第十三章 材料力學(xué) 能量法

第十三章材料力學(xué)能量法1第一頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五

第十三章能量法

(EnergyMethods)§13-1概述（Introduction)§13-2桿件變形能的計(jì)算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)§13-3互等定理（Reciprocal

theorems)§13-4單位荷載法莫爾定理(Unit-loadmethod&mohr’stheorem)§13-5卡氏定理(Castigliano’sTheorem)§13-6計(jì)算莫爾積分的圖乘法(Themeth-odofmomentareasformohr’sintegration)2第二頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五§13-1概述（Introduction）在彈性范圍內(nèi),彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量,稱為彈性變形能,簡(jiǎn)稱變形能.一、能量方法（Energymethods)三、變形能（Strainenergy）二、外力功（Workoftheexternalforce）固體在外力作用下變形,引起力作用點(diǎn)沿力作用方向位移,外力因此而做功,則成為外力功.利用功能原理Vε=W來求解可變形固體的位移,變形和內(nèi)力等的方法.3第三頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五可變形固體在受外力作用而變形時(shí),外力和內(nèi)力均將作功.對(duì)于彈性體,不考慮其他能量的損失,外力在相應(yīng)位移上作的功,在數(shù)值上就等于積蓄在物體內(nèi)的應(yīng)變能.

Vε=W四、功能原理（Work-energyprinciple）Theformula:（Work-EnergyPrinciple）Wewillnotconsiderotherformsofenergysuchasthermalenergy,chemicalenergy,andelectromagneticenergy.Therefore,ifthestressesinabodydonotexceedtheelasticlimit,allofworkdoneonabodybyexternalforcesisstoredinthebodyaselasticstrainenergy.

4第四頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五§13-2桿件變形能的計(jì)算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)一、桿件變形能的計(jì)算（Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading）1.軸向拉壓的變形能（Strainenergyforaxialloads)此外力功的增量為：當(dāng)拉力為F1時(shí),桿件的伸長(zhǎng)為Δl1當(dāng)再增加一個(gè)dF1時(shí),相應(yīng)的變形增量為d(Δl1)5第五頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五FFllFlFOll1dl1dF1F1積分得:6第六頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五根據(jù)功能原理當(dāng)軸力或截面發(fā)生變化時(shí):

Vε=W,可得以下變形能表達(dá)式7第七頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五（單位J/m3)比能（strainenergydensity）:單位體積的應(yīng)變能.記作u當(dāng)軸力或截面連續(xù)變化時(shí)：8第八頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.扭轉(zhuǎn)桿內(nèi)的變形能（Strainenergyfortorsionalloads）或lMeMeMe9第九頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五純彎曲（purebending)橫力彎曲（nonuniformbending）3.彎曲變形的變形能（Strainenergyforflexuralloads）θMeMeMeMe10第十頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.組合變形的變形能（Strainenergyforcombinedloads)截面上存在幾種內(nèi)力,各個(gè)內(nèi)力及相應(yīng)的各個(gè)位移相互獨(dú)立,力獨(dú)立作用原理成立,各個(gè)內(nèi)力只對(duì)其相應(yīng)的位移做功.5.純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的比能（Strainenergydensityforpureshearingstateofstresses）假設(shè)單元體左側(cè)固定,因此變形后右側(cè)將向下移動(dòng)dx.11第十一頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五dxdydzxyzabd因?yàn)楹苄?所以在變形過程中,上下兩面上的外力將不作功.只有右側(cè)面的外力（dydz）對(duì)相應(yīng)的位移dx

作了功.dx當(dāng)材料在線彈性范圍內(nèi)內(nèi)工作時(shí),上述力與位移成正比,因此,單元體上外力所作的功為比能為12第十二頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五

將=G

代如上式得dxdydzxyzabddx等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)變能的計(jì)算13第十三頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五將代入上式得14第十四頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五

二、變形能的普遍表達(dá)式（Generalformulaforstrainenergy）F--廣義力(包括力和力偶)δ--廣義位移(包括線位移和角位移)B'C'F3BCF2AF1假設(shè)廣義力按某一比例由零增致最后值對(duì)應(yīng)的廣義位移也由零增致最后值.15第十五頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)于線性結(jié)構(gòu),位移與荷載之間是線性關(guān)系，任一廣義位移,例如

