>Mr.<-o

如果，>0,那么存在于足C,4>1,又因?yàn)?.4均為正

數(shù).故由①可知存在一<0.今

c-=c,-fly.c/-ct+a,?=q(!<A<n.kwij),

剜c；%+c；、+…+c.'a.二1?②

并且04n?-%Mq'<q,j<c；<a*&m.

因?yàn)椋?<<;?Hc/<m,所以….q')<Sy.j,….q).乂及

c*>0.故5：(c：g'.…￡')45式。42.….cj.

如果S?>0.那么存在c,<-m,因此有?個(gè)c,>0.令c：=c,-a,?c；=c,*a,.

cj=ctl\<,k<.n.那么②成在.并且Tn<c：vj.cy<c/<0.與上面類

，，

似地可知51(q.c;,--.<?/)<Sjq.c,,—,c.)?H.Si(cl,,r2,--.c.)<S式qg.….c.).

因?yàn)镾,與與均是非班畢數(shù).故通過仃限次匕述的調(diào)整,可得到?組q.j.…

使得①成'七并且，=另=0.結(jié)論I獲證.............20分

結(jié)論2:(1)時(shí)任雇實(shí)數(shù)a.b,均有+II*.

(2)任意空數(shù)“和實(shí)效y有I

由「對(duì)任意整數(shù)“和實(shí)數(shù)X.有Bx+“11=1x1,故不妨設(shè)此時(shí)

II{1I-|a|?ll〃|國〃|.若必40,不妨設(shè)a?0V/?,則。+力w［—■—|.從而

22

\la^hBWa+bR|o|+|b|=dlahlbII.

i\ab>0.即同號(hào).當(dāng)|a|+bg1時(shí).〃0+be［」」］.此時(shí)

222

Ia+bIIWa+A卜|a|+|b|=llaINIbII.

當(dāng)|a|+|b|>；時(shí)，注意息有Na+bH4；?故

la+bll/<|a|+W|=lalkibL.30分

故(1)得證.由(1)及1-八=1”即如(2)成立.

回到原問題?由結(jié)論1.存差整數(shù)使得c,q+c必+…+”.=1,

井旦|c,Fm.于是

.

EqqxT.

利用結(jié)論2得

IIxII=|￡c,qx|4￡|q|.IIa,x114msiIa,xII.

因此

maxIIa,xHi—IIxI.③

w"mn

......................40分

若+由③可知

n、llxll、211x1

maxIIaxH2----2-----------.

mnm(m4>l)

Kn>l(m+1).姆在％—中存在兩個(gè)相鄰正整數(shù).不妨如馮相根則

IItII=Ia2x-axxII4IIa2xWlatxII.

故11aMi與llqxll中有.takli-llil.

2m(m+l)

嫁上所述,總存在一個(gè)j^aila.xlli——lxII............50分

m(/n4-1)

2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試（A卷）

參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

說明：

1.評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).填空題只設(shè)8分和0分兩檔；其他各題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)

準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分，不要增加其他中間檔次.

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔

次給分，解答題中第9小題4分為一個(gè)檔次，第10、11小題5分一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次.

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分

1.設(shè)實(shí)數(shù)a滿足。則a的取值范圍是

答案：aw（_空,一叵）

33

解：由a<|a|可得。<0,原不等式可變形為

,9a3-Ila\a\,

aa

即一1<9。2所以a2e（?,g）.又q<0,故ae（-半，一半）.

2.設(shè)復(fù)數(shù)z,w滿足|z|=3,（z+江）（2—w）=7+4"其中z.是虛數(shù)單位，5,而分別表示z,w的共輛復(fù)數(shù)，

則（z+2記）（2-2w）的模為

答案：V65

解：由運(yùn)算性質(zhì)，7+布=（2+而）（2—卬）=|2|2—|訓(xùn)2—（2卬一易），因?yàn)閨z/與|叫2為實(shí)數(shù)，

Re（zw-zw）=0,故|z『一|坡『二7,zw—zw=-4i,又|z|=3,所以|vv『=2,從而

（z+2w）（z-2w）=|z|2-41w|2-2（zw-zw）=9-8+8z=14-8/

因此，（2+2訪）0-2卬）的模為質(zhì).

