高中總復習第一輪數(shù)學(新)第九章兩個平面垂直

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精9.5兩個平面垂直鞏固·夯實基礎一、自主梳理1。二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面圍成的圖形叫做二面角。2.二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。3.兩個平面垂直的定義：如果兩個平面所成的二面角是直二面角，那么這兩個平面互相垂直.4。兩個平面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。5。兩個平面垂直的性質定理:如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內垂直于它們交線的直線必垂直于另一個平面。二、點擊雙基1.在三棱錐A—BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD,△BCD是銳角三角形，那么必有(）A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BCDD。平面ABC⊥平面BCD解析：由AD⊥BC，BD⊥ADAD⊥平面BCD,面AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.答案:C2.直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=AA1=a，則點A到平面A1BC的距離是(）A。aB.aC。aD.a解析：取A1C的中點O，連結AO?！逜C=AA1,∴AO⊥A1C。又該三棱柱是直三棱柱,∴平面A1C⊥平面ABC。又∵BC⊥AC，∴BC⊥AO.因此AO⊥平面A1BC，即A1O等于A到平面ABC的距離。解得A1O=a。答案:C3。設兩個平面α、β，直線l，下列三個條件：①l⊥α;②l∥β；③α⊥β.若以其中兩個作為前提，另一個作為結論，則可構成三個命題,這三個命題中正確的個數(shù)為()A。3B。2C.1D.0解析：α⊥β；l∥β;l⊥α，選C。答案：C4。在正方體ABCD—A1B1C1D1中,截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值為____________________________。答案：5。夾在互相垂直的兩個平面之間長為2a的線段和這兩個平面所成的角分別為45°和30°，過這條線段的兩個端點分別向這兩個平面的交線作垂線,則兩垂足間的距離為____________。解析:如圖，平面α⊥β，α∩β=l，A∈α,B∈β，AB=2a。AC⊥l于點C，BD⊥l于點D,則CD即為所求.∵α⊥β,AC⊥l，∴AC⊥β,∠ABC就是AB與平面β所成的角.故∠ABC=30°.故AC=a.同理，在Rt△ADB中求得AD=a。在Rt△ACD中,CD==a。答案：a誘思·實例點撥【例1】如圖,在三棱錐S—ABC中,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.(1）求證：AB⊥BC;(2）若設二面角S-BC—A為45°，SA=BC，求二面角A—SC—B的大小.（1）證明：作AH⊥SB于H,∵平面SAB⊥平面SBC,∴AH⊥平面SBC.又SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC.SA在平面SBC上的射影為SH,∴BC⊥SB。又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB。(2）解：∵SA⊥平面ABC,∴平面SAB⊥平面ABC。又平面SAB⊥平面SBC，∴∠SBA為二面角S-BC-A的平面角?！唷蟂BA=45°.設SA=AB=BC=a.作AE⊥SC于E,連結EH，則EH⊥SC,∠AEH為二面角ASCB的平面角，AH=a，AC=a,SC=a，AE=a,∴sin∠AEH=，二面角A-SC—B為60°.鏈接·聚焦證明兩個平面垂直的常見方法：(1）根據(jù)定義,證其二面角的平面角是直角；（2）根據(jù)判定定理，證明一個平面經過另一個平面的垂線.【例2】已知△ABC在平面α內,點P平面α,PA=PB=PC=a,∠BPC=β，∠APC=γ,∠APB=θ且cosβ+cosγ=1+cosθ.（1)求證:平面PAB⊥α;(2）設PA中點為M,P在α上的射影為O，O在AC上的射影為N，求證：平面OMN∥平面PBC。剖析:（1）由于PA=PB=PC,我們尋找與平面α垂直的直線；（2）利用面面平行的判定定理，證平面OMN中有兩條相交直線平行于平面PBC。證明：（1）由cosβ+cosγ=1+cosθ及余弦定理可得,BC2+AC2=AB2，即∠ACB=90°。又由PA=PB=PC可知，線段PA、PB、PC在平面α上的射影長也相等,因此,P在α上的射影應是△ABC的外心,即斜邊AB的中點O，連結PO，則PO⊥α,而PO平面PAB,∴平面PAB⊥α。(2)∵PA=PB，PO⊥AB，∴AO=OB.又ON⊥AC，BC⊥AC，∴ON∥BC.∴ON∥平面PBC。又OM為△PAB的中位線，∴OM∥PB?！郞M∥平面PBC.而OM、ON是平面OMN內兩條相交直線，∴平面OMN∥平面PBC。講評：要熟練掌握射影與三角形心的關系:設平面ABC外一點P在其上的射影為O,若P到三頂點距離相等，則O是外心；若P到三邊距離相等,則O是內心;若兩組對棱分別垂直，則O是垂心.【例3】已知正三棱柱ABC—A1B1C1，若過面對角線AB1與另一面對角線BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一邊A1C1于點D。(1）確定D的位置，并證明你的結論;(2)證明平面AB1D⊥平面AA1D;（3)若AB∶AA1=,求平面AB1D與平面AB1A1所成角的大小.剖析:本題的結論是“開放性”的，點D位置的確定如果僅憑已知條件推理難以得出。由于AB1與BC1這兩條面對角線是相鄰兩側面上的異面直線，于是可考慮將BC1沿BA平行移動，BC1取AE1位置，則平面AB1E1一定平行于BC1，問題可以解決.（1)解:如圖，將正三棱柱ABC-A1B1C1補成一直平行六面體ABCE—A1B1C1E1，由AE1∥BC1，AE1平面AB1E1，知BC1∥平面AB1E1，故平面AB1E1應為所求平面，此時平面AB1E1交A1C1于點D，由平行四邊形對角線互相平行性質知，D為A1C1的中點。(2）證明：連結AD,從直平行六面體定義知AA1⊥底面A1B1C1D1，且從A1B1C1E1是菱形知，B1E1⊥A1C1，據(jù)三垂線定理知,B1E1⊥AD。又AD∩A1C1=D，所以B1E1⊥平面AA1D。又B1E1平面AB1D，所以平面AB1D⊥平面AA1D。（3）解:因為平面AB1D∩平面AA1D=AD，所以過A1作A1H⊥AD于點H.作HF⊥AB1于點F,連結A1F,從三垂線定理知A1F⊥AB1.故∠A1FH是二面角A1AB1D的平面角。設側棱AA1=1，側棱AB=.于是AB1==。在Rt△AB1A1中,A1F===,在Rt△AA1D中，AA1=1，A1D=A1C1=,AD==.則A1H==.在Rt△A1FH中，sin∠A1FH==,所以∠A1FH=45°。因此可知平面AB1D與平面AB1A1所成角為45°或135°。講評:本題主要考查棱柱的性質，以及面面關系、二面角的計算,同時考查空間想象能力和綜合運用知識解決問題的能力。鏈接·提示1.開放性問題已進入高考試卷中,近年來，全國及上海市多次考查開放題，解開放題并將經驗與解題技巧相結合,并要有較熟練的基礎知識和“圖形意識”,并能將典型圖形靈活應用到解題中去。2.立體幾何的計算