2可表示為F3ABCF1F2B'C1F1,C2F2,C3F3分別表示力F1,F2,F3在C點(diǎn)引起的豎向位移.C1,C2,C3是比例常數(shù).F3/F2在比例加載時(shí)也是常數(shù)F1/F2和2與F2之間的關(guān)系是線性的.同理,1與F1,3與F3之間的關(guān)系也是線性的.16第十六頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五在整個(gè)加載過程中結(jié)構(gòu)的變形能等于外力的功iFiF3ABCF1F2B'——克拉貝隆原理（只限于線性結(jié)構(gòu)）Fii17第十七頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五三、變形能的應(yīng)用（Applicationofstrainenergy）1.計(jì)算變形能（Calculatingstrainenergy）2.利用功能原理計(jì)算變形（Work-energyprincipleforcalculatingdeflection）例題1試求圖示懸臂梁的變形能,并利用功能原理求自由端B的撓度.ABFlx解：由Vε=W得18第十八頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例題2試求圖示梁的變形能,并利用功能原理求C截面的撓度.ABCFx1x2abl解：由Vε=W得19第十九頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例題3試求圖示四分之一圓曲桿的變形能,并利用功能原理求B截面的垂直位移.已知EI為常量.解：ABFORθ由Vε=W得20第二十頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例題4拉桿在線彈性范圍內(nèi)工作.抗拉剛度EI,受到F1和F2兩個(gè)力作用.若先在B截面加F1,然后在C截面加F2;若先在C截面加F2,然后在B截面加F1.分別計(jì)算兩種加力方法拉桿的應(yīng)變能.ABCabF1F221第二十一頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五（1）先在B截面加F1,然后在C截面加F2ABCabF1（a）在B截面加F1,B截面的位移為外力作功為（b）再在C上加F2F2C截面的位移為F2作功為22第二十二頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五（c）在加F2

后,B截面又有位移在加F2過程中F1作功（常力作功）所以應(yīng)變能為ABCabF1F223第二十三頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）若先在C截面加F2,然后B截面加F1.（a）在C截面加F2后,F2作功（b）

在B截面加F1后,F1作功ABCabF1F224第二十四頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五（c）加

F1引起C截面的位移在加F1過程中F2作功（常力作功）ABCabF1F2所以應(yīng)變能為注意：（1）計(jì)算外力作功時(shí),注意變力作功與常力作功的區(qū)別.（2）應(yīng)變能Vε只與外力的最終值有關(guān),而與加載過程和加載次序無關(guān).25第二十五頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五2解:梁中點(diǎn)的撓度為:梁右端的轉(zhuǎn)角為:MeACBFl/2l/2梁的變形能為:1例題5以彎曲變形為例證明應(yīng)變能Vε只與外力的最終值有關(guān),而與加載過程和加載次序無關(guān).26第二十六頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五先加力F后,再加力偶Me（1）先加力F后,C點(diǎn)的位移力F所作的功為（2）力偶由零增至最后值MeB截面的轉(zhuǎn)角為力偶Me

所作的功為ACBFl/2l/2ACBFl/2l/2Me127第二十七頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五先加上的力F所作的功為C截面的位移為3ACBl/2l/2F與力偶Me所作的功為ACBFl/2l/21Me28第二十八頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五兩力作用點(diǎn)沿力作用方向的位移分別為F1,F2（1）設(shè)在線彈性結(jié)構(gòu)上作用力1,2一、功的互等定理（Reciprocalworktheorem）§13-3互等定理（ReciprocalTheorems)12F1F229第二十九頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五F1F212F1和F2完成的功應(yīng)為（2）在結(jié)構(gòu)上再作用有力F3,F4沿F3和F4方向的相應(yīng)位移為3,4F334F4F3和F4完成的功應(yīng)為30第三十頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五（3）在F3和F4的作用下,F1和F2的作用點(diǎn)又有位移F1和F2在1′和2′上完成的功應(yīng)為F1F212F334F4因此,按先加F1,F2后F3,F4的次序加力,結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為1′和2′31第三十一頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五F1F21234F4F3若按先加F3,F4后加F1,F2的次序加力,又可求得結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為由于應(yīng)變能只決定于力和位移的最終值,與加力的次序無關(guān),故32第三十二頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五功的互等定理（reciprocalworktheorem）:第一組力在第二組力引起的位移上所作的功,等于第二組力在第一組力引起的位移上所作的功.二、位移互等定理（Reciprocaldisplacementtheorem)若第一組力F1,第二組力只有F3,則如果F1=

F3,則有33第三十三頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五位移互等定理（reciprocalworktheorem）：