3.正實(shí)數(shù)〃，匕卬均不等于1,若log”yw+logvw=5,log/+log/=3,則log^,〃的值為

4

答案：一

5

解：令log“y=a,logv.w=bf則

logw=-,log,V=Y,logvw=logv+logV?logw=a+ab

vaMbwwMv

條件化為a+ab+b=5,-+-=3,由此可得=因此

ab4

,,,4

log,,,u=log/?log,,M==-.

4.袋子A中裝有2張10元紙幣和3張1元紙幣，袋子B中裝有4張5元紙幣和3張1元紙幣.現(xiàn)隨機(jī)從

兩個(gè)袋子中各取出兩張紙幣，則A中剩下的紙幣面值之和大于B中剩下的紙幣面值之和的概率為

9

答案：—

35

解：一種取法符合要求，等價(jià)于從A中取走的兩張紙幣的總面值。小于從B中取走的兩張紙幣的總面值6,

從而。＜bW5+5=10.故只能從A中國取走兩張1元紙幣，相應(yīng)的取法數(shù)為=3.又此時(shí)b＞a=2,

即從B中取走的兩張紙幣不能都是1元紙幣，相應(yīng)有=18種取法.因此，所求的概率為

3x18_54_9

-10x21-35'

5.設(shè)尸為一圓錐的頂點(diǎn)，A,B,C是其底面圓周上的三點(diǎn)，滿足乙4BC=90。，M為ZP的中點(diǎn).若/8=1,

AC=2,AP=g,則二面角M—BC—A的大小為

答案：arctan—

3

解：由NN8C=90°知，/C為底面圓的直徑.設(shè)底面中心為O,則POL平面ABC,易知/O=』/C=l,

2

進(jìn)而PO=ylAP2-AO2=1.

設(shè)，為M在底面上的射影，則H為AO的中點(diǎn).在底面中作6c于點(diǎn)K,則由三垂線定理知

MK1BC,從而4MKH為二面角M-BC-A的平面角.

因A/"=/〃=,，結(jié)合"K與48平行知，型=工二，即"K=3,這樣

2ABAC44

1ifITOO

tan4MKH=——=-.故二面角M—BC—A的大小為arctan-.

HK33

6.設(shè)函數(shù)/(x)=sin4如+COS’如，其中左是一個(gè)正整數(shù).若對(duì)任意實(shí)數(shù)均有

1010

{/(x)\a＜x＜a+\]={/'(X)|x€R},則左的最小值為

答案：16

&力qr/a.A./■1/\z?22\2c.2)kx

解：由條件知,/(x)=(sin~----\~cos"-)~-2sin?—cos~—

10101010

1.?kx12kx3

=1-sin—=—cos+—

5454

S/7777

其中當(dāng)且僅當(dāng)x=——(陽wZ)時(shí)，/(X)取到最大值.根據(jù)條件知，任意一個(gè)長為1的開區(qū)間至

k

少包含一個(gè)最大值點(diǎn)，從而二＜1,即左＞5〃.

k

反之，當(dāng)左＞54時(shí)，任意一個(gè)開區(qū)間均包含/(x)的一個(gè)完整周期，此時(shí)

{7（x）|a<x<a+l}={/（x）|x€火}成立.綜上可知，正整數(shù)的最小值為[5刈+1=16.

7.雙曲線C的方程為一一q=1,左、右焦點(diǎn)分別為片、F2,過點(diǎn)B作直線與雙曲線。的右半支交于

點(diǎn)、P,0,使得N6P0=9O。，則3P0的內(nèi)切圓半徑是

答案：、萬―1

解：由雙曲線的性質(zhì)知，

X

F}F2=2VT+3=4,PFX-PF2=QFX-QF2=2.

因N片尸。=90°,故PF；+PF；=F、F；,因此

22

PR+PF2=J2（尸耳2+pg）_（p._PF]>=A/2X4-2=277從而直角的內(nèi)切圓半徑是

「=；（F、P+PQ—F?=；（PF/PFQ-g（QF「QFJ=后一1

8.設(shè)%,4,%,%是1，2,…，100中的4個(gè)互不相同的數(shù)，滿足

2

（a；+a；+a；）（a]+a；+aj）=（a]a2+a2a3+a3a4）

則這樣的有序數(shù)組（外,%,%,%）的個(gè)數(shù)為

答案：40

解：由柯西不等式知，（a：+蟾+a；）（a；+a；+a；）N3a2+出生+吩4）2,等號(hào)成立的充分必要條件

是幺="二&,即q,%，％，%成等比數(shù)列.于是問題等價(jià)于計(jì)算滿足{q,電，/，%}={123,…，100}

出生4

77

的等比數(shù)列囚,4，4，%的個(gè)數(shù).設(shè)等比數(shù)列的公比且夕為有理數(shù).記9二一，其中加，〃為互素的

m

正整數(shù)，且Wn.

