廣東省汕頭市深澳中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

廣東省汕頭市深澳中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，在四面體ABCD中，AB=CD=2，AD=BD=3，AC=BC=4.點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在棱AD，BD，BC，AC上，若直線AB，CD都平行于EFGH，則四邊形EFGH面積的最大值是（）A.

B.

C.1

D.2參考答案：C作AB中點(diǎn)M，連接CM、DM如圖所示，因?yàn)锳C=BC，M為AB中點(diǎn)，所以；同理有AD=BD，M為AB中點(diǎn)，所以，所以，所以?。由平行直線分線段成比例可知和，由?可知，所以四邊形GHEF為長方形；設(shè),,,則由相似比可知，所以，同理，所以，而長方形的面積為，易知當(dāng)時(shí)，四邊形GHEF為正方形，取得最大面積。2.命題p：在△ABC中，∠C＞∠B是sinC＞sinB的充分不必要條件；命題q：a＞b是ac2＞bc2的充分不必要條件．則(

)A．p假q真 B．p真q假 C．p∨q為假 D．p∧q為真參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】計(jì)算題．【分析】先判斷p?q與q?p的真假，再根據(jù)充要條件的定義給出結(jié)論；也可判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【解答】解：在△ABC中，若∠C＞∠B，根據(jù)大角對(duì)大邊，可得c＞b再由正弦定理邊角互化，可得sinC＞sinB反之也成立．故命題p：在△ABC中，∠C＞∠B是sinC＞sinB的充分不必要條件是假命題由a＞b，當(dāng)C=0時(shí)，ac2＞bc2不一定成立，但若ac2＞bc2成立，C≠0，則a＞b成立，所以a＞b是ac2＞bc2的必要不充分條件，故命題q為假命題，即p假q假，所以p∨q為假．故選C．【點(diǎn)評(píng)】判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．3.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍，若兩隊(duì)每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為（

）A.

B,

C.

D.參考答案：C略4.函數(shù)（其中）的圖像如圖所示，為了得到的圖像，只需將的圖像(

)（A）向左平移個(gè)長度單位

（B）向右平移個(gè)長度單位（C）向左平移個(gè)長度單位

（D）向右平移個(gè)長度單位參考答案：D由圖像知，，，，，得，所以，為了得到的圖像，所以只需將的圖象向右平移個(gè)長度單位即可，故選D．5.已知函數(shù)f（x）=﹣x2﹣6x﹣3，g（x）=2x3+3x2﹣12x+9，m＜﹣2，若?x1∈[m，﹣2），?x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，則m的最小值為（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．﹣3參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】利用導(dǎo)數(shù)先求出函數(shù)g（x）的最小值，再根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象和性質(zhì)，即可求出m的最小值【解答】解：∵g（x）=2x3+3x2﹣12x+9，∴g′（x）=6x2+6x﹣12=6（x+2）（x﹣1），則當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）遞減，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）遞增，∴g（x）min=g（1）=2，∵f（x）=﹣x2﹣6x﹣3=﹣（x+3）2+6≤6，作函數(shù)y=f（x）的圖象，如圖所示，當(dāng)f（x）=2時(shí)，方程兩根分別為﹣5和﹣1，則m的最小值為﹣5，故選：A6.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為2，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，則此球的表面積等于（）A．5π B．20π C．8π D．16π參考答案：B【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】畫出球的內(nèi)接直三棱ABC﹣A1B1C1，作出球的半徑，然后可求球的表面積．【解答】解：設(shè)棱柱的高為h，則，∴h=4．∵AB=2，AC=1，∠BAC=60°，∴BC=如圖，連接上下底面外心，O為PQ的中點(diǎn)，OP⊥平面ABC，則球的半徑為OA，由題意，AP=?=1，OP=2，∴OA==，所以球的表面積為：4πR2=20π．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的體積和表面積，球的內(nèi)接體問題，考查學(xué)生空間想象能力理解失誤能力，是中檔題．7.設(shè)偶函數(shù)，則A．的對(duì)稱中心為，且在上為減函數(shù)B．的對(duì)稱中心為，且在上為減函數(shù)C．的對(duì)稱中心為，且在上為增函數(shù)D．的對(duì)稱中心為，且在上為增函數(shù)參考答案：D略8.已知α，β，γ為不同的平面，l，m為不同的直線．若α∩β=l，m?α，l∥γ，m⊥γ．則（）A．m∥β B．m⊥β C．l∥m D．l⊥m參考答案：D【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】由已知推導(dǎo)出m與β相交、平行或m?β，l⊥m．【解答】解：∵α，β，γ為不同的平面，l，m為不同的直線，α∩β=l，m?α，l∥γ，m⊥γ，∴m與β相交、平行或m?β，l⊥m．由此能排除選選項(xiàng)A、B、C，得到D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．9.若向量、滿足||=|2+|=2，則在方向上投影的最大值是（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】對(duì)條件式子兩邊平方，用||表示出的夾角θ的余弦值，代入投影公式，利用基本不等式得出投影的最大值．【解答】解：∵|2|=2，||=2，∴||2+4+16=4，設(shè)的夾角為θ，則||2+8||cosθ+12=0．∴cosθ=﹣．∴在方向上投影為||cosθ=﹣=﹣（+）．∵+≥2=．∴||cosθ≤﹣．故選：B．10.在北緯45°的緯度圈上有甲、乙兩地,兩地經(jīng)度差為90°,則甲、乙兩地最短距離為(設(shè)地球的半徑為R)（

）A.

B.