F1作用點(diǎn)沿F1方向因作用F3而引起的位移等于F3作用點(diǎn)沿F3方向因作用F1而引起的位移.（ThedeflectionatAduetoaloadactingatBisequaltothedeflectionatBduetothesameloadactingatA)三、注意（Notice）（1）力和位移都應(yīng)理解為廣義的.（2）這里是指結(jié)構(gòu)不可能發(fā)生剛性位移的情況下,只是由變形引起的位移.34第三十四頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五§13-4單位荷載法莫爾定理（Unit-loadmethod&mohr’stheorem）一、莫爾定理的推導(dǎo)（Derivationofmohr’stheorem）求任意點(diǎn)A的位移wA

F1F2A35第三十五頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五

A圖b變形能為aA圖F1F2=1F0AF1F2圖cwAF0=1（1）先在A點(diǎn)作用單位力F0,再作用F1、F2力36第三十六頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）三個(gè)力同時(shí)作用時(shí)任意截面的彎矩:變形能:37第三十七頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五（Mohr’sTheorem）桁架：二、普遍形式的莫爾定理（Generalformulaformohr’stheorem）注意:上式中Δ應(yīng)看成廣義位移,把單位力看成與廣義位移相對(duì)應(yīng)的廣義力.38第三十八頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五三、使用莫爾定理的注意事項(xiàng)（5）莫爾積分必須遍及整個(gè)結(jié)構(gòu).（1）M（x）：結(jié)構(gòu)在原載荷下的內(nèi)力;（3）所加廣義單位力與所求廣義位移之積,必須為功的量綱;（2）——去掉主動(dòng)力,在所求廣義位移點(diǎn),沿所求廣義位移的方向加廣義單位力時(shí),結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力;M（4）與M（x）的坐標(biāo)系必須一致,每段桿的坐標(biāo)系可自由建立;M（x）39第三十九頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五A例題5抗彎剛度為EI的等截面簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用,用單位載荷法求梁中點(diǎn)的撓度wC和支座A截面的轉(zhuǎn)角.剪力對(duì)彎曲的影響不計(jì).qBCll/2ql/2ql/2解:在實(shí)際荷載作用下,任一x截面的彎矩為40第四十頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五AAB11/21/2C（1）求C截面的撓度在C點(diǎn)加一向下的單位力,任一x截面的彎矩為xqBCll/2ql/2ql/241第四十一頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五ql/2AAB11/l1/lx（2）求A截面的轉(zhuǎn)角在A截面加一單位力偶引起的x截面的彎矩為qCll/2（順時(shí)針）ql/242第四十二頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五B例題6圖示外伸梁,其抗彎剛度為EI.用單位載荷法求C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角.ACqF=qaa2a43第四十三頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五BAABCa2a1解：xAB:（1）求截面的撓度（在C處加一單位力“1”）CqF=qaa2aFRAx1/244第四十四頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五BC:BAABCa2aCqF=qaa2aFRA1/2xx145第四十五頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五BABC:AB:（2）求C截面的轉(zhuǎn)角（在C處加一單位力偶）1xxABCa2axCqF=qaa2ax1/2a（）FRA46第四十六頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例題7剛架的自由端A作用集中力F.剛架各段的抗彎剛度已于圖中標(biāo)出.不計(jì)剪力和軸力對(duì)位移的影響.計(jì)算A點(diǎn)的垂直位移及B截面的轉(zhuǎn)角.aABCFlEI1EI2解:（1）計(jì)算A點(diǎn)的垂直位移,在A點(diǎn)加垂直向下的單位力BClEI1EI2a147第四十七頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五AB:BC:aABCFlEI1EI2xxABC1lEI1EI2xxa48第四十八頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）計(jì)算B截面的轉(zhuǎn)角,在B上加一個(gè)單位力偶矩AB:BC:ABCFlEI1EI2xxaABClEI1EI2xxa（）149第四十九頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例題8圖示剛架,兩桿的EI和EA分別相同,試求C點(diǎn)的水平位移.CFabAB解:在C點(diǎn)加一水平單位力1abBAC50第五十頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五Fab1abxxABBACCCB:xxAB:51第五十一頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五Fab1abxxABBACCxx52第五十二頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例題9圖示為一水平面內(nèi)的曲桿，B處為一剛性節(jié)點(diǎn)，ABC=90°在C處承受豎直力F，設(shè)兩桿的抗彎剛度和抗扭剛度分別是EI和GIp，求C點(diǎn)豎向的位移.ABCFab53第五十三頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五xx解:在C點(diǎn)加豎向單位力BC:ABCFabABC1abxxAB:54第五十四頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五xxABCFabABC1abxx55第五十五頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例題10由三桿組成的剛架,B,C為剛性節(jié)點(diǎn),三桿的抗彎剛度都是EI,試用單位載荷法求A1,A2兩點(diǎn)的相對(duì)位移.A1A2BCllFF56第五十六頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五x解：在A1,A2處加一對(duì)水平單位力.B,C兩支座的反力均為零.A1B：BC：CA2：xxA1A2BCllFFxxxA1A2BCll1157第五十七頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例題11剛架受力如圖,求A截面的垂直位移,水平位移及轉(zhuǎn)角.ABCllq58第五十八頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五AB：BC：解:求A點(diǎn)鉛垂位移（在A點(diǎn)加豎向單位力）xxxxABCllqABCllq159第五十九頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五求A點(diǎn)水平位移（在A點(diǎn)加水平單位力）AB：BC：xxxxABCllqABCllq160第六十頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五xx求A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角（在A點(diǎn)加一單位力偶）AB:BC：xxABCllqABCllq1（）61第六十一頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例題12圖示為一簡(jiǎn)單桁架,其各桿的EA相等.在圖示荷載作用下A、C兩節(jié)點(diǎn)間的相對(duì)位移.FaaFABCDE132456789a62第六十二頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五FaaABCDE132456789aFaaFABCDE132456789a桁架求位移的單位荷載法為1163第六十三頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五12345678桿件編號(hào)90-F-F-FF-2F010000aaaaaaa02Fa0000A,C兩點(diǎn)間的距離縮短.64第六十四頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例題13計(jì)算圖（a）所示開口圓環(huán)在F力作用下切口的張開量ΔAB.EI=常數(shù).BAORFF(a)65第六十五頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五BARPF(b)BARP1(c)解：OO66第六十六頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五213設(shè)彈性結(jié)構(gòu)在支座的約束下無任何剛性位移.作用有外力:F1,F2,,Fi,相應(yīng)的位移為：