先考慮〃,加的情況.

此時(shí)％=/（二）3=什，注意到〃廣,〃3互素，故/=?為正整數(shù).相應(yīng)地，分別等于

mmm

用3/,加2〃/,相〃2/,〃3/,它們均為正整數(shù).這表明，對(duì)任意給定的g=2>l,滿足條件并以q為公比的等

tn

比數(shù)列的個(gè)數(shù)，即為滿足不等式〃3/w100的正整數(shù)/的個(gè)數(shù)，即[粵].

n

34

由于53>100,故僅需考慮4=2,3,彳,4,1這些情況，相應(yīng)的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為

JOO,JOO,JOO,100JOO,、.，，“

[—+[—]+[——+[r—]3+[—=12+3+3+1+1=20.

827276464

當(dāng)〃（加時(shí)，由對(duì)稱性可知，亦有20個(gè)滿足條件的等比數(shù)列a”的,4，4?

綜上可知，共有40個(gè)滿足條件的有序數(shù)組（3,a2M3,對(duì)］

二、解答題：本大題共3小題，共56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

9.（本題滿分16分）在A48。中，已知萬?就+2易?前=3刀?在.求sin。的最大值.

1

—?—b~+。2—a

解：由數(shù)量積的定義及余弦定理知，AB?AC=cbcosA=--~~—

->——?a2+c2—b2-,——?a1+b2—c2

同理得，BA?BC=3__-_,CA?CB=g---------.故已知條件化為

22

b2+c2-a2+2(a2+c2-b2)=3(a2+b2-c2)

2

即/+2〃=3C..........................8分

由余弦定理及基本不等式，得

a2+b2-^(a2+2b2)

人+/工

lab2ab

所以sinC=Vl-cos2C<——........................12分

3

萬

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a:〃：c=g:后：石.因此sinC的最大值是..........16分

3

x

10.（本題滿分20分）已知/（x）是R上的奇函數(shù)，=且對(duì)任意x<0,均有〃——）=M（x）.

x-1

求〃1）端）+尺）%）+嗎嗚）+..?+舄嗚）的值.

解：設(shè)a“=fd）（〃=l，2,3,…），則％=/（1）=1.

n

二

在/'（上）=獷'（'）中取x=—'（左€N*），注意到上?=-7K=」一，及/,（X）為奇函數(shù)?可知

x-1kx-\1,k+\

k

即4±L=110分

atk

因此

5049

y5011

2。嗎()17

tr(z-l)!(100-z)!=x

/=1i=0z!*(99-z)!

149[49i

yc；=—y(q+c；r)=—xlx2"分

9金\920

99!h"99!999999,299!

11.（本題滿分20分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，尸是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).以尸為焦點(diǎn),

。為頂點(diǎn)作拋物線C.設(shè)P是第一象限內(nèi)C上的一點(diǎn)，。是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，使得尸。為C的切線，且I

P0I=2.圓均與直線。尸相切于點(diǎn)P，且均與軸相切.求點(diǎn)尸的坐標(biāo)，使圓G與02的面積之和取到

最小值.

解：設(shè)拋物線c的方程是/=2px（p＞o）,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（一。,0）（。＞0），并設(shè)G，G的圓心分別為

。|（再,必）,。2（七,72）?

設(shè)直線P。的方程為》=吵一。（加＞0）,將其與C的方程聯(lián)立，消去x可知》2一26沙+2P4=0.

因?yàn)镻。與C相切于點(diǎn)P,所以上述方程的判別式為△=4p2〃?2一4?22。=0,解得機(jī)=進(jìn)而可

知，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（Xp/p）=（a,j^荷）.于是

IPQ\=J1+加2

由IP。I=2可得

4a2+2pa=4①................................5分

注意到OP與圓G