平方差公式-“江南聯(lián)賽”一等獎

2.2乘法公式第2章整式的乘法2.2.1平方差公式湘教版七年級下冊武潭鎮(zhèn)中學吳彧

灰太狼開了租地公司，一天他把－塊邊長為a米的正方形土地租給懶羊羊種植．第二年，他對懶羊羊說：“我把這塊地的－邊減少5米，相鄰的另－邊增加5米，繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何?”懶羊羊－聽，覺得好像沒有吃虧，就答應(yīng)道：“好吧．”回到羊村，他把這事和大伙－講，大家都說：“懶羊羊，你吃虧了!”他非常納悶：怎么就吃虧了呢?情境導(dǎo)入aaa55∵原正方形面積：a2，新長方形面積：（a+5)(a-5)=a2-5a+5a-25=a2-25∴新面積比原面積小25㎡。①（x

＋1)(x－1）；②（a

＋2)(a－2）；③（2m＋1)(2m－1）；④（5y

＋3z)(5y－3z）.算一算：看誰算得又快又準.一平方差公式的認識合作探究②（a＋2)(a－2）=a2－2a+2a-22③（2m＋1)(2m－1)=(2m)2－2m+2m-12④（5y＋3z)(5y－3z)=(5y)2－15yz+15yz-(3z)2①（x＋1)(x－1）=x2－x+x-12=x2

－12=a2－22=(2m)2－12=(5y)2－（3z）2這些計算結(jié)果有什么特點？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積,等于這兩數(shù)的平方差.(a+b)(a?b)=a2?b2兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積,等于這兩數(shù)的平方差.知識要點平方差公式：(1).公式左邊兩個二項式必須是相同兩數(shù)的和與差相乘；(2).公式右邊必須是這兩數(shù)的平方差；

(3).這里的兩數(shù)可以是兩個單項式，也可以是兩個多項式等．結(jié)構(gòu)特征練一練

判斷下列式子能用平方差公式計算嗎?(1)(a+b)(a?b)；(2)(m?n)(n?m);(3)(a+2b)(2b+a);(4)(c?d)(c+d);(5)(2x+y)(y?2x)；(6)(x+y)(x-z).(不能)(不能)(不能)(能)(不能)(不能)公式變形練習：

(l)(－x+y)(x+y)=_________.(2)(x－y)(y+x)=__________.(3)(－x－y)(－x+y)=________.(4)(x－y)(－x－y)=_________.x2－y2x2－y2y2－x2y2－x2平方差公式的代數(shù)驗證

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2平方差公式的幾何驗證aabba2-b2abbb(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)=a2-b2a-ba-b(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)填一填：

aba2－b21x－3a12－x2(－3)2－a2a1a2－120.3x1(0.3x)2－12(a+b)(a-b)例1

利用平方差公式計算：(1)(5＋6x)(5－6x)；(2)

(x－2y)(x+2y)；(3)

(－m+n)(－m－n)解：（1）原式=52－(6x)2=25－36x2；

（2）原式＝

x2－(2y)2＝

x2

－4y2；

（3）原式＝(－m)2－n2=m2－n2.

想一想：（1）計算下列各式，并觀察他們的共同特點：6×8=14×16=69×71=7×7=15×15=70×70=平方差公式的運用二（2）從以上的過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請用字母表示這一規(guī)律，你能說明它的正確性嗎？(a+b)(a?b)=a2?b2484922422548994900例2

計算:(1)103×97;(2)118×122.解:103×97=(100+3)(100－3)=1002－32=10000–9=9991；解:118×122=(120－2)(120＋2)=1202－22=14400－4=14396.例3計算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;(2)(2x－5)(2x+5)–2x(2x－3).解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4;(2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x－25.課堂小結(jié)平方差公式內(nèi)容注意兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差符號表示：(a+b)(a－b)=a2－b2(1).公式左邊兩個二項式必須是相同兩數(shù)的和與差相乘；(2).公式右邊必須是這兩數(shù)的平方差；

(3).這里的兩數(shù)可以是兩個單項式，也可以是兩個多項式等．1.下面各式的計算對不對？如果不對，應(yīng)當怎樣改正？（1）（x+2)(x－2)=x2－2;（2）（－3a－2)(3a－2)=9a2－4.不對改正：x2－4不對改正方法1：原式=－[(3a+2)(3a－2)]=－(9a2－4)=－9a2+4;改正方法2：原式=(－2－3a)(－2+3a)=(－2)2－(3a)2=4－9a2.隨堂練習2.如圖①，在邊長為

a的正方形中剪去一個邊長為

b的小正形(a＞b)，把剩下部分拼成一個梯形(如圖②)，利用這兩幅圖形的面積，可以驗證的乘法公式是______________．(a+b)(a?b)=a2?b2（1）(a+3b)(a-

3b)；解：原式=(2a+3)(2a－3)=(2a)2－32=4a2－9；=a2－9b2；解：原式=a2－(3b)2（2）(3+2a)(－3+2a)；3.利用平方差公式計算：（3）13.2×12.8；解：原式=(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96.4.化簡求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.解：原式=(2x－y)(2x＋y)－(2y＋x)(2y－