第六章矩陣位移法

第六章矩陣位移法第一頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五６－１基本概念求解固體力學(xué)問(wèn)題的方法解析法—應(yīng)用經(jīng)典理論，具有精確解，但求解范圍局限數(shù)值法—應(yīng)用線性代數(shù)中的矩陣?yán)碚摚哂薪平?，能收斂于?jīng)典解答，求解范圍廣第二頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五６－２結(jié)構(gòu)的離散化及桿端位移（力）的表示方法假定：采用等截面直桿單元，承受節(jié)點(diǎn)荷載（非節(jié)點(diǎn)荷載另行解決）離散化的基本原則：在截面變化，荷載作用點(diǎn)，結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)折處編碼、標(biāo)注坐標(biāo)系的建立①整體（結(jié)構(gòu)）坐標(biāo)系（x，y，z）②局部坐標(biāo)系（）

a）軸從i→j

b）軸以i為原點(diǎn)將軸逆轉(zhuǎn)９０度

c)軸符合右手定則第三頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五一桿端位移的表示—單元i(j)端局部坐標(biāo)系下沿方向的軸向位移分量—單元i(j)端局部坐標(biāo)系下沿方向的橫向位移分量—單元i（j）端局部坐標(biāo)系下繞著方向的轉(zhuǎn)角位移分量６－２結(jié)構(gòu)的離散化及桿端位移（力）的表示方法第四頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五二桿端力的表示軸力：?jiǎn)卧猧（j）端局部坐標(biāo)下的軸向力分量剪力：?jiǎn)卧猧（j）端局部坐標(biāo)下的橫向力分量彎矩：?jiǎn)卧猧（j）端局部坐標(biāo)下的彎矩分量６－２結(jié)構(gòu)的離散化及桿端位移（力）的表示方法第五頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五三桿端位移列陣四桿端力列陣６－２結(jié)構(gòu)的離散化及桿端位移（力）的表示方法第六頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五６－３單元?jiǎng)偠确匠蹋▎卧治觯┧^單元?jiǎng)偠确匠讨傅氖菃卧獥U端位移與桿端內(nèi)力間關(guān)系的方程有兩種處理方法。一先處理法及后處理法：是否先（后）處理邊界條件先處理法的優(yōu)缺點(diǎn)：［k］階數(shù)低，不統(tǒng)一后處理法的優(yōu)缺點(diǎn)：［k］階數(shù)高，統(tǒng)一，但有較多的零元素二不考慮桿端約束條件的剛度方程１桁架（軸力）單元的單元?jiǎng)偠染仃嚕保﹥H在i或j端有單位位移時(shí)引起的桿端力第七頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五設(shè)令設(shè)令６－３單元?jiǎng)偠确匠蹋▎卧治觯┑诎隧?yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五２）實(shí)際桿端位移引起的桿端力６－３單元?jiǎng)偠确匠蹋▎卧治觯┑诰彭?yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五２剛架類單元（不計(jì)軸向變形）令其他為零６－３單元?jiǎng)偠确匠蹋▎卧治觯┑谑?yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五令其他為零６－３單元?jiǎng)偠确匠蹋▎卧治觯┑谑豁?yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五令其他為零６－３單元?jiǎng)偠确匠蹋▎卧治觯┑谑?yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五令其他為零６－３單元?jiǎng)偠确匠蹋▎卧治觯┑谑?yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五匯總：６－３單元?jiǎng)偠确匠蹋▎卧治觯┑谑捻?yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五單元?jiǎng)偠染仃囍性氐奈锢硪饬x：（１）每個(gè)元素表示單元抵抗某方向的單位位移的能力（２）單元?jiǎng)偠染仃嚨哪骋恍斜硎舅械膯挝粭U端位移對(duì)某一桿端力的影響（３）某一列元素表示某一單位位移分別引起的各桿端力分量３考慮軸向變形的剛架類單元的單元?jiǎng)偠确匠虠U端位移６－３單元?jiǎng)偠确匠蹋▎卧治觯U端力第十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五６－３單元?jiǎng)偠确匠蹋▎卧治觯┑谑?yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x：（１）是一個(gè)關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱的方陣，行數(shù)＝桿端力數(shù)，列數(shù)＝桿端位移數(shù)（２）行列式的值為零．該方陣是一個(gè)奇異陣，即不可逆（無(wú)）也即不能由桿端力來(lái)求桿端位移，因?yàn)闆](méi)有考慮邊界條件，故有不定解（有剛體位移）（３）將單元?jiǎng)偠染仃囉梅謮K的子陣表示便于組裝結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣６－３單元?jiǎng)偠确匠蹋▎卧治觯┑谑唔?yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五６－４單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)轉(zhuǎn)換一坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣由圖示兩種坐標(biāo)系可知，力分量的代換關(guān)系為：—由x軸逆轉(zhuǎn)，至軸為正第十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五６－４單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