2021-2022學(xué)年湖南省常德市益陽箴言中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2021-2022學(xué)年湖南省常德市益陽箴言中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)，的圖象大致是A. B.C. D.參考答案：D∵函數(shù)f（x）=2x﹣4sinx，∴f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，所以函數(shù)f（x）=2x﹣4sinx的圖象關(guān)于原點對稱，排除AB，函數(shù)f′（x）=2﹣4cosx，由f′（x）=0得cosx=，故x=2k（k∈Z），所以x=±時函數(shù)取極值，排除C，故選D．點睛：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性得出函數(shù)圖象的對稱性，是解決函數(shù)圖象選擇題常用的方法．2.設(shè)變量x，y滿足約束條件，則z＝x－3y的最大值為A．

B．4 C．3

D．參考答案：B3.已知實數(shù)滿足的最大值為（

）A．—3

B．—2

C．1

D．2

參考答案：C4.函數(shù)（）的反函數(shù)為

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：答案：C5.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸。銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤是(A)24萬元

（B)25萬元

（C)26萬元

（D)27萬元參考答案：D略6.已知與函數(shù)圖像關(guān)于對稱的函數(shù)的圖象恒過定點，且點在直線上，若則的最小值為（

）Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ.參考答案：B7.若x，y滿足約束條件則的最大值為(

)A.2 B.1 C.0 D.-1參考答案：A【分析】畫出不等式組表示的可行域，由得，平移直線并結(jié)合的幾何意義得到最優(yōu)解，進(jìn)而可得所求最大值．【詳解】畫出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示．由得，所以表示直線在軸上截距的相反數(shù)．平移直線，結(jié)合圖形可得當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點時，直線在軸上的截距最小，此時取得最大值．由解得，所以，所以．故選A．【點睛】利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值問題是常考題型，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度適中．解題時要熟練畫出可行域，把目標(biāo)函數(shù)適當(dāng)變形，把所求最值轉(zhuǎn)化為求直線的斜率、截距、距離等問題處理，主要考查數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用和計算能力．8.有A、B、C、D、E、F六個人依次站在正六邊形的六個頂點上傳球，從A開始每次可隨意傳給相鄰的兩人之一，若在5次之內(nèi)傳到D，則停止傳球。若5次之內(nèi)傳到D（含5次）則可出現(xiàn)的不同傳球種數(shù)為（

）A、6

B、7

C、8

D、9參考答案：C9.若等比數(shù)列{an}的前項和為Sn，且S2=3，S6=63，則S5=（）A．﹣33 B．15 C．31 D．﹣33或31參考答案：D【考點】等比數(shù)列的前n項和．【分析】利用等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q≠1，∵S2=3，S6=63，∴a1（1+q）=3，=63，消去a1，化為q4+q2﹣20=0，解得q=±2．q=2時，a1=1；q=﹣2，a1=﹣3．則S5==31，或S5==﹣33．故選：D．10.如右圖為一個幾何體的三視圖，其中俯視圖為正三角形，A1B1=2，AA1=4，則該幾何體的表面積為（

）

A．6+

B．24+

C．24+2

D．32參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在三棱錐中，底面，則該三棱錐的外接球的表面積為__________．參考答案：試題分析：由三棱錐中，底面，將三棱錐補(bǔ)成長方體，它的對角線是其外接球的直徑，則三棱錐外接球的直徑為，半徑為，∴外接球的表面積．所以答案應(yīng)填：．考點：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積．【方法點睛】由于幾何體的形狀多種多樣，所以體積的求法也各不相同。針對一些不規(guī)則的幾何體，直接運用體積公式可能比較困難，我們常對原幾何體進(jìn)行割補(bǔ)，轉(zhuǎn)化為幾個我們熟悉的幾何體，其解法也會呈現(xiàn)一定的規(guī)律性:

①幾何體的“分割”幾何體的分割即將已給的幾何體，按照結(jié)論的要求，分割成若干個易求體積的幾何體，進(jìn)而求之。②幾何體的“補(bǔ)形”與分割一樣，有時為了計算方便，可將已給的幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體，如長方體，正方體等等．本題將三棱錐補(bǔ)成長方體，它的對角線是其外接球的直徑，從而即可求得該三棱錐的外接球的表面積．本題考查球的表面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，得出將三棱錐補(bǔ)成長方體，它的對角線是其外接球的直徑是解題的關(guān)鍵．12.設(shè)sin，則_____________.