1,

2,,

i

,§13-5卡氏定理(Castigliano’sTheorem)F1F2F3結(jié)構(gòu)的變形能67第六十七頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五只給Fi一個(gè)增量

Fi.引起所有力的作用點(diǎn)沿力方向的位移增量為213F1F2F3在作用Fi的過程中,Fi完成的功為原有的所有力完成的功為結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的增量為68第六十八頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五如果把原來的力看作第一組力,而把

Fi

看作第二組力.根椐互等定理略去高階微量或者當(dāng)Fi

趨于零時(shí),上式為這就是卡氏第二定理（Castigliano’sSecondTheorem）（卡氏定理）（Castigliano’sTheorem）69第六十九頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五（1）卡氏第二定理只適用于線性彈性體說明（Directions）：（2）Fi為廣義力，i為相應(yīng)的位移一個(gè)力一個(gè)力偶一對(duì)力一對(duì)力偶一個(gè)線位移一個(gè)角位移相對(duì)線位移相對(duì)角位移70第七十頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五（3）卡氏第二定理的應(yīng)用（a）軸向拉伸與壓縮（b）扭轉(zhuǎn)（c）彎曲71第七十一頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五（4）平面桁架（5）組合變形72第七十二頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例題14外伸梁受力如圖所示,已知彈性模量EI.梁材料為線彈性體.求梁C截面的撓度和A截面的轉(zhuǎn)角.FABCMelaFRA73第七十三頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五AB:BC:ABClaFRAFx1x2解:Me74第七十四頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五ABClaFRAFx1x2Me（）75第七十五頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例題15剛架結(jié)構(gòu)如圖所示.彈性模量EI已知。材料為線彈性.不考慮軸力和剪力的影響，計(jì)算C截面的轉(zhuǎn)角和D截面的水平位移.ABCDaa2aMe解:在C截面虛設(shè)一力偶Ma,

在D截面虛設(shè)一水平力F.FRDFRAxFRAyMaF76第七十六頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五CD:CB:AB:xxABCDaa2aMexFRDFRAxFRAyMaF77第七十七頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五2axxABCDaaMeFRDFRAxFRAy（）McF78第七十八頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例題16圓截面桿ABC,（ABC=90°）位于水平平面內(nèi),已知桿截面直徑d及材料的彈性常數(shù)E,G.求C截面處的鉛垂位移.不計(jì)剪力的影響.ABCllq79第七十九頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五BC:彎曲變形ABlQMBxABCllqFxxAB:彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形（扭轉(zhuǎn)變形）（彎曲變形）80第八十頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五81第八十一頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例題17圖示剛架各段的抗彎剛度均為EI.不計(jì)軸力和剪力的影響.用卡氏第二定理求截面D的水平位移D