)轉(zhuǎn)換第十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五即同理二兩種坐標(biāo)系下單位剛度矩陣的關(guān)系整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚕叮磫卧獎(jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)轉(zhuǎn)換第二十頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五小結(jié)：?jiǎn)卧治霾襟E①建立坐標(biāo)系（局部）、結(jié)構(gòu)的離散化（節(jié)點(diǎn)、單元編號(hào)）②建立單元的桿端位移（力）列陣③建立按各自局部坐標(biāo)系，且不考慮邊界條件的單元?jiǎng)偠染仃嚔軐⒕植孔鴺?biāo)系下的轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系下的，且應(yīng)表示成分塊的子陣形式（按節(jié)點(diǎn)編碼）６－４單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)轉(zhuǎn)換第二十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五6－5非結(jié)點(diǎn)荷載的等效處理一基本原理原則：使結(jié)構(gòu)等效前后的結(jié)點(diǎn)位移保持不變（固結(jié)）無(wú)任何結(jié)點(diǎn)位移（釋放）第二十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五產(chǎn)生反力矩反向施反力（矩）內(nèi)力之一內(nèi)力之二6－5非結(jié)點(diǎn)荷載的等效處理第二十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五二等效過(guò)程（一）求各單元的固端內(nèi)力（局部坐標(biāo)系下）：①號(hào)單元１→２：②號(hào)單元３→１：６－5非結(jié)點(diǎn)荷載的等效處理第二十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五③號(hào)單元２→４：（二）轉(zhuǎn)換為整體坐標(biāo)系下的固端內(nèi)力并反號(hào)（－１）得單元的等效節(jié)點(diǎn)荷載單元的等效節(jié)點(diǎn)荷載：①號(hào)單元１→２：②號(hào)單元３→１：６－5非結(jié)點(diǎn)荷載的等效處理第二十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五③號(hào)單元２→４：（三）在相關(guān)結(jié)點(diǎn)上迭加各單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載為各結(jié)點(diǎn)的等效荷載結(jié)點(diǎn)１：結(jié)點(diǎn)２：６－5非結(jié)點(diǎn)荷載的等效處理第二十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五結(jié)點(diǎn)３：結(jié)點(diǎn)４：（四）若原結(jié)構(gòu)某些結(jié)點(diǎn)尚作用有結(jié)點(diǎn)荷載，則應(yīng)累加為綜合結(jié)點(diǎn)荷載（五）等效后的桿端內(nèi)力計(jì)算６－5非結(jié)點(diǎn)荷載的等效處理第二十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五６－6后處理法一原理（一）先假設(shè)結(jié)構(gòu)不受約束，即把支座暫視為可位移的，支反力看作結(jié)點(diǎn)荷載，對(duì)各桿統(tǒng)一采用不考慮桿端約束條件的單元?jiǎng)偠确匠蹋ǘ┯脛偠燃煞ńM裝出一個(gè)在空間不受約束的總剛度矩陣（奇異陣）（三）引入邊界條件，修正為符合實(shí)際支承條件的總剛度矩陣，用以求解結(jié)點(diǎn)位移。二具體方法（一）選擇總體及局部坐標(biāo)系，對(duì)結(jié)點(diǎn)、單元進(jìn)行編碼（二）按總體坐標(biāo)建立結(jié)點(diǎn)位移（力）列陣第二十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五（三）按總坐標(biāo)系由結(jié)點(diǎn)編碼建立單元?jiǎng)偠染仃嚕ǚ謮K矩陣）。６－6后處理法(1)(2)(3)第二十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五（四）由結(jié)點(diǎn)平衡方程和位移連續(xù)條件導(dǎo)出結(jié)構(gòu)原始總剛度方程１將單元①的剛度方程展開(kāi)６－6后處理法第三十頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五２將單元②的剛度方程展開(kāi)６－6后處理法第三十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五３對(duì)結(jié)點(diǎn)２建立隔離體平衡方程：結(jié)點(diǎn)荷載（外力）＝桿端內(nèi)力（a）4位移連續(xù)條件（b）６－6后處理法第三十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五5結(jié)構(gòu)原始總剛度方程將（b）式代入（a）得：同理對(duì)結(jié)點(diǎn)１，３，４可得到：以上四式整理為矩陣形式：６－6后處理法第三十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五６－6后處理法簡(jiǎn)寫(xiě)為：—原始總剛度矩陣第三十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五６直接剛度法集成原始總剛度矩陣１）有關(guān)名詞主子塊—總剛度矩陣中位于主對(duì)角線上的子塊，其余稱副子塊相關(guān)結(jié)點(diǎn)—兩結(jié)點(diǎn)之間有桿件（單元）相連相關(guān)單元—匯交于同一結(jié)點(diǎn)上的若干單元２）組裝方法（“對(duì)號(hào)入座”）

