第六章微分與相關(guān)計算

第六章微分與相關(guān)計算第一頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五6.1極限的計算函數(shù)的極限是微分的基石。對于復(fù)雜函數(shù)，極限的計算相當困難，需要各種專門的計算方法。Mathematica內(nèi)置了完成這一任務(wù)的程序，它總是盡力確定極限的準確值。Limit[f[x],x->a]計算當x趨于a時f[x]的極限。例1可以利用Direction選項確定左右極限的計算。1)Direction->1是的極限作為左極限來計算。2)Direction->-1是的極限作為右極限來計算。

例2第二頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五

Mathematica也可以計算無窮極限以及在∞處的極限。例3在下面例子中演示了了另一種完全不同的行為。當x->0時，函數(shù)要來回振蕩無窮次。Mathematica返回的極限為區(qū)間對象Interval[{min,max}]，表示值的范圍介于min與max之間。例4第三頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五6.2導(dǎo)數(shù)的計算在Mathematica中有幾種計算導(dǎo)數(shù)的方法。每種方法都有其優(yōu)勢與不足，因此對于特定的問題，必須進行適當?shù)倪x擇。1)如果f[x]表示一個函數(shù)，那么他的導(dǎo)數(shù)表示為f′[x]。高階導(dǎo)數(shù)用f″[x]，…等表示。例5撇號也可以作用到內(nèi)置函數(shù)上，見下面的例子所示。如果不給出參數(shù)，Mathematica就返回一個純粹函數(shù)，表示所要求的導(dǎo)數(shù)。例6第四頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五2)D[f[x]，x]返回f相應(yīng)于x的導(dǎo)數(shù)。D[f[x]，{x，n}]返回f相應(yīng)于x的n階導(dǎo)數(shù)。例73)Derivative[n]是一個泛函算子，它作用到一個函數(shù)上，得到一個新的函數(shù)，即函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。Derivative[n][f]用純粹函數(shù)的形式給出f的n階導(dǎo)數(shù)，而Derivative[n][f][x]計算f在x點的n階導(dǎo)數(shù)。

注意：在Mathematica的內(nèi)部，f′要被轉(zhuǎn)化為Derivative[1][f]。因此f′[x]成為Derivative[1][f][x]。

例8Mathematica通過“記住”各種法則來計算函數(shù)的復(fù)合、和、差、積、商以及他們的組合的導(dǎo)數(shù)。如果沒有給出函數(shù)的定義，那么就可以看出這些法則的內(nèi)容。例9第五頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五

我們可以通過觀察圖形，利用Mathematica發(fā)現(xiàn)一些基本理論。由羅爾定理可知，在某些條件下，存在一點，該點導(dǎo)數(shù)值為零：令f為有限閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，并在(a,b)上可微，假設(shè)f(a)=f(b)=0，那么存在一個數(shù)c，介于a，b之間，使得f′(c)=0。也就是說，如果光滑函數(shù)在a與b兩點同時等于零，那么在這兩點之間必存在一點，它的導(dǎo)數(shù)等于零。例10第六頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五6.3最大值與最小值我們稱函數(shù)f在區(qū)間I中c點達到絕對（全局）最大值，是指對I中所有點x，f(x)≤f(c)成立。絕對最小值的定義類似。微分學(xué)的一個重要應(yīng)用就是優(yōu)化問題的求解，即在某種限制下求出函數(shù)的最大值與最小值。并不是所有的函數(shù)都具有絕對最大值和最小值。然而最值定理給出的條件保證了它的存在性：如果f為有節(jié)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，那么f在這個區(qū)間上既具有絕對最大值，也具有絕對最小值。函數(shù)f的臨界點就是數(shù)c滿足f′(c)=0或者f′(c)不存在。在本章中我們只考慮可微函數(shù)，因此導(dǎo)數(shù)點也就是導(dǎo)數(shù)值等于零的點。