C.D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=，把方程f（x）-x=0的根按從小到大順序排成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=

。參考答案：12.如圖,A是上的點(diǎn)，PC與相交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)D在上，CD//AP，AD與BC交于E，F(xiàn)為CE上的點(diǎn),若,則PB=________.參考答案：1013.某四面體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖與俯視圖都是腰長為2的等腰直角三角形，正視圖是邊長為2的正方形，則此四面體的體積為

，表面積為．參考答案：；2+2【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】判斷三視圖復(fù)原的幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積與表面積．【解答】解：由三視圖可知幾何體是三棱錐，如圖：是正方體內(nèi)的三棱錐，AD=DC=2，AB=BC=AC=2，BD=2，幾何體的體積是=，表面積為：=2+2．故答案為：；2+214.已知正方體的棱長為，動(dòng)點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且（），記點(diǎn)的軌跡的長度為，則______________;關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)可以為________.（填上所有可能的值）.參考答案：由定義可知當(dāng)，點(diǎn)P的軌跡是半徑為的圓周長，此時(shí)點(diǎn)P分別在三個(gè)側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，所以。由正方體可知，當(dāng)，點(diǎn)在三個(gè)面上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，如草圖，所以方程的解的個(gè)數(shù)可能為0,2,3,4個(gè)。15.已知全集集合則_________參考答案：{2}16.已知點(diǎn)P（0，1）是圓內(nèi)一點(diǎn)，AB為過點(diǎn)P的弦，且弦長為，則直線AB的方程為______________________．參考答案：x+y-1=0或x-y+1=017.則=

參考答案：答案：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某校高二年級(jí)共有學(xué)生1000名，其中走讀生750名，住宿生250名，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從該年級(jí)抽取100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查．根據(jù)問卷取得了這100名學(xué)生每天晚上有效學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組：①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），…得到頻率分布直方圖（部分）如圖．（Ⅰ）如果把“學(xué)生晚上有效時(shí)間達(dá)到兩小時(shí)”作為是否充分利用時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)抽取的100名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表；并判斷是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時(shí)間是否充分與走讀、住宿有關(guān)？

利用時(shí)間充分利用時(shí)間不充分總計(jì)走讀生50

住宿生10

總計(jì)60

100K2=參考列表：

P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.025

k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024（Ⅱ）若在第①組、第②組、第③組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時(shí)間的原因，記抽到“有效學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘”的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）把“學(xué)生晚上有效時(shí)間達(dá)到兩小時(shí)”作為是否充分利用時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)抽取的100名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表，求出K2，由K2＞3.841，得到有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時(shí)間是否充分與走讀、住宿有關(guān)．（2）設(shè)第i組的頻率為Pi（i=1，2，…，8），推導(dǎo)出第①組1人，第②組4人，第③組10人，從而X的所有可能取值為0，1，2，3，，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）把“學(xué)生晚上有效時(shí)間達(dá)到兩小時(shí)”作為是否充分利用時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)抽取的100名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表如下：

利用時(shí)間充分利用時(shí)間不充分總計(jì)走讀生502575住宿生101525總計(jì)6040100…K2=≈5.556…由于K2＞3.841，所以有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時(shí)間是否充分與走讀、住宿有關(guān)…（2）設(shè)第i組的頻率為Pi（i=1，2，…，8），則由圖可知：P1=×30=，P2=×30=，P3=×30=，∴第①組1人，第②組4人，第③組10人．…則X的所有可能取值為0，1，2，3，，∴，…..∴X的分布列為：P0123X．…..19.（本小題滿分12分）(理科)某校從6名學(xué)生會(huì)干部（其中男生4人，女生2人）中選3人參加市中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)志愿者。（Ⅰ）所選3人中女生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望。（Ⅱ）在男生甲被選中的情況下，求女生乙也被選中的概率。參考答案：解：（I）ξ得可能取值為0,1,2

由題意P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=

…………3分

∴ξ的分布列、期望分別為：ξ012p

Eξ=0×+1×+2×=1

…………6分（II）設(shè)在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的事件為C

男生甲被選中的種數(shù)為,男生甲被選中，女生乙也被選中的

種數(shù)為

∴P(C)=

…………11分

則；在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為

……12分20.已知等差數(shù)列{an}（n∈N*）的前n項(xiàng)和為Sn，且a3=5，S3=9．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列{bn}（n∈N*），{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若q＞0且b3=a5，T3=13，求Tn；（3）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】（1）由a3=5，S3=9聯(lián)立方程求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，然后求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)T3=13，b3=a5，求出公比和首項(xiàng)，求出Tn即可；（3）求出an和bn，從而求出Sn即可．【解答】解：（1）解得，∴an=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．（2）由上可得，b3=a5=9，T3=13，所以公比q=3，從而，b1=1，所以=．（3）由（1）知，an=2n﹣1．∴=，∴==．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式，要求熟練掌握相應(yīng)的公式．21.（2017?貴州模擬）已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，點(diǎn)P（1，）在橢圓E上，直線l過橢圓的右焦點(diǎn)F且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．（1）求E的方程；（2）在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得?為定值？若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）由題意的離心率公式求得a=c，b2=a2﹣c2=c2，將直線方程代入橢圓方程，即可求得a和b，求得橢圓方程；（2）在x軸上假設(shè)存在定點(diǎn)M（m，0），使得?為定值．若直線的斜率存在，設(shè)AB的斜率為k，F(xiàn)（1，0），由y=k（x﹣1）代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合恒成立思想，即可得到定點(diǎn)和定值；檢驗(yàn)直線AB的斜率不存在時(shí)，也成立．【解答】解：（1）由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的離心率e==，則a=c，由b2=a2﹣c2=c2，將P（1，）代入橢圓方程，解得：c=1，a=，b=1，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；（2）在x軸上假設(shè)存在定點(diǎn)M（m，0），使得?為定值．若直線的斜率存在，設(shè)AB的斜率為k，F(xiàn)（1，0），由，整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1