a）總剛度矩陣中的主子塊由結(jié)點(diǎn)i的各相關(guān)單元的主子塊迭加得到，即

b）副子塊，當(dāng)i、m為相關(guān)結(jié)點(diǎn)時(shí)即為連接它的單元的相應(yīng)副子塊，即；當(dāng)i、m為非相關(guān)結(jié)點(diǎn)時(shí)，即為零子塊。６－6后處理法第三十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五６－7直接剛度法中的先處理法建立先考慮支承條件的單元?jiǎng)偠染仃囈缓?jiǎn)支連續(xù)梁?jiǎn)卧膭偠确匠虠U端位移：桿端內(nèi)力：已知位移：第三十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五若不計(jì)軸向變形：二帶懸臂的剛架單元：６－7直接剛度法中的先處理法第三十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五６－7直接剛度法中的先處理法第三十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五例６－６用先處理法建立圖示剛架的整體剛度矩陣已知各桿解：１．取各單元和節(jié)點(diǎn)編號(hào)、各單元的局部坐標(biāo)系及結(jié)構(gòu)的整體坐標(biāo)系仍同例６－２。２．計(jì)算整體坐標(biāo)系的單元?jiǎng)偠染仃囈蚋鲉卧诮Y(jié)點(diǎn)１、３、４處為固定端，只有結(jié)點(diǎn)２可發(fā)生位移，可將單元①、②、③都看作懸臂式單元。單元①、②：?jiǎn)卧佟ⅱ诘木植孔鴺?biāo)系與結(jié)構(gòu)的整體坐標(biāo)一致，無(wú)坐標(biāo)變６－7直接剛度法中的先處理法第三十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五換問(wèn)題；直接應(yīng)用式（６－３８a，b），得為清晰起見(jiàn)，在矩陣中各列及各行的上方或右方，分別表明了所相應(yīng)的位移或桿端力分量單元③：由式（６－３８b），得（a）（b）６－7直接剛度法中的先處理法第四十頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五按表６－２所列數(shù)據(jù)，單元③之２端的位移或桿端力分量在兩種坐標(biāo)系中的變換矩陣為于是有６－7

直接剛度法中的先處理法第四十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五（c）６－7直接剛度法中的先處理法第四十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五３．整體剛度矩陣以表示結(jié)點(diǎn)２的三個(gè)位移分量，由位移連續(xù)條件應(yīng)有據(jù)此關(guān)系，由式（a）、（b）、（c）組成整體剛度矩陣為將E、I、A、l的數(shù)據(jù)代入，得６－7直接剛度法中的先處理法第四十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五本章小結(jié)１．了解矩