參考答案：略13.函數(shù)的值域為

參考答案：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以函數(shù)的值域為。14.已知等差數(shù)列為其前n項和。若，，則=_______。【解析】因為，所以，。參考答案：因為，所以，。【答案】，15.函數(shù)f（x）=x2﹣1（x＜﹣1）的反函數(shù)f﹣1（x）=

．參考答案：﹣，x16.若正數(shù)a，b，c滿足+=+1，則的最小值是．參考答案：【考點】基本不等式．【分析】根據(jù)題意，對+=+1變形可得++=2（）+1，又由基本不等式的性質(zhì)分析可得++=+++++≥6，即可得2（）+1≥6，化簡可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，若+=+1，則有++=2（）+1，而++=+++++=（+）+（+）+（+）≥2+2+2=6，則有2（）+1≥6，化簡可得≥，即的最小值是；故答案為：．【點評】本題考查基本不等式的運用，關(guān)鍵是對等式變形，配湊基本不等式使用的條件．17.在平面直角坐標(biāo)系中，準(zhǔn)線方程為y=4的拋物線標(biāo)準(zhǔn)的方程為．參考答案：x2=﹣16y略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE，BD∩AC=G．（1）求證：AE⊥平面BCE；（2）求證：AE∥平面BFD；（3）求三棱錐E﹣ADC的體積．參考答案：考點：直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．分析：（1）由已知中AD⊥平面ABE，AD∥BC，得到BC⊥平面ABE，即AE⊥BC，又由BF⊥平面ACE，即BF⊥AE，再由線面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面BCE；（2）連接GF，由已知BF⊥平面ACE，我們易得GF∥AE，由線面平行的判定定理，可以得到AE∥平面BFD；（3）由已知可得三棱錐E﹣ADC的體積等于三棱錐E﹣ABC的體積，求出三棱錐E﹣ABC的體積，即可得到棱錐E﹣ADC的體積．解答： 解：（1）證明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE（2）連接GF，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE∵BE=BC，∴F為EC的中點；∵矩形ABCD中，G為兩對角線的交點且是兩線段的中點，∴GF∥AE，∵GF?平面BFD，AE?平面BFD，∴AE∥平面BFD．（3）∵三棱錐E﹣ADC的體積等于三棱錐E﹣ABC的體積∵VE﹣ABC==故棱錐E﹣ADC的體積為點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，棱錐的體積，及直線與平面平行的判定，其中熟練掌握空間中直線與平面的平行及垂直的判定、性質(zhì)、定義、幾何特征是解答此類問題的關(guān)鍵．19.已知向量，，，設(shè)函數(shù).（1）求f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）求f(x)在上的最大值和最小值.參考答案：解：.（1）的最小正周期為，即函數(shù)的最小正周期為.（2）函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間：，，得：，，∴所以單調(diào)遞減區(qū)間是，.（3）∵，∴.由正弦函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)，即時，取得最大值.當(dāng)，即時，，當(dāng)，即時，，∴的最小值為.因此，在上的最大值是，最小值是.20.已知向量=（2sinx，cosx），=（﹣sinx，2sinx），函數(shù)f（x）=?．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若角C為銳角，且f（﹣）=，a=，S△ABC=2，求c的值．參考答案：【考點】余弦定理；平面向量數(shù)量積的運算；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+）﹣1，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，即可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．（Ⅱ）由f（﹣）=，可解得sinC=，結(jié)合C為銳角，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosC，利用三角形面積公式可求b的值，進(jìn)而利用余弦定理可求c的值．【解答】（本題滿分為12分）解：（Ⅰ）∵=（2sinx，cosx），=（﹣sinx，2sinx），函數(shù)f（x）=?．∴f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx=sin2x+cos2x﹣1=2sin（2x+）﹣1，…3分∴令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z…6分（Ⅱ）∵f（﹣）=，可得：2sinC﹣1=，解得sinC=，∵C為銳角，可得：cosC==，…8分又∵a=，S△ABC=2=absinC=，解得：b=6，∴由余弦定理可得：c===…12分21.已知函數(shù)，其中ｅ是自然數(shù)的底數(shù)，。（１）

當(dāng)時，解不等式；（２）

若在［－１，１］上是單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；（３）

當(dāng)時，求整數(shù)ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解。參考答案：⑴因為，所以不等式即為，又因為，所以不等式可化為，所以不等式的解集為．………4分⑵，①當(dāng)時，，在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故符合要求；………6分②當(dāng)時，令，因為，所以有兩個不相等的實數(shù)根，，不妨設(shè)，因此有極大值又有極小值．若，因為，所以在內(nèi)有極值點，故在上不單調(diào)．………8分若，可知，因為的圖象開口向下，要使在上單調(diào)，因為，必須滿足即所以.綜上可知，的取值范圍是．………10分⑶當(dāng)時,方程即為，由于，所以不是方程的解，所以原方程等價于，令，因為對于恒成立，所以在和內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，……………13分又，，，，所以方程有且只有兩個實數(shù)根，且分別在區(qū)間和上，所以整數(shù)的所有值為．………16分22.（本小題滿分14分）

已知數(shù)列的前項和為，通項滿足（是常數(shù)，且）。

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）當(dāng)時，證明；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，若對都成立，求正整數(shù)的值。參考答案：解：（Ⅰ）由題意，得

所以…1分

當(dāng)時，，所以

……………2分

故數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列

所以

……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）