第七頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五可以證明，如果函數(shù)在有界閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么它的絕對最大值和絕對最小值就在臨界點或者區(qū)間斷電上達到。由此我們可以利用Mathematica幫助我們計算函數(shù)的最大值和最小值。例11稱函數(shù)f在C點達到相對（或局部）極大值是指存在包含c點的開區(qū)間I，使得對于I中所有點x，f(x)≤f(c)成立。也就是說存在一個包含c的開區(qū)間使得f(c)為這個區(qū)間上的最大值。相對極小。值的定義類似。與絕對最大值（最小值）不同，函數(shù)可能具有幾個相對極大值（極小值）。如果希望知道他們所有的近似位置，那么可以用Mathematica命令FindMinimum有效而方便的計算出來。FindMinimum[f[x]，{x,x0}]求出f(x)靠近x0點的相對極小值。FindMinimum利用修正的最速下降法計算函數(shù)的相對極小值。可以用選項Method->Newton或Method->QuasiNewton改變所使用的方法。與FindRoot一樣，如果希望得到更高的準確度，可以設(shè)置AccuracyGoal和WorkingPrecision選項。第八頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五雖然Mathematica并沒有提供計算相對極大值的命令，但-FindMinimum[-f[x],{x,x0}]就可以做到這一點（在答案中會出現(xiàn)額外的負號，但可以忽略）。例12第九頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五6.4冪級數(shù)最好處理的函數(shù)是多項式函數(shù)，因為它是連續(xù)函數(shù)，而且可以很容易的計算它的微分與積分?；诖耍绻趯嶋H問題中遇到了一個困難的函數(shù)，我們可以想辦法用多項式逼近它。如果知道了函數(shù)在單個點a的函數(shù)值與它的各階導(dǎo)數(shù)值，那么函數(shù)可以用冪級數(shù)準確表示，然而這通常是一個無窮級數(shù)，在實際應(yīng)用中必須截斷。技巧就是使截斷后的函數(shù)在a的某個鄰域內(nèi)比較準確的逼近給定函數(shù)。大家知道用泰勒級數(shù)可以給出解析函數(shù)f(x)的表示。泰勒級數(shù)是無窮級數(shù)，如果截斷這個無窮級數(shù)，忽略所有次數(shù)高于n的項，那么就得到了f在某點的n次泰勒多項式。可以用Sum命令給出n次泰勒多項式的方法。例13第十頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五在Mathematica中有一條方便的命令，用來構(gòu)造逼近一個函數(shù)的級數(shù)。Series[f[x],{x,a,n}]生成一個SeriesData對象，表示f[x]在a點的次數(shù)為n的泰勒多項式。例14SeriesData對象表示冪級數(shù)，它沒有數(shù)值。如果要計算由Series命令給出的級數(shù)的值，就會遇到麻煩。例15為了把冪級數(shù)轉(zhuǎn)化為可以計算其值的形式，可以用函數(shù)Normal把它轉(zhuǎn)化為普通的多項式。Normal[級數(shù)]返回可以計算其值的級數(shù)的多項式表示。忽略高階項o[x]^n.例16第十一頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五如果需要級數(shù)中某一項的系數(shù)，那么可以用命令SeriesCoefficient。這時實際的級數(shù)可能很長，但并不需要完整顯示出來。SeriesCoefficient類似于多項式的Coefficient命令。例17第十二頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五6.5反導(dǎo)數(shù)函數(shù)f的反導(dǎo)數(shù)就是滿足F′(x)=f(x)的函數(shù)F。命令I(lǐng)ntegrate可以得到反導(dǎo)數(shù)。然而要注意在答案中并不包含積分常數(shù)c。例18Mathematica可以計算在標準積分表中能找到的初等函數(shù)的反導(dǎo)數(shù)，但是如果不能用初等函數(shù)表示反導(dǎo)數(shù)，這個軟件就會嘗試用特殊函數(shù)表示反導(dǎo)數(shù)。如果這還不行的話，它就會返回無法計算的積分。

例19第十三頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五6.6定積分定積分可以用兩種方法計算，一種是準確計算，即用微積分基本定理進行計算，另一種是近似計算，即用數(shù)值方法計算積分?？梢灾笇?dǎo)Mathematica選擇具體的計算方法，方法就是選用下述兩條命令。1)Integrate[f[x],{x,a,b}]只要有可能，就算出積分的準確值。也可以借助BasicInput模板實現(xiàn)同樣的功能。2)NIntegrate[f[x],{x,a,b}]嚴格利用數(shù)值方法計算積分的近似值。NIntegrate利用自適應(yīng)算法計算積分的近似值，它對積分區(qū)間進行分割，直到達到指定的準確度為止。實際上這里對區(qū)間進行遞歸分割，直到達到AccuracyGoal或者PrecisionGoal要求為止。a)AccuracyGoal選項指定在最終結(jié)果中小數(shù)點右邊有多少位小數(shù)。默認值為AccuracyGoal->Infinity，這規(guī)定不要用準確度作為終止數(shù)值算法的依據(jù)。第十四頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五b)WorkingPrecision選項指定在中間計算過程中要保留多少位精確位數(shù)。默認值為WorkingPrecision->$WorkingPrecision,它通常設(shè)為16。c)PrecisionGoal指定在最終結(jié)果中應(yīng)有多少位準確數(shù)字。默認值設(shè)為PrecisionGoal->Automatic，PrecisionGoal的值為WorkingPrecision減去10。另外還有許多選項，可以控制實現(xiàn)算法達到指定的精確度，但我們就不詳細討論了，這些選項對病態(tài)函數(shù)的積分非常有用，有興趣的同學(xué)可以查看幫助文件。命令序列N[Integrate[f[x],{x,a,b}]]或者Integrate[f[x],{x,a,b}]//N在有可能的情況下，先計算反導(dǎo)數(shù)，然后應(yīng)用為積分基本定理計算積分的值。如果這個方法不行的話，它就會自動調(diào)用NIntegrate[f[x],{x,a,b}]。例20第十五頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五第一類廣義積分：Mathematica也可以處理某些廣義積分。第一類廣義積分是指積分的一個或兩個積分限為無窮。定義Integrate[f[x],{x,a,Infinity}]=Limit[Integrate[f[x],{x,a,t},t->Infinity],Integrate[f[x],{x,-Infinity,b}]=Limit[Integrate[f[x],{x,t,a},t->-Infinity],前提條件是這兩個極限都存在。這樣的積分成為收斂積分。如果Integrate[f[x],{x,-Infinity,a}]與Integrate[f[x],{x,a,Infinity}]都存在，我們就定義Integrate[f[x],{x,-Infinity，Infinity}]=Integrate[f[x],{x,-Infinity,a}]+Integrate[f[x],{x,a,Infinity}]。例21第一類廣義積分的值可以與在積分式中的參數(shù)有關(guān)。選項Assumptions可以給這些參數(shù)加上取值條件。例22第十六頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五第二類廣義積分：

第二類廣義積分是指函數(shù)在積分區(qū)間上不連續(xù)。如果f在[a,b)上連續(xù)，但在b點不連續(xù)，就定義Integrate[f[x],{x,a,b}]=Limit[Integrate[f[x],{x,a,t}],t->b,Direction->1]。如果f在(