和轉(zhuǎn)角D

.MaxF1FABCDll2l解:在D點(diǎn)虛設(shè)一力偶矩MaCD:彎曲變形82第八十二頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五但是軸力不計(jì),因此橫截面上的內(nèi)力只計(jì)彎矩.F1ABCF2FlMa將力F向C簡(jiǎn)化得：力F（產(chǎn)生拉伸變形）力偶矩2Fl（產(chǎn)生彎曲變形）Ma（產(chǎn)生彎曲變形）AC產(chǎn)生拉伸與彎曲的組合變形.橫截面上的內(nèi)力有軸力和彎矩.F1xFABCDll2lMa將Ma向C簡(jiǎn)化得:83第八十三頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五xBC段：BA段：F1FABCDll2lxF2FlxMaMa84第八十四頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五§13-6計(jì)算莫爾積分的圖乘法

(Themethodofmomentareasforthemohr’sintegration)等直桿的情況下,莫爾積分中的EI為常量,可提到積分號(hào)外面只需計(jì)算:85第八十五頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五

因?yàn)槭怯蓡挝涣騿挝涣ε家鸬膹澗?故沿桿長(zhǎng)方向的圖一般是由直線或折線組成.M(x)圖一般是曲線.M(x)M(x)ldxxCxCM(x)M(x)MCMM86第八十六頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五ωxCCM(x)xxl設(shè)在桿長(zhǎng)為l的一段內(nèi)M（x）圖是曲線設(shè)直線方程是M(x)是直線,為l段內(nèi)圖M(x)的面積ω87第八十七頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五M(x)xlxωxCCC為圖M(x)的形心,xC為其坐標(biāo)為圖M(x)對(duì)y軸坐標(biāo)的靜矩是和M(x)圖的形心對(duì)應(yīng)處的M(x)的值.88第八十八頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五M(x)xlxωxcC對(duì)于等直桿有即積分可用M(x)圖的面積w

和與M(x)圖形心C對(duì)應(yīng)的的乘積來代替MC當(dāng)M圖為正彎矩時(shí),w應(yīng)代以正號(hào).當(dāng)M圖為負(fù)彎矩時(shí),w應(yīng)代以負(fù)號(hào).也應(yīng)按彎矩符號(hào)給以正負(fù)號(hào).MC注意有時(shí)M(x)圖為連續(xù)光滑曲線,而為折線,則應(yīng)以折線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)為界,把積分分成幾段,逐段使用圖乘法,然后求其和.M(x)89第八十九頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五b幾中常見圖形的面積和形心的計(jì)算公式alh三角形CClh頂點(diǎn)二次拋物線90第九十頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五lh頂點(diǎn)cN次拋物線lh頂點(diǎn)c二次拋物線3l/4l/491第九十一頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例題18均布荷載作用下的簡(jiǎn)支梁,其EI為常數(shù).求跨中點(diǎn)的撓度.ABCql/2l/2FABCl/2l/2以圖的轉(zhuǎn)折點(diǎn)為界,分兩段使用圖乘法.M(x)C1C292第九十二頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五ABCql/2l/2ABCFl/2l/2C1C293第九十三頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例題19圖示梁,抗彎剛度為EI,承受均布載荷q及集中力F作用.用圖乘法求:（1）集中力作用端撓度為零時(shí)的F值；（2）集中力作用端轉(zhuǎn)角為零時(shí)的F值.FCABalq94第九十四頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五FCAB解：aalqMql2/8Fa1ABalCM95第九十五頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五

例題20圖示開口剛架,EI為常數(shù).求A和B兩截面的相對(duì)角位移qAB和沿F力作用線方向的相對(duì)線位移ΔAB.aaa/2a/2ABFF96第九十六頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五解：Fa/2a/2FFFa/2Fa/2a/2a/21a/2Baaa/2AA97第九十七頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例題21圖示剛架,EI為常數(shù).求A截面的水平位移ΔAH和轉(zhuǎn)角qA.BAaaq98第九十八頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五aqa/2qa2/2解：BAaaaBAaaBaBAaaqqa/2qa11111a111qa2/299第九十九頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五C例題22

拐桿如圖,A處為一軸承,允許桿在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng),但不能上下移動(dòng),已知:E=210GPa,G=0.4E,求B點(diǎn)的垂直位移.5A300B500=1F01020

解:（1）畫單位載荷圖C5A300B500=